量子算法

量子算法是一種專為量子計算機設(shè)計的計算程序，它利用了量子力學(xué)中的獨特性質(zhì)來執(zhí)行任務(wù)。這些性質(zhì)包括量子疊加、量子糾纏和量子干涉等，使得量子算法在某些情況下能夠比傳統(tǒng)經(jīng)典算法更高效地解決問題。

量子計算機具有天然的并行處理能力，由于量子疊加原理，一個量子系統(tǒng)可以同時處理大量信息，且對于某些特定類型的問題，比如大整數(shù)分解或無序數(shù)據(jù)庫搜索，量子算法能提供指數(shù)級的速度提升。量子計算的并行性是有別于經(jīng)典計算并行性的。經(jīng)典的并行計算主要是靠多重硬件同時計算來實現(xiàn)，而量子并行計算是在同一個量子線路中完成的1。

量子算法的發(fā)展前景非常廣闊，如在新材料與藥物發(fā)現(xiàn)方面30，量子模擬算法可以精確地模擬分子和材料的行為，從而加速新材料的研發(fā)過程以及新藥的開發(fā)31；在加密與安全方面，基于量子特性的加密技術(shù)，如量子密鑰分發(fā)（QKD），提供了理論上絕對安全的通信手段；在優(yōu)化問題上，量子優(yōu)化算法可以幫助解決復(fù)雜的組合優(yōu)化問題32。應(yīng)用方面，金融機構(gòu)已經(jīng)開始探索使用量子算法進行市場趨勢分析、風(fēng)險評估和投資策略優(yōu)化33，量子密鑰分發(fā)和其他基于量子的技術(shù)正逐漸成為增強信息安全的重要工具。

定義

量子算法是在量子位和量子門上執(zhí)行的有限序列，指令定義明確，用于解決一個或一類問題3。

發(fā)展歷史

理論提出及探索階段

1980年：美國阿貢國家實驗室的Paul Benioff發(fā)表了一篇論文，提出了量子力學(xué)模型的圖靈機，這是量子計算概念的初步探索。

1981年：諾貝爾獎得主理查德·費曼（Richard Feynman）在麻省理工學(xué)院的演講中提出了量子計算機的概念，指出經(jīng)典計算機難以有效模擬量子系統(tǒng)，而量子計算機可以。

1985年：英國牛津大學(xué)的大衛(wèi)·德伊奇（David Deutsch）提出了量子圖靈機的概念，并設(shè)計了第一個量子算法Deutsch算法。

1992年：Deutsch與劍橋大學(xué)的理查德·喬薩（Richard Jozsa）合作，擴展了Deutsch算法，形成了Deutsch-Jozsa算法，這是首個展示量子計算優(yōu)勢的算法。

通用量子算法發(fā)展階段

1994年：彼得·肖爾（Peter Shor）提出了Shor算法，這是一個能夠在多項式時間內(nèi)解決大整數(shù)因式分解問題的量子算法，這對密碼學(xué)產(chǎn)生了巨大影響。

1996年：Lov Grover提出了Grover算法，這是一種量子搜索算法，能夠以平方根加速的方式在無序數(shù)據(jù)庫中搜索特定元素。

2009年：Aram Harrow、Avinatan Hassidim和Seth Lloyd開發(fā)了HHL算法，用于求解線性方程組，相比經(jīng)典算法有指數(shù)級加速效果。

專用量子算法繁榮階段

2009年至2018年間：隨著量子硬件的發(fā)展，研究人員開始探索非通用量子計算架構(gòu)，即專用量子計算機，這些架構(gòu)專注于解決特定類型的問題。例如，變分量子特征值求解器（VQE）和量子近似優(yōu)化算法（QAOA）就是在這一時期開發(fā)出來的，它們被設(shè)計用來解決化學(xué)和優(yōu)化問題。

量子AI探索階段

2018年后：量子計算與人工智能（AI）的結(jié)合成為了新的研究熱點。谷歌、IBM等公司開始探索如何利用量子計算來增強機器學(xué)習(xí)算法，例如通過量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（QNN）和量子支持向量機（QSVM）等。

基礎(chǔ)概念

量子比特

一個量子比特（quantum bit，簡稱qubit）可由一個二維單位列向量表示。和是兩個特殊的量子比特，稱為可計算基態(tài)，用狄拉克符號表示為，。一般的單量子比特用表示，即。因此，且。

由于，所以存在實數(shù)、和使得，而對觀測沒有影響，因此可以忽略，即也可表示為。其中，，?？梢姡袉瘟孔颖忍?img src="https://pqnoss.kepuchina.cn/url/2025/02/26/20250226193825_115db5.jpg" alt="" title="%7C%20%5Cpsi%20%5Crangle%20%5C" />與Bloch球面上的點一一對應(yīng)，如圖2.1所示4。

量子邏輯門

在量子計算中，通過對量子位狀態(tài)進行一系列的酉變換來實現(xiàn)某些邏輯變換功能。因此，在一定時間間隔內(nèi)實現(xiàn)邏輯變換的量子裝置，稱其為量子邏輯門（量子門）。量子門是在物理上實現(xiàn)量子計算的基礎(chǔ)。單量子比特門可以由矩陣給出，對用作量子門的矩陣，唯一要求是其具有酉性，即，其中是的共軛轉(zhuǎn)置，是單位矩陣。表2.2給出了常用的單比特量子門的名稱及矩陣表示5。

|| || 表2.2 常用單比特量子門的名稱及酉矩陣

由表2.2通過簡單計算，可知和。應(yīng)該指出，盡管門被稱為門，但矩陣中出現(xiàn)的確是，這是因為

故將其稱為門。

主要優(yōu)勢

并行處理能力

量子疊加：量子比特（qubits）不同于經(jīng)典比特只能處于0或1狀態(tài)，它可以同時處于這兩種狀態(tài)的任意線性組合。這意味著個量子比特可以表示種可能的狀態(tài)，并且所有這些狀態(tài)都是同時存在的。例如，一個3量子比特系統(tǒng)可以同時代表8個不同的狀態(tài)：。當(dāng)執(zhí)行算法時，這相當(dāng)于同時對個數(shù)據(jù)點進行操作。

并行計算：由于這種疊加性質(zhì)，量子計算機可以在一次運算中對大量數(shù)據(jù)執(zhí)行相同的操作。如果一個函數(shù)需要對每個輸入值進行評估，那么量子計算機能夠利用疊加態(tài)來一次性評估該函數(shù)對于所有可能輸入的結(jié)果，這是量子并行性的體現(xiàn)6。

加速特定問題解決

并非所有計算任務(wù)都能從量子并行性和加速中獲益，目前只有部分特定類型的問題被證明可以通過量子算法得到有效解決，如下文提到的Shor算法。

量子計算復(fù)雜性研究中最顯著的結(jié)果之一是。很明顯，，其中BQP（bounded-error quantum polynomial time）是量子計算機在多項式時間內(nèi)可以解決的一類決策問題。BPP是判定問題的經(jīng)典復(fù)雜類，它可以在經(jīng)典圖靈機上用多項式時間以有界錯誤概率求解。所以有。如果證明了，意味著量子計算機比經(jīng)典計算機更強大，也意味著。但是，目前還不清楚是否成立29。

著名的量子算法

Deutsch算法

Deutsch算法是第一個量子算法。雖然該算法簡單，但它體現(xiàn)了量子并行性和量子相干性的基本思想，也展現(xiàn)了量子算法的基本過程2。

首先介紹Deutsch問題