伽馬分布

伽瑪分布（Gamma Distribution）是統(tǒng)計(jì)學(xué)的一種連續(xù)概率函數(shù)，是概率統(tǒng)計(jì)中一種非常重要的分布?！爸笖?shù)分布”和“χ2分布”都是伽馬分布的特例。1

Gamma分布中的參數(shù)α稱為形狀參數(shù)（shape parameter），主要決定了分布曲線的形狀;β稱為反尺度參數(shù)（inverse scale parameter），主要決定曲線有多陡。1

定義與概念

假設(shè)隨機(jī)變量X為等到第α件事發(fā)生所需之等候時(shí)間，且每個事件之間的等待時(shí)間是互相獨(dú)立的，α為事件發(fā)生的次數(shù)，β代表事件發(fā)生一次的概率，那么這α個事件的時(shí)間之和服從伽馬分布，其概率密度函數(shù)為3

特征函數(shù)為

均值與方差

伽馬分布的均值與方差分別為

變化趨勢

伽馬分布的概率密度函數(shù)和失效率函數(shù)取決于形狀參數(shù)的數(shù)值。

當(dāng)時(shí)，為嚴(yán)格下降函數(shù)，且在x=0處有奇異點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，為嚴(yán)格下降函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，為單峰函數(shù)；2

伽馬分布的特性

Gamma的可加性

兩個獨(dú)立隨機(jī)變量X和Y，且X~Ga(a,γ)，Y~Ga(b,γ)，則Z = X+Y ~ Ga(a+b,γ)。即兩個尺度參數(shù)相同的獨(dú)立的伽馬分布之和仍滿足伽馬分布，其尺度參數(shù)不變，而形狀參數(shù)相加

Gamma分布的特殊形式

當(dāng)形狀參數(shù)α=1時(shí)，伽馬分布就是參數(shù)為γ的指數(shù)分布，X~Exp（γ）

當(dāng)α=n/2，β=1/2時(shí)，伽馬分布就是自由度為n的卡方分布，X^2(n)