狄利克雷函數(shù)

狄利克雷函數(shù)（英語(yǔ)：Dirichlet function）是定義在實(shí)數(shù)集R上的有理數(shù)集合Q 的特征函數(shù)，通常記為 D（x）。該函數(shù)以德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷的名字命名。1狄利克雷函數(shù)是一個(gè)典型的病態(tài)函數(shù)，提供了許多反例：它是處處不連續(xù)、處處極限不存在的可測(cè)函數(shù)，黎曼不可積但勒貝格可積，恰好以全體有理數(shù)Q 為周期。

定義

狄利克雷函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的有理數(shù)集的特征函數(shù) ，即

它也可以表示為一個(gè)連續(xù)函數(shù)序列的雙重逐點(diǎn)極限：

其中為正整數(shù)。

拓?fù)湫再|(zhì)

狄利克雷函數(shù)處處不連續(xù)：對(duì)任意一點(diǎn)，由于有理數(shù)和無(wú)理數(shù)都是稠密的，對(duì)的任意開鄰域總能找到使得中一個(gè)是有理數(shù)而另一個(gè)是無(wú)理數(shù)，此時(shí)有，是故狄利克雷函數(shù)處處不連續(xù)。

然而，狄利克雷函數(shù)在有理數(shù)集或無(wú)理數(shù)集上的限制都是連續(xù)的，因?yàn)槠湎拗贫际浅?shù)。狄利克雷函數(shù)是Blumberg定理的典例。

狄利克雷函數(shù)是Baire 2類函數(shù)，因?yàn)樗沁B續(xù)函數(shù)序列的雙重逐點(diǎn)極限：

其中為正整數(shù)。Baire 1類函數(shù)只在一個(gè)貧集（第一綱集）上不連續(xù)，因此狄利克雷函數(shù)不是Baire 1類函數(shù)。2

分析性質(zhì)

狄利克雷函數(shù)在實(shí)數(shù)集的任意區(qū)間上黎曼不可積：它的不連續(xù)點(diǎn)集不是勒貝格零測(cè)集。

狄利克雷函數(shù)在實(shí)數(shù)集上勒貝格可測(cè)且勒貝格可積，積分為0：它是零測(cè)集的特征函數(shù)。

狄利克雷函數(shù)提供了一個(gè)反例說(shuō)明單調(diào)收斂定理對(duì)于黎曼積分不成立：取有理數(shù)集的一個(gè)排列并設(shè)為排列中前項(xiàng)所組成集合的特征函數(shù)，那么是非負(fù)、單增、黎曼可積的，但逐點(diǎn)收斂到黎曼不可積的狄利克雷函數(shù)。

周期性

狄利克雷函數(shù)恰好以全體有理數(shù)為周期：這是因?yàn)橛欣頂?shù)與有理數(shù)的和仍為有理數(shù)，有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的和為無(wú)理數(shù)；同時(shí)任何無(wú)理數(shù)都不會(huì)是狄利克雷函數(shù)的周期，否則將產(chǎn)生矛盾。狄利克雷函數(shù)提供了沒有最小正周期的非常值函數(shù)的一個(gè)例子，也提供了周期點(diǎn)集為稠密集的非常值函數(shù)的一個(gè)例子。