剖析雅各布.伯努利一影響深遠的方法錯誤──兼談無理數(shù)e的秘密 八

八 從八個方面剖析長期多門課程中存在的連續(xù)復利計算模型的錯誤

(題注：為什么要從多方面來剖析這種連續(xù)復利計算模型的錯誤，理由有三：

1. 雅各布.伯努利把聯(lián)想當數(shù)學推理，提出這種錯誤“連續(xù)復利法”已300多年了，后世人盲信權(quán)威，霧里看花，在此基礎(chǔ)上構(gòu)成的“連續(xù)復利計算模型”，也存在很長時間了。

2. 錯誤的“連續(xù)復利法”在國內(nèi)外數(shù)學科普讀物中廣泛存在，

在經(jīng)濟數(shù)學、金融學、貨幣銀行學、工程經(jīng)濟學、技術(shù)經(jīng)濟學、公司理財多門課程中存在，在1997年諾貝爾經(jīng)濟學獎獎項中存在。

關(guān)于這種連續(xù)復利計算公式還有多種錯誤講法、有多種錯誤解釋、多種多種錯誤應(yīng)用；

3. 這問題很基礎(chǔ)，也很簡單，但涉及數(shù)學和經(jīng)濟，涉及理論和應(yīng)用，涉及確定和隨機，涉及權(quán)威的正確和失誤，涉及面廣，這就很難讓人相信，這么簡單的、長期廣泛流行的基礎(chǔ)知識會有錯誤，以致這錯誤長期廣泛存在很難改正。

所以這里就不得不詳細來從多方面剖析這一方法了。)

先看什么是連續(xù)復利法和連續(xù)復利計算模型。

雅各布.伯努利研究的復利故事是：有個商人向財主借錢，年利率是100%。這財主想，每借出1元，年利率100%，一年后商人要連本帶息還2元。財主又想，如果半年計算一次利息，利率是50%,半年后利息是0.5元，將0.5元轉(zhuǎn)入本金，本息和就是1.5元，下半年又得50%的利息，一年后的本息和就是2.25元；按這樣的想法，一年中結(jié)算次數(shù)越多，每分鐘每秒鐘計算一次，他就會得到更多的錢。日本人遠山啟的《數(shù)學與生活》中敘述是，“當將利息轉(zhuǎn)入的次數(shù)無限增多時，其結(jié)果就是要在瞬間將利息轉(zhuǎn)入，即連續(xù)地轉(zhuǎn)入利息的復利法，由此，數(shù)學家雅各布.伯努利(1654-1705)把它稱為“連續(xù)復利法””。

以此思維，在多門大學教材中講的連續(xù)(復利)計算模型是：設(shè)初始資金是A。，年利率是r,于是就有t年后的資金總額公式

A。(1＋r)^t (時間變量t只取整數(shù)) (1)；

如果一年中計算m次，每次利率為r/m，就有復利分期計算公式A。(1＋r/m)^(mt) (2):令m趨于無窮大，得連續(xù)復利計算模型A。e^(rt) (3)。

構(gòu)成連續(xù)復利計算模型存在八個方面的致命錯誤

(一)思維基礎(chǔ)錯誤

前面第二至第五篇已闡述清楚，資金本身增值規(guī)律是復利，也就是連續(xù)復利；借出方和借入方的思維也都是復利，即連續(xù)復利，支撐單利表達的是復利，是連續(xù)復利。人們通常使用的年利率的平均值r本身就體現(xiàn)了資金的連續(xù)復利的增值規(guī)律，也就是說，人們千百年來使用的復利公式A。(1＋r)^t是合理的。反過來講，如果A。(1＋r)^t中的年利率r不體現(xiàn)資金的增值規(guī)律，這個年利率r是不是無源之水，是不是憑空產(chǎn)生的?如果這個r不體現(xiàn)資金的增值規(guī)律，那怎么根據(jù)這不體現(xiàn)資金增值規(guī)律的年利率r推導出A。e^(rt) 怎么就是體現(xiàn)資金增值規(guī)律?

就是說，從哪一方面講，這種構(gòu)成連續(xù)復利計算公式(3)的起始點都不對。

(二)背離實際生活

推導過程中用到的復利分期計算公式A。(1＋r/m)^(mt) (2)在金融活動中不存在。實際的金融生活中，復利分期計算公式是A。(1＋r(m)/m)^(nt)，而不是這里的(2) 式。即名義年利率r(m)隨一年中的計息次數(shù)m增加而變化，中國銀行現(xiàn)行不同儲蓄期的年利率表就可證明這一點，一年計算四次，即三個月期儲蓄的名義年利率1.35比一年計算兩次即半年期的名義年利率1.55小。

還有，這種分期計算公式(2)在其它任何領(lǐng)域都不存在。

(三) 推導邏輯混亂

這一點可以從兩個方面講。一是僅在A。(1＋r(m)/m)^(mt) 中，一年計算兩次的名義年利率r(2)與一年計算四次的名義年利率r(4)的具體含義不一樣，數(shù)值不一樣。就是說r(2)與r(4)實際概念就不一樣。對(2)式求極限的過程就是不斷改變名義年利率r(m)的過程。二是，這種推導是后一步否定前一步的過程，在A。(1＋r)^t中 ，時間變量t只取整數(shù)，在A。(1＋r/m)^(mt)中，時間變量可以取分散的時間點， 在A。e^(rt) 中，時間變量又改成可以取連續(xù)實數(shù)，每一步都是對前一步的否定。這在任何推理中都說不通的。

(四)推導方法混亂

連續(xù)復利計算模型的構(gòu)成是，先按單利規(guī)律(線性關(guān)系)分期計算，再按復利規(guī)則(按指數(shù)關(guān)系)計算總值：先分再和，“分”與“和”采用了不同的方法，去和回走的不是一條路，做為從(1)式到(2)再到(3)式的推導前后矛盾。

(五) 推導結(jié)果矛盾

根據(jù)A。(1＋r)^t (1)推得連續(xù)復利計算公式A。e^(rt) (3)，對于年利率10%，就是根據(jù)A。(1＋10%)^t 推導出A。e^(0.1t)=A。(1＋10.517%)^t，也就是根據(jù)10%推得10.517%，這是用任何數(shù)學知識都做不到的。

(六)概念混亂

在公式A。(1＋r)^t(1)中，r是人們都知道的年利率概念；在推出的連續(xù)復利計算公式A。e^(rt) (3)中，r被當成了所謂連續(xù)復利率概念，這種稀里糊涂變換同一字母含義的推導在任何領(lǐng)域都是不應(yīng)該存在的，是錯誤的。

還有就是，至今沒有人對這樣得到的連續(xù)復利率概念給出清晰的數(shù)學解釋，也沒有人能用清晰簡短的語言給出文字解釋，以后我們將對此進行分析。

(七)數(shù)學知識錯誤

我們知道，當時間變量t只取整數(shù)時，即所謂只能進行離散計算時，我們可以有恒等式A。(1＋r)^t=A。e^(txln(1＋r))A。e^(Rt),R=ln(1＋r),當時間變量取連續(xù)實數(shù)時，即所謂能進行連續(xù)計算時，我們也有這恒等式。

就是說，A。(1＋r)^t可以用作離散計算式，也可作為連續(xù)計算式；同樣道理A。e^(Rt)可以作為連續(xù)計算式，也可以作為離散計算式。

在數(shù)學應(yīng)用上，需要不需要，能不能進行連續(xù)計算，是由事物本身特性決定的，不是由這指數(shù)函數(shù)的形式?jīng)Q定的。僅從數(shù)學公式形式上把A。(1＋r)^t看成離散計算公式，把A。e^(Rt)看成連續(xù)計算公式，是一種數(shù)學知識錯誤。

(八)把聯(lián)想當數(shù)學推理

在各領(lǐng)域，公式A。(1＋r)^t (1)有著廣泛應(yīng)用，根據(jù)這一公式，可以想到實際結(jié)構(gòu)一樣的式子A。(1＋r/m)^(mt)(2)，但根據(jù)(1)式推不出((2)式，由(2)式可以想到令n趨于無窮大求極限

limA。(1＋r/m)^(mt)=A。e^(rt) (3)，但是根據(jù)(2)推不出((3)。注意，由(1)到(2)再到(3)式是一種聯(lián)想關(guān)系，對同一個具體事物，這不是數(shù)學推導。

認定這種連續(xù)復利計算公式正確的最基礎(chǔ)的原因是，把這種聯(lián)想當成了數(shù)學推導。

這種方法存在廣泛，僅我們查到記錄下來的，各種教材中錯誤講授這種連續(xù)復利計算公式的教材就有有800多種。這種連續(xù)復利計算公式構(gòu)成是錯誤的，關(guān)于這種連續(xù)復利計算公式的各種講授、解釋和應(yīng)用也都必然是錯誤的。我們下邊將對一些教材中有代表性的敘述進行分析。

討論問題是為探求真知，歡迎質(zhì)疑和反駁，本著對廣大學生負責的意愿，共同把這一知識搞清楚。