車輪到底在向哪個方向轉(zhuǎn)？聽首歌，就能回答這個問題

作者：望墨溢（西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院）

文章來源于科學(xué)大院公眾號（ID：kexuedayuan）

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兒時，每次盯著高速轉(zhuǎn)動的汽車車輪時，我總會有一種“錯覺”：前行的車輪，肯定是（向前）逆時針轉(zhuǎn)動，可為什么我覺得它在（向后）順時針轉(zhuǎn)動？難道車輪像邁克爾·杰克遜一樣，也玩“太空步”？

邁克爾·杰克遜著名的“太空步”，其中的后滑步給人一種明明在行走卻向后退的魔幻般視覺。（圖片來源：搜狗百科）

什么？你沒有盯（童）過（年）？不要緊，現(xiàn)在，請非常專注地盯著下圖中的任意一點：

（圖片來源：貓撲網(wǎng)）

看，你是不是也有同樣的“錯覺”！

至于這個錯覺的成因，我們要從憨豆先生唱歌說起~~

什么“流暢”音樂，其實都是離散數(shù)據(jù)

眼睛的錯覺，其實是人眼的“采樣頻率“太低，導(dǎo)致讀取高速變化的信息（數(shù)據(jù)）時，發(fā)生了失真,Distortion。

采樣頻率是什么？這就得從“數(shù)字化”的概念講起。沒錯，就是“數(shù)字化電視”、“數(shù)字閉路電視”里的那個詞，相識這么多年了，可你懂它么？

宏觀世界是連續(xù)的（模擬信號,Analog Signal），即每一時刻都有對應(yīng)的狀態(tài)（數(shù)值），例如憨豆先生唱歌，只要他不唱鬼畜，那每個時刻就都有他的聲音。然而，計算機無法處理模擬信號，只能處理一定單位的離散數(shù)據(jù)，例如，1Byte。

（圖片來源：作者提供）

所以，我們需要每隔一定時間間隔，讀取模擬信號的值，即為時間離散化；由于精度,Accuracy的存在，取值也無法連續(xù)：例如圓周率3.14159265……，若計算機只能處理2位小數(shù)，那圓周率=3.14（通常不進行四舍五入，而是直接舍去后面的數(shù)據(jù)），即為數(shù)值離散化。

（圖片來源：作者繪制）

至此，經(jīng)過了時間和數(shù)值的離散化，連續(xù)的模擬信號，就變成了計算機可讀取、處理的數(shù)字信號,Digital Signal，這個過程叫做采樣,Sampling，也被稱為數(shù)字化,Digitization。

其中用來取值的時間間隔，叫做采樣周期,Sampling Period，對應(yīng)的頻率（1/采樣周期）就叫采樣頻率,Sampling Frequency。

不難理解，即使是憨豆先生唱歌，20M的HQ版本，也要比5M的流暢版本更“動聽”。即采樣頻率越高（采樣點越密），數(shù)字化的數(shù)據(jù)越能還原真實的模擬信號，但與此同時，數(shù)據(jù)量也就越大，計算機處理的“負擔(dān)“也越重（播放過于高清的視頻，可能會卡頓）。

那么問題來了：在不失真的前提下，我們希望處理的數(shù)據(jù)最少（采樣周期最長），采樣頻率的下限怎么定？想象一下，肯定不能只用一個【大】字，就判斷出憨豆先生是在唱“【大】王叫我來巡山”，還是“如果【大】海能夠，帶走我的哀愁”。

數(shù)據(jù)越多，越能知道唱的是啥歌

在1982年，美國電信工程師H.奈奎斯特提出：在模擬/數(shù)字信號的轉(zhuǎn)換過程（ADC）中，采樣頻率必須大于信號中最高頻率的2倍（采樣定理，也叫奈奎斯特采樣定理）。

例如，我們對最簡單的單頻正弦信號進行采樣，當(dāng)我們用信號周期的1/20（最高頻率的20倍）進行采樣，很容易還原出這個正弦信號。

（圖片來源：作者繪制）

而當(dāng)我們用信號周期的1/2（最高頻率的2倍）進行采樣時，若我們恰好采到波峰（最高點）和波谷（最低點），就可以得到此正弦信號的幅值（（波峰-波谷）/2）以及周期（（波谷時刻-波峰時刻）*2），也可以還原出原始信號。

（圖片來源：作者繪制）

做一個不恰當(dāng)?shù)念惐龋ê┒瓜壬疾唤橐?，你介意什么）：設(shè)憨豆先生唱歌的頻率是“1字/1次，根據(jù)采樣定理，若兩個字采樣一次（最高頻率的2倍），結(jié)果為“如、大、能、帶、我、哀，就，它，風(fēng)，遠”，就不難猜出：憨豆先生在唱張雨生的《大?！贰?/p>

（圖片來源：作者提供）

然而，信號最高頻率的2倍往往不夠，因為即使恰好采樣到波峰和波谷，我們也是無法分辨原始信號究竟是正弦波信號/交流信號,Alternation Current,AC，還是三角波信號；另外，還有可能采樣到零點處，讓我們誤以為原始信號是段常數(shù)信號/直流信號,Direct Current,DC……

（圖片來源：作者繪制）

因此，在實際工程應(yīng)用中，采樣頻率一般取信號最高頻率的2.56-4倍，特殊情況下，甚至需要更高倍數(shù)。畢竟，數(shù)據(jù)多了不怕，可以降采樣,Downsampling（每隔若干點，只取一點）。注意，降采樣的約束條件，依舊是奈奎斯特采樣定理。

（圖片來源：作者繪制）

可如果數(shù)據(jù)少了，又該怎么讓信息損失（失真）最小呢？最常見的處理方法是插值,Interpolation：根據(jù)某種算法，在已有數(shù)據(jù)中“創(chuàng)造”若干新數(shù)據(jù)，最簡單的算法是用相鄰兩個數(shù)據(jù)的均值作為新數(shù)據(jù)。

（圖片來源：作者繪制）

假如，憨豆先生又愛上了《小鯉魚歷險記》的主題曲，我們采樣到的數(shù)據(jù)是“大，大，小/1，3，5，7/do，mi，so，xi”，在相鄰兩個數(shù)據(jù)間，用均值作為插值，則可以還原“大，大，中，小，小/1，2，3，4，5，6，7/do，rui，mi，fa，so，la，xi”。

（圖片來源：作者提供）

可見，插值雖可以減小失真，但無法徹底消除信息的缺失。另外，現(xiàn)實中的插值算法種類繁多，不同的情況下應(yīng)采用不同的算法。

前段時間，在日本，一位女星公開了一張自拍，有位死宅通過放大她眼睛里的映像，推斷出了她的住址，后因騷擾該女星被捕。不難想象，在放大圖片時，好的插值算法，可以更好地還原像素間的空缺，使細節(jié)更清晰。

（圖片來源：作者提供）

唱do的同時又唱la，數(shù)據(jù)：我好難，還原不出來

若不滿足奈奎斯特采樣定理（采樣頻率過低），會發(fā)生一種在信號處理領(lǐng)域中，不容忽視的失真--混疊,Aliasing。簡單來講，就是數(shù)字信號怎么都無法還原出原始信號?；殳B分為兩類，一類為時域混疊，一類是頻域混疊。

依舊對正弦信號進行采樣，用過低的采樣頻率進行采樣（這里為信號頻率的4/3），會出現(xiàn)如下“誤會“：

（圖片來源：作者繪制）

可見，當(dāng)不滿足奈奎斯特采樣定理時（采樣頻率