地鐵站里的時空旅行：從柏拉圖立體到引力波漣漪

在斯德哥爾摩的皇家理工學(xué)院地鐵站里，流轉(zhuǎn)著人類千年智識的熠熠光輝。

撰文 | 范明

建于1950-1980年代的斯德哥爾摩地鐵線路全長108公里，被稱為世界上最長的藝術(shù)長廊，由150位藝術(shù)家打造而成。很多地鐵站都與地面景物呼應(yīng)，設(shè)計了不同的藝術(shù)主題。鐵軌上奔馳而過的列車，好似帶領(lǐng)人們從古希臘的柏拉圖到近代的愛因斯坦，進行一場穿越2000多年物理時空的旅行。

其中的KTH皇家理工學(xué)院站于1973年9月30日落成剪彩，由瑞典著名設(shè)計師和藝術(shù)家Lennart M?rk主持設(shè)計。地鐵站以“元素與自然法則”為主題，是一個數(shù)學(xué)物理發(fā)展歷史的迷你博物館。這個地鐵站與鄰近的Stadion斯德哥爾摩體育場站分享了1973年瑞典建筑協(xié)會的Salin年度大獎，該獎由瑞典建筑師Kasper Salin捐贈，從1962年起頒發(fā)，1973年是迄今唯一一次獎勵給地鐵站臺設(shè)計。

圖1. 自左至右，自上至下分別為：1.1柏拉圖，1.2達芬奇，1.3哥白尼，1.4開普勒，1.5笛卡爾，1.6牛頓，1.7普爾海姆，1.8麥克斯韋，1.9愛因斯坦

古希臘人最先把對宇宙的認識與宗教觀念分割開來，并力圖建立一個統(tǒng)一的宇宙模型去解釋天體的復(fù)雜運動，“希臘三賢”之一柏拉圖 (Plato，前429-前347年，圖1.1) 的正多面體宇宙結(jié)構(gòu)模型就是其中的一種。正多面體是由正多邊形構(gòu)成、各頂角相等、各棱邊相等的凸多面體，具有高度對稱性和秩序感。因柏拉圖及其追隨者的研究，正多面體得到了“柏拉圖立體”的別稱。

在晚期著作《蒂邁歐篇》中，柏拉圖描寫了通過這些正多面體的幾何和諧組成的宇宙圖景。他將公元前七世紀愛奧尼亞學(xué)派的原子論與公元前六世紀畢達哥拉斯學(xué)派“萬物皆數(shù)”的數(shù)學(xué)自然觀相結(jié)合，將四個正多面體對應(yīng)于古典四元素：正四面體代表穿透力最強的火元素；正六面體代表最穩(wěn)固的土元素；正八面體代表順滑的氣元素；正二十面體代表柔和的水元素。并將不同的物理屬性賦予這些正多面體，以此解說火土氣水諸元素乃至世間萬物的生成與變化。

柏拉圖在《蒂邁歐篇》中還提到神秘的第五個正立方體，作為他心目中的宇宙模型。柏拉圖寫道：“對于剩下的第五種復(fù)合圖形，上帝用它來代表全部，并給它繡上精美的圖案?！焙髞硭膶W(xué)生亞里士多德添加了神性元素“以太” (aether)，這一概念在之后2000多年的物理觀念演化過程中起到了至關(guān)重要的作用。

正多面體的作法收錄在公元前300年左右歐幾里得撰寫的《幾何原本》第13卷中，他在書中證明了一共只有五個正多面體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體。雖然柏拉圖和亞里士多德都沒有明確提到正十二面體，但后人很自然地將其與宇宙模型和以太聯(lián)系到一起。正十二面體的每個面均為正五邊形，處處都有黃金分割率的影子。KTH地鐵站臺中心就懸掛著一個正十二面體，站臺四角則是另外四個正多面體。

圖2. KTH地鐵站臺的正多面體（點擊看大圖）

在走過中世紀的千年黑暗之后，14-17世紀的歐洲發(fā)生了一場偉大的思想文化運動，即文藝復(fù)興?？茖W(xué)與藝術(shù)融合在一起，形成了人文主義的世界觀和思想體系，其完美代表是文藝復(fù)興三杰之一、意大利百科全書式的人物列奧納多·達·芬奇 (Leonardo da Vinci，1452-1519；圖1.2，自畫像)。達·芬奇最令人矚目的是繪畫上的成就，以《蒙娜麗莎》和《最后的晚餐》聞名于世，同時他在機械、軍事、建筑、數(shù)學(xué)、物理、醫(yī)學(xué)等諸多領(lǐng)域都取得了創(chuàng)造性成果。在其私人筆記和手繪稿中，達·芬奇提出了光的折射概念及重力學(xué)原理，預(yù)見了后來哥白尼創(chuàng)立的日心說，還從水流入碗的過程研究渦旋的形成。達·芬奇寫道：太陽造成元素的運動、產(chǎn)生宇宙的熱，太陽的隱沒造成黑暗和寒冷；月亮受到太陽照亮，本身不發(fā)光，我們看到的只是月亮對著我們的被太陽照亮的一面；地球很像月亮，是一顆星。

達·芬奇十分癡迷于飛行現(xiàn)象，深信人類能夠模仿鳥類在天空翱翔。他對鳥類飛行進行了詳細研究，系統(tǒng)探索人類飛行的可能性，還設(shè)計了一些飛行器。KTH地鐵站臺上懸掛和繪制了巨大的鳥類翅膀模型以及他的設(shè)計草圖。達·芬奇闡明空氣動力學(xué)知識可以通過水動力學(xué)研究間接獲得，比其他人探索類似問題領(lǐng)先幾百年。他在手稿本中這樣寫道：“物體對空氣的阻力與空氣對物體的阻力一樣大。你會看到一只巨鷹的翅膀置身于最高和最稀有的氣體中，非常接近元素之火。你會看到空氣在海面上移動，充滿了風(fēng)帆并推動著沉重的船。根據(jù)這些例子及有說服力的理由，如果一個人有足夠大的機翼并學(xué)會克服空氣阻力，他就可以征服阻力并升起?！?/p>

圖3. KTH地鐵站臺展示的達芬奇設(shè)計的鳥類翅膀模型和設(shè)計草圖（點擊看大圖）

文藝復(fù)興見證了“日心說”從開創(chuàng)走向興盛的過程。波蘭數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家尼古拉·哥白尼(Nicolaus Copernicus，1473-1543，圖1.3) 深受古希臘先哲的影響，相信宇宙結(jié)構(gòu)取決于單純和諧的數(shù)學(xué)關(guān)系。他去世前在著作《天體運行論》中指出，地球是和五大行星一樣圍繞太陽這個不變的中心作勻速圓周運動的普通行星，其自身又繞地軸自轉(zhuǎn)。

日心說引起了人類宇宙觀的重大變革，將自然科學(xué)從神學(xué)中解放出來，標志著第一次科學(xué)革命的開始。德國天文學(xué)家約翰內(nèi)斯·開普勒 (Johannes Kepler，1571-1630，圖1.4) 是哥白尼學(xué)說的忠實信徒，在柏拉圖宇宙模型啟發(fā)下，他在1596年的著作《宇宙的奧秘》中，從最簡單的正六面體開始，按照正四面體、正十二面體、正二十面體、正八面體的從內(nèi)向外的順序，利用每個正多面體的外接和內(nèi)切球面，依次定義了土星、木星、火星、地球、金星的軌道球面。

在1609年的著作《新天文學(xué)》及1618年出版的《世界的和諧》中，開普勒整理分析了丹麥天文學(xué)家第谷長達20年的天文觀測數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)了與哥白尼體系的偏差，從而提出了“開普勒三定律”，即，行星沿著以太陽為一個焦點的橢圓軌道運動，行星與太陽的連線在相同的時間內(nèi)掃過同樣的面積，行星公轉(zhuǎn)周期的平方與其軌道半長軸的三次方成正比。

1632年，意大利物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家及哲學(xué)家伽利略·伽利萊的《關(guān)于托勒密和哥白尼兩大世界體系的對話》一書問世，被認為是這次科學(xué)革命的轉(zhuǎn)折點，由希臘與羅馬時代舊有科學(xué)知識的復(fù)興轉(zhuǎn)為現(xiàn)代科學(xué)的興起。圖4上是站臺西端的日心說模型，銘牌上是哥白尼在《天體運行論》中的七條假說及開普勒的行星運動三定律，右下圖是開普勒的行星運動模型。

圖4. （上）KTH地鐵站臺上的日心說模型；（右下）行星運動模型（點擊看大圖）

站臺主體建筑的背景是近代第一個物理天文學(xué)體系，即17世紀法國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家勒內(nèi)·笛卡爾 (René Descartes，1596-1650；圖1.5，弗蘭斯·哈爾斯作) 的渦旋宇宙論模型。笛卡爾是二元論唯心主義與歐陸理性主義的代表、西方現(xiàn)代哲學(xué)的奠基人，他認為人類應(yīng)該可以使用理性的數(shù)學(xué)方法來進行哲學(xué)思考，其名言是：“我思，故我在?！钡芽栐鴮⑷祟惖娜恐R比作一棵大樹，樹根是形而上學(xué)、樹干是物理學(xué)、樹枝是其他科學(xué)，他的主要哲學(xué)著作包括《方法論》、《幾何學(xué)》、《形而上學(xué)的沉思》 和《哲學(xué)原理》等。笛卡爾對數(shù)學(xué)最重要的貢獻是成功地將代數(shù)與幾何學(xué)整合，創(chuàng)立了以自己名字命名的平面直角坐標系，因而被認為是解析幾何之父，為牛頓和萊布尼茲在微積分學(xué)的工作提供了堅實的基礎(chǔ)。

笛卡爾根據(jù)亞里士多德的以太學(xué)說在《哲學(xué)原理》中提出了渦旋宇宙論，最早賦予以太一種力學(xué)性質(zhì)。他認為宇宙是均質(zhì)無中心無邊界的，所有物體都由同等的微粒構(gòu)成，原初物質(zhì)在混沌狀態(tài)下由勻速直線運動過渡為渦旋運動，在這種旋風(fēng)式的運動中分化結(jié)合而生產(chǎn)萬事萬物，笛卡爾把行星的圓周運動、重物的下落都歸之于旋渦吸引的結(jié)果。站臺的一個銘牌上借用了英國大文豪威廉·莎士比亞在1602年創(chuàng)作的悲喜劇《特洛勒斯與克瑞西達》中的一段臺詞，用來形容笛卡爾的渦旋理論，其大意是：當行星開始在船隊周圍徘徊時，看看會發(fā)生什么吧！瘟疫爆發(fā)，颶風(fēng)咆哮，一切統(tǒng)統(tǒng)粉粹，海水將地球一口吞噬。圖5中的左上圖是1973年Salin年度大獎的標牌，右上圖和下圖是渦旋宇宙論模型。

圖5. （左上）KTH地鐵站臺上Salin1973年度大獎標牌；（右上、下）渦旋宇宙論模型（點擊看大圖）

笛卡爾與斯德哥爾摩有著不解之緣，1649年秋天，他接受瑞典克里斯蒂娜女王之邀，前來擔(dān)任女王的私人教師?？死锼沟倌?(Kristina Alexandra，1626-1689) 是1632-1654年間的瑞典女王，她的曾祖父Gustav Vasa是16世紀瑞典王國瓦薩王朝的開國君主，并確立基督教新教路德宗為國教；她的父親Gustav II Adolf是瑞典史上唯一被國會尊為“大帝”的君主，于歐洲三十年戰(zhàn)爭的呂岑會戰(zhàn)中陣亡?？死锼沟倌扰醣徽J為是17世紀最博學(xué)多聞的女性，有“北方智慧女神”之譽。她對宗教、哲學(xué)、數(shù)學(xué)與煉金術(shù)均十分感興趣，吸引了許多想使斯德哥爾摩成為“北方雅典”的科學(xué)家，其中包括笛卡爾?？死锼沟倌饶贻p時秘密改信羅馬天主教，是反對宗教改革的重要人物，她于1654年6月5日退位，后來正式皈依天主教并移居羅馬。

多年來，坊間盛傳笛卡爾與女王之間的一段"浪漫"故事，并稱笛大叔在給女王的一封“情書”中，寫下了表示心形曲線的極坐標方程式 r=a(1-sinθ)。其實這是和“諾貝爾緋聞情敵”一樣的大烏龍，女王對異性并不感興趣，她在自傳中寫道自己“對婚姻感到無比厭惡”。更重要的是，雖然笛卡爾創(chuàng)立了直角坐標系，但瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·貝努利于1691年發(fā)表了一篇基本上是關(guān)于極坐標的文章，因此通常被認為是極坐標系的發(fā)現(xiàn)者。史上最先使用極坐標來確定平面上點的位置的是牛頓，而三角函數(shù)的符號則是1707年出生的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉引入的。圖6為法國畫家杜梅尼爾于1710年創(chuàng)作的《笛卡爾與瑞典克里斯蒂娜女王對話》 ，現(xiàn)藏巴黎凡爾賽宮。這是畫家為凡爾賽宮竣工創(chuàng)作的致賀油畫，堪稱世間最“凡爾賽”的一張畫。畫面以王宮客廳為背景，右下方站立的笛卡爾手指桌面，為坐在桌旁的女王講解直角坐標系，廷臣們或站或坐，悉心聆聽。

圖6. 凡爾賽宮的油畫《笛卡爾與瑞典克里斯蒂娜女王對話》（來源：網(wǎng)絡(luò)）（點擊看大圖）

笛卡爾在斯德哥爾摩這片“熊、冰雪與巖石的土地”上住了不久，即于1650年2月去世，終年不滿54歲。他的死因至今撲朔迷離，比較公認的說法是他不適應(yīng)北歐的寒冷氣候和女王的作息時間，因此得了肺炎。笛卡爾的宗教信仰在學(xué)術(shù)界一直存在爭議，他聲稱自己是虔誠的羅馬天主教徒，“沉思”的目的是為了維護基督教信仰。他一直試圖在宗教與科學(xué)、理性和信仰的問題上尋找一種妥協(xié)方法，但是在那個時代，他被指控為宣揚秘密的自然神論和無神論信仰。笛卡爾是與女王保持聯(lián)系的唯一的天主教徒，因此另一種說法是，一位瑞典當?shù)氐奶熘鹘躺窀干滤募みM宗教觀點對女王產(chǎn)生影響，所以將其毒死。理論上三維空間中的任意一點都可作為直角坐標系的原點，而笛卡爾生命的終點卻是固定的，即圖7（左）中位于斯德哥爾摩老城的這座房子。

圖7. （左）斯德哥爾摩老城，笛卡爾病故之所；（右）笛卡爾紀念碑及雕塑（點擊看大圖）

作為一名逝于新教國家的天主教徒，笛卡爾被臨時安葬在一個主要用于埋葬受洗前夭折的嬰兒墓地里，17年后他的遺體移葬巴黎。100多年之后，在笛卡爾最初的埋骨之地上建起了以時任瑞典國王Adolf Fredrik名字命名的教堂，教堂內(nèi)懸掛著當時的瑞典王太子、后來的國王古斯塔夫三世（Gustav III）于1770年設(shè)立、由雕塑家Johan Tobias Sergel創(chuàng)作的笛卡爾紀念碑。紀念碑的下方雕塑是一位有翅膀的天才，左手持火炬，右手揭開地球上的覆蓋物，表示將真理從謊言中解放出來 (圖7右)。故事到這里還沒有結(jié)束，1667年，笛卡爾的遺體運回巴黎時，由于靈柩狹小，頭骨被留了下來，最后不知所終。直到19世紀初，瑞典著名化學(xué)家J?ns Jacob Berzelius在斯德哥爾摩的一家拍賣行將笛卡爾的頭骨購回，現(xiàn)存巴黎夏樂宮人類學(xué)博物館。

南站臺頂部懸掛著一個巨大的蘋果 (圖8左)，源自牛頓被自家莊園的蘋果激發(fā)靈感，從而發(fā)現(xiàn)重力學(xué)說的故事。無論其真實性如何，英國物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和自然哲學(xué)家艾薩克·牛頓 (Isaac Newton，1643-1727；圖1.6，戈弗雷·內(nèi)勒作) 在他最重要的著作《自然哲學(xué)之數(shù)學(xué)原理》 (簡稱《原理》) 中闡述并證明了三大運動定律及萬有引力定律，展示了地面物體與天體運動都遵循的相同自然規(guī)律，消除了世間對“日心說”的最后一絲疑慮，點燃了人類認識宇宙科學(xué)的曙光。18世紀英國的偉大詩人亞歷山大·蒲柏為牛頓撰寫了墓志銘：“Nature and Nature's law lay hid in night; God said, 'Let Newton be', and all was light?！北本┐髮W(xué)朱照宣先生在《牛頓原理三百年祭》一文中將這段話譯為：“道法自然，久藏玄冥；天生牛頓，萬物生明。”

圖8. （左）KTH地鐵站臺上懸掛的巨大蘋果；（右）《自然哲學(xué)之數(shù)學(xué)原理》拉丁文首版扉頁（點擊看大圖）

在近代科學(xué)誕生的過程中，笛卡爾和牛頓各自發(fā)展出了不同的宇宙圖景。笛卡爾的渦旋宇宙理論是牛頓力學(xué)體系形成之前歐洲天文學(xué)的重要思想成果；牛頓在《原理》中證明了在均勻介質(zhì)的渦旋中，物體的運動不可能遵守開普勒三定律，進而得出結(jié)論：行星不是由物質(zhì)渦旋帶動的。直到18世紀中葉，牛頓體系才在這場論戰(zhàn)中獲得完全優(yōu)勢，以至于今日已經(jīng)很少有人知曉笛卡爾的渦旋宇宙理論了。

圖8（右）是烏普薩拉大學(xué)（Uppsala University）Carolina Rediviva圖書館的鎮(zhèn)館之寶——1687年拉丁文首版《原理》，該書最早的主人是牛頓的同時代科學(xué)家、該校數(shù)學(xué)和天文學(xué)教授Petrus Elvius，扉頁右下角是他的簽名及年份，后由Carolina Rediviva圖書館收藏，直到1960年代失竊。這本書在歐美被多次轉(zhuǎn)賣，2004年在紐約克里斯蒂拍賣行最后一次露面。2008年底，買主決定將原書捐贈給Carolina Rediviva圖書館，這本書終于在流浪了40多之年后完璧歸趙。

瑞典科學(xué)家、發(fā)明家和實業(yè)家克里斯托弗·普爾海姆 (Christopher Polhem，1661-1751，圖1.7) 被譽為“瑞典力學(xué)之父”，一生中有很多力學(xué)和機械發(fā)明。普爾海姆年輕時曾在烏普薩拉大學(xué)學(xué)習(xí)物理學(xué)、數(shù)學(xué)和力學(xué)，并于1697年創(chuàng)辦了瑞典第一所工程師學(xué)?！W(xué)實驗室。他發(fā)明了一套機械字母表，最初由79個木制模型組成，展示了不同運動之間的轉(zhuǎn)換規(guī)則，其中包括普爾海姆結(jié) (即萬向接頭)、各種軸承、凸輪機構(gòu)、貨架的鎖定機構(gòu)等。站臺東端展示著普爾海姆機械字母表以及麥克斯韋電磁場力線圖 (圖9上)。機械字母表自創(chuàng)建以來就是力學(xué)實驗室基礎(chǔ)機械教學(xué)使用的教具，直到后來皇家理工學(xué)院還在沿用。普爾海姆還撰寫了第一本瑞典文的代數(shù)學(xué)著作，他的半身像被印在1989-2017年間使用的瑞典500克朗面值紙幣上。

圖9. （上）普爾海姆機械字母表以及麥克斯韋電磁場力線圖 ；（右下）麥克斯韋方程組（點擊看大圖）

牛頓理論雖然正確地給出了萬有引力的定量表達式，卻沒有解釋引力傳遞過程，而且這條定律與時間無關(guān)。19世紀上半葉，邁克爾·法拉第發(fā)現(xiàn)了電磁感應(yīng)現(xiàn)象，進而推導(dǎo)出場的觀念。蘇格蘭數(shù)學(xué)物理學(xué)家詹姆斯·麥克斯韋 (James Clerk Maxwell，1831-1879，圖1.8) 用八個數(shù)學(xué)方程式歸納了電磁場的概念，建立了完整的電磁場理論體系，科學(xué)地預(yù)言了電磁波的存在，1887年赫茲用實驗證實了這一預(yù)言。電磁場理論揭示了光、電、磁現(xiàn)象的內(nèi)在聯(lián)系及統(tǒng)一性，完成了物理學(xué)的又一次大綜合，并為20世紀狹義相對論和量子力學(xué)的發(fā)展奠定了理論基礎(chǔ)。1884年奧利弗·黑維塞將麥克斯韋方程組的原始形式修改成現(xiàn)在通用的四個對稱方程的形式，在站臺北側(cè)可以發(fā)現(xiàn)這組優(yōu)美的方程式 (圖9右下)。

17世紀以來，牛頓力學(xué)推動的一系列技術(shù)革命引起了從手工勞動向動力機器生產(chǎn)轉(zhuǎn)變的重大飛躍。1794年，歐洲第一所工科大學(xué)——巴黎高等理工學(xué)院成立，19世紀初各國紛紛效仿巴黎高工的模式辦學(xué)。同時期瑞典進入工業(yè)化時代，普爾海姆創(chuàng)辦的力學(xué)實驗室經(jīng)過逐年發(fā)展、幾次易名，于1827年在其基礎(chǔ)上成立了瑞典最早也是至今規(guī)模最大的工科大學(xué)——皇家理工學(xué)院KTH（Kungliga Tekniska h?gskolan），最早的兩個專業(yè)是機械和化學(xué)。瑞典全國約三分之一的工程師都出自這所學(xué)府，故KTH可算是瑞典工程師的搖籃。KTH現(xiàn)在的主校園建于1917年，是一片民族浪漫主義的紅磚建筑，在圖10（下）的高塔上可以俯瞰斯德哥爾摩全城。

圖10. KTH校園（點擊看大圖）

圖10中左上圖的半圓形拱門通往大學(xué)主建筑，門楣浮雕是瑞典著名雕塑家卡爾·米勒斯的作品，表現(xiàn)人類與火、土、氣、水四種元素的抗爭，這一浮雕與地鐵站臺的正多面體（圖2下）上下呼應(yīng)。右上圖是校園里米勒斯的另一作品——青銅噴泉雕塑"工業(yè)紀念碑"， 表達了對瑞典工業(yè)化的禮贊。其設(shè)計靈感源自古希臘的飲用器皿，這個大碗碗壁上的浮雕是古希臘神化故事中的阿瑪宗女杰及逐獵半人馬的野狗，基座上是木匠、鐵匠、裁縫、鞋匠眾雕像，凸顯工匠精神。根據(jù)米勒斯的說法，大碗象征水利發(fā)電，有水從下方三個孔流出。而這一創(chuàng)意似乎不為眾人理解，百余年來瓜眾們給它起了不少外號，如"湯盆" "蘑菇碗" "米勒斯的痰盂"等，其實在漢語語境里，就是一個青銅大鼎。

20世紀初，阿爾伯特·愛因斯坦 (Albert Einstein，1879-1955，圖1.9) 創(chuàng)立了相對論，他將引力場詮釋成“時空彎曲”效應(yīng)，推廣了經(jīng)典的牛頓萬有引力定律，統(tǒng)一了時空和引力。他在《廣義相對論》一書中預(yù)言了三個物理現(xiàn)象：星光彎曲、引力波、黑洞天體，后來都逐一得到驗證。引力波是一種以光速傳播的時空漣漪，存在于整個宇宙，愛因斯坦認為引力波可能難以被探測到。直到2015年9月14日，13億光年之遙的雙中子星合并產(chǎn)生的引力波跨越漫長時空到達地球，被位于美國的“激光干涉引力波天文臺”LIGO探測器捕獲。這是人類首次觀測到宇宙中的引力波現(xiàn)象，獲得了時空干擾的直接證據(jù)，填補了廣義相對論實驗驗證中最后一塊“拼圖”，三名美國科學(xué)家——Rainer Weiss、Barry C. Barish和Kip S. Thorne因此分享了2017年諾貝爾物理學(xué)獎。

黑洞是宇宙中時空曲率強大到連光線都無法逃逸的物體，或者說是一個無底的重力墳?zāi)埂?019年4月10日，人類歷史上首張黑洞照片公布。英國數(shù)學(xué)家Roger Penrose因證明黑洞是廣義相對論的直接結(jié)果，德國物理學(xué)家Reinhard Genzel和美國物理學(xué)家Andrea Mia Ghez因在銀河系中央發(fā)現(xiàn)超大質(zhì)量天體，三人共享2020年諾貝爾物理學(xué)獎。1963年P(guān)enrose的原創(chuàng)論文只有三頁，數(shù)學(xué)的存在性定理對于物理學(xué)的重要性因他獲獎而首次得到承認。KTH地鐵站臺中心懸掛的正十二面體（圖11左）表示17世紀的宇宙模型，圖11（右）是這個十二面體的投影，其中的圓圈和線條表現(xiàn)了行星圍繞黑洞的運動規(guī)律，中間不同直徑的同心圓描繪了引力場的平方反比定律；平行直線及其顏色表示在距離黑洞很遠處粒子發(fā)出的光及其在引力場的位置；螺旋線則表示時間的進程如何受到空間位置的影響。

圖11. （左）KTH站臺懸掛的正十二面體；（右）十二面體的投影（點擊看大圖）

貫穿本文的五個正多面體是“簡單多面體”的特例，即與球面同胚的多面體。關(guān)于簡單多面體最有趣的定理之一是歐拉公式“ V-E+F=2”，這里V、E、F分別表示多面體的頂點、棱邊、面的數(shù)目。此公式最早是由笛卡爾在1635年左右發(fā)現(xiàn)的，并寫下了一篇關(guān)于多面體理論的文章。1675年萊布尼茨在巴黎看到這份手稿，用拉丁文抄錄了其中的重要部分，此后笛卡爾的手稿遺失。萊昂哈德·歐拉在1750年獨立發(fā)現(xiàn)、并于1752年宣布了這個公式，1809年奧古斯丁·柯西給出了第一個嚴格證明。而笛卡爾的研究直到1860年才被發(fā)現(xiàn)，此后這個方程也稱為笛卡爾-歐拉公式，被后人譽為拓撲學(xué)中最美公式。根據(jù)這一公式，可以推出只存在五個正多面體的結(jié)論。笛卡爾-歐拉公式定義了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要分支拓撲學(xué)中的一個基本概念——歐拉示性數(shù)，它是許多幾何課題中整體不變量的源泉。

受愛因斯坦關(guān)于引力波的猜想以及LIGO觀測結(jié)果的啟發(fā)，2017年丹麥80后女性藝術(shù)家Lea Porsager創(chuàng)作了大型地球藝術(shù)作品“引力漣漪”（圖12），以紀念2004年底在東南亞印度洋海嘯中的遇難者，其中有543位瑞典游客。這件作品由斯德哥爾摩狩獵南島上許多覆蓋著花朵和草皮的長短不一的弧形堤壩組成，形狀來自Fibonacci黃金雙螺旋，截面是波動函數(shù)。作品中心的兩個青銅雕塑表示量子纏繞，大的一個雕塑上面鐫刻著遇難者的名字。其整體像一個迷宮，將引發(fā)海嘯的地震波與宇宙中的引力波結(jié)合在一起，體現(xiàn)了人類的脆弱以及對于我們生存的宇宙的好奇心。

圖12. 地球藝術(shù)作品“引力漣漪”（點擊看大圖）

1921年，愛因斯坦獲諾貝爾物理學(xué)獎，迄今整整100年。謹以他在諾貝爾獎演說《我的信仰》中的一段話結(jié)束本文：

“我們認識到某種為我們所不能洞察的東西存在，感覺到那種只能以其最原始的形式為我們所感受到的最深奧的理性和最燦爛的美 —— 正是這種認識和這種情感構(gòu)成了真正的宗教感情；在這個意義上，而且也只是在這個意義上，我才是一個具有深摯宗教感情的人。…… 我自己只求滿足于生命永恒的奧秘，滿足于覺察現(xiàn)存世界的神奇結(jié)構(gòu)，窺見它的一鱗半爪，并且以誠摯的努力去領(lǐng)悟在自然界中顯示出來的那個理性的一部分，即使只是其極小的一部分，我也就心滿意足了。”

注：除圖1及特別指明外，文中圖片均為筆者所攝。