勾股定理如何證明？愛因斯坦和趙爽，誰(shuí)的方法更簡(jiǎn)單？

關(guān)于“勾股定理”的歷史最早可以追溯到公元前1世紀(jì)，而介紹勾股定理的書籍就是《周髀》，后來到了唐朝，《周髀》被列為國(guó)子監(jiān)明算科教材，遂改名《周髀算經(jīng)》。

中國(guó)古代將直角三角形的短邊稱之為“勾”，長(zhǎng)邊稱之為“股”，而斜邊則稱之為“弦”，《周髀算經(jīng)》中明確記載了勾股與弦之間的關(guān)系，也就是我們所熟知的，勾的平方加上股的平方就等于弦的平方，“勾股定理”也因此得名。不過，發(fā)現(xiàn)這個(gè)定理的不僅只有我國(guó)的先賢，在大約半個(gè)世紀(jì)以后，古希臘著名的數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯也發(fā)現(xiàn)了這個(gè)規(guī)律，所以勾股定理也稱“畢達(dá)哥拉斯定理”。

不過，發(fā)現(xiàn)勾股定理是一回事，證明勾股定理就是另一回事了。

迄今為止在世界范圍內(nèi)已知的勾股定理證明方法已接近500種，而在《周髀算經(jīng)》之后第一個(gè)證明勾股定理的中國(guó)人應(yīng)該是一個(gè)名為趙爽的人。趙爽是我國(guó)古代一位著名的數(shù)學(xué)家，同時(shí)也是一位天文學(xué)家，其人生于東漢末年，是三國(guó)時(shí)期孫權(quán)治下的吳國(guó)人，他在數(shù)學(xué)上的最大貢獻(xiàn)就是對(duì)《周髀算經(jīng)》進(jìn)行了深入的研究，并創(chuàng)作了《周髀算經(jīng)注》，在這本書中，他用一個(gè)簡(jiǎn)單的方法證明了勾股定理的正確性。趙爽是如何證明勾股定理的呢？他將四個(gè)相同的直角三角形進(jìn)行了拼合，從而形成了一個(gè)大的正方形，而正方形的四條邊就是四個(gè)直角三角形的弦，也就是斜邊。

從圖中我們可以看出來，趙爽所拼合而成的大正方形是由四個(gè)直角三角形與一個(gè)小正方形所組成的。

很顯然，大正方形的面積就等于四個(gè)直角三角形的面積加上中心小正方形的面積。大正方形的面積是多少呢？就是“弦的平方”。小正方形的面積是多少呢？就是“股減去勾”的平方。直角三角形的面積是多少呢？就是二分之一的“股乘以勾”?，F(xiàn)在就可以將三個(gè)面積列為一個(gè)等式了，即：（股-勾）2+（4X1/2X股X勾）=弦2。對(duì)這個(gè)等式進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算，就可以得到最終的結(jié)果，即：勾2+股2=弦2。成功證明了勾股定理。

趙爽是《周髀算經(jīng)》后第一個(gè)證明勾股定理的中國(guó)人，而世界上第一個(gè)證明勾股定理的人應(yīng)該是歐幾里德，因?yàn)楫呥_(dá)哥拉斯雖然是西方最早提出勾股定理的，但他的證明方法并沒有流傳下來。

趙爽雖然不是世界上第一個(gè)證明勾股定理的人，但他的證明方法勝在足夠簡(jiǎn)單。那么，還有沒有其他人提出過比較簡(jiǎn)單的證明方法呢？有，比如我們都非常熟悉的物理學(xué)家愛因斯坦，他在11歲的時(shí)候便使用自己的方法證明了勾股定理，而他所使用的方法也是非常簡(jiǎn)單的。讓我們來看看與趙爽相比，到底誰(shuí)的方法更簡(jiǎn)單。愛因斯坦所使用的方法是將直角三角形一分為二。

愛因斯坦以直角三角形的直角為頂點(diǎn)，做一條垂直于斜邊的垂線，于是直角三角形便被一分為二了。

現(xiàn)在的情況很有意思，整幅圖中有了三個(gè)三角形，即小三角形、大三角形和分割前的最大三角形，而這三個(gè)三角形又恰好是相似三角形。所謂相似三角形就是對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例。而三個(gè)三角形的斜邊分別為原三角形的勾、股、弦。之后愛因斯坦以三個(gè)三角形的斜邊作為正方形的邊畫出了三個(gè)大小不等的正方形，而三個(gè)正方形的面積就分別為勾2、股2、弦2。由于三個(gè)三角形是相似三角形，所以每個(gè)三角形與對(duì)其對(duì)應(yīng)的正方形的比例是相同的。

也就是說所，兩個(gè)小三角形的面積相加等于大三角形，所以兩個(gè)小正方形的面積相加就等于大正方形的面積。

由于三個(gè)正方形的面積分別為：勾2、股2、弦2，所以就可以寫為：勾2+股2=弦2。很顯然，愛因斯坦的證明方法也是比較簡(jiǎn)單的，但相比之下，似乎還是趙爽的更簡(jiǎn)單一些。但是不要急于下定論，這里邊還有一個(gè)隱藏的部分，就是愛因斯坦其實(shí)沒有必要畫正方形。因?yàn)閷?duì)于相似三角形而言，面積之比就等于邊長(zhǎng)的平方比，所以直接就可以得出“勾2+股2=弦2”的結(jié)論，這樣一來，其簡(jiǎn)單的程度就與趙爽不相上下了。那么愛因斯坦為什么要畫蛇添足般的畫正方形呢？很可能是因?yàn)?1歲的愛因斯坦并不知道相似三角形的面積比就等于邊長(zhǎng)的平方比。

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