中文字幕AV一区二区三区人妻少妇,在线最新短片福利

費(fèi)馬大定理 (Fermat’s Last Theorem)，又被譯為“費(fèi)馬最后定理”，在老的文獻(xiàn)中也常被稱為費(fèi)馬猜想 (Fermat’s conjecture)。其斷言不存在三個(gè)正整數(shù)x,y,z使得n大于2時(shí)方程xn+yn=zn(也被稱為費(fèi)馬方程)有解。

費(fèi)馬大定理是法國(guó)數(shù)學(xué)家皮埃爾·德·費(fèi)馬 (Pierre deFermat)在 1637 年前后作為一個(gè)定理提出的。他在丟番圖 (Diophantus) 的《算術(shù)》拉丁文譯本的頁(yè)邊空白處陳述了此命題并稱自己已經(jīng)證明，但他的證明在頁(yè)邊的空白處寫不下。費(fèi)馬大定理在當(dāng)時(shí)難以證明，因此其常被稱為費(fèi)馬猜想而非定理，費(fèi)馬所稱的證明也不被承認(rèn)。無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家嘗試證明該命題但都以失敗告終，直到命題提出 358 年后的 1994 年，安德魯·懷爾斯 (AndrewWiles)才成功完成證明，并于1995 年正式發(fā)表。

定理陳述

當(dāng)整數(shù)時(shí)，關(guān)于的方程沒(méi)有整數(shù)解。

定理歷史

丟番圖方程

丟番圖方程是具有整系數(shù)的兩個(gè)或多個(gè)未知數(shù)的多項(xiàng)式方程，僅考慮它的整數(shù)解。其以 3世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖命名，他研究了一些這樣的方程并提出了解某些丟番圖方程的方法。

費(fèi)馬方程就是一類丟番圖方程。費(fèi)馬方程，取為1時(shí)，其是線性方程，通解可以的參數(shù)形式給出。

而取為2時(shí)，其變成了勾股定理所滿足的方程，也被稱為勾股方程或畢達(dá)哥拉斯方程(Pythagorean equation)。該方程也有無(wú)窮多組整數(shù)解，可以的參數(shù)表達(dá)式全部給出。

但當(dāng)大于等于3時(shí)，方程將沒(méi)有除了以外任何整數(shù)解了(也稱為非平凡整數(shù)解)，此與費(fèi)馬猜想的內(nèi)容一致。

費(fèi)馬猜想

《算術(shù)》中的問(wèn)題 II.8 問(wèn)如何將給定的平方數(shù)分成另外兩個(gè)平方；即對(duì)于給定的有理數(shù)，找到有理數(shù)和使得。丟番圖展示了的情況（解為）1

1637 年前后，費(fèi)馬在他的《算術(shù)》拉丁文譯本的頁(yè)邊空白處、丟番圖平方和問(wèn)題旁邊，寫下了他的斷言：

"不可能將一個(gè)三次方數(shù)分成兩個(gè)三次方數(shù)，或者將一個(gè)四次方數(shù)分成兩個(gè)四次方數(shù)，或者一般來(lái)說(shuō)，將任何高于二次方的數(shù)分成兩個(gè)同次方的數(shù)。我發(fā)現(xiàn)了一個(gè)真正奇妙的證明，但這個(gè)頁(yè)邊太窄寫不下。"2

拉丁文原文：

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duosquadratoquadrutos 6 generaliter nullam in infnitum ultra quadratum potestatemin duos eiusdem nominis fasest dividere cuius rei demonstrationem mirabilemsane detexi. Hancmarginis exiguitas non caperet.

盡管當(dāng)時(shí)該命題并不是一個(gè)定理，但隨著時(shí)間的推移，它還是被稱為費(fèi)馬最后定理3，因?yàn)樗琴M(fèi)馬斷言的最后一個(gè)尚未得到證明的命題。

歷史上的嘗試

費(fèi)馬利用無(wú)窮遞降法證明了整數(shù)邊長(zhǎng)的直角三角形的面積不是完全平方數(shù)3。進(jìn)一步此方法也能說(shuō)明方程沒(méi)有非平凡整數(shù)解，實(shí)際上便證明了費(fèi)馬猜想的情形。因此對(duì)奇素?cái)?shù)證明費(fèi)馬猜想即可，因?yàn)槿魏畏匠?img src="https://pqnoss.kepuchina.cn/url/2025/02/26/20250226190259_3cdbe9.jpg" alt="" title="x%5En%2By%5En%3Dz%5En" />有非平凡整數(shù)解都會(huì)導(dǎo)致有非平凡整數(shù)解，其中是的任何一個(gè)素因子。

在其猜想之后的兩個(gè)世紀(jì)(1637-1839)中，費(fèi)馬猜想進(jìn)展緩慢。1770 年，萊昂哈德·歐拉(Leonhard Euler)給出了的證明4。盡管歐拉的證明存在一定缺陷，但由于他證明了所必需的引理，因此通常認(rèn)為他是第一個(gè)證明該情形的。

1825 年前后，法國(guó)數(shù)學(xué)家勒讓德 (Adrien-Marie Legendre) 和德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷 (Peter Gustav Lejeune Dirichlet) 分別獨(dú)立證明了的情形。

之后還有許多數(shù)學(xué)家討論了7 及一些非素?cái)?shù)情形的直接證明，但多采用改進(jìn)的無(wú)窮遞降法。當(dāng)逐漸變大，逐個(gè)素?cái)?shù)證明已經(jīng)不現(xiàn)實(shí)。直到 19 世紀(jì)初，法國(guó)數(shù)學(xué)家索菲·熱爾曼 (Marie-Sophie Germain) 才做出了關(guān)于一類素?cái)?shù)情形的突破性工作。5

對(duì)于指數(shù)的費(fèi)馬方程，熱爾曼證明了如下結(jié)果：

若有素?cái)?shù)使得模下既沒(méi)有連續(xù)的兩個(gè)次冪，又沒(méi)有一個(gè)次冪同余于，則費(fèi)馬方程的解中某個(gè)數(shù)會(huì)被整除。

熱爾曼寫信給勒讓德陳述了該命題，但她最初只證明了之一會(huì)被整除，并被勒讓德發(fā)表，后來(lái)修正后才得到上述結(jié)果。

她還構(gòu)造了索數(shù),其中不被 3 整除。她期望證明如果沒(méi)有模下連續(xù)的兩個(gè)次冪，那么整除之一，并且希望說(shuō)明這樣的有無(wú)窮多個(gè)，從而與xyz素因子有限矛盾。

1847年，拉梅 (Gabriel Lamé) 概述了他對(duì)費(fèi)馬猜想的證明，該證明基于將費(fèi)馬方程在分圓域上因式分解。但是他的證明有錯(cuò)誤，因?yàn)樗e(cuò)誤地假設(shè)了這樣的域上的“整數(shù)”也有唯一分解性質(zhì)。劉維爾(Joseph Liouville)很快指出了這一問(wèn)題，之后庫(kù)默爾(Ernst Kummer)撰寫的一篇論文中也說(shuō)明了這一點(diǎn)。

庫(kù)默爾創(chuàng)造出理想數(shù)這一精妙的概念一定意義下恢復(fù)了這種唯一分解性質(zhì)。進(jìn)一步沿著拉梅的辦法他證明所有所謂正則素?cái)?shù)下的費(fèi)馬大定理，這樣的素?cái)?shù)約占所有索數(shù)的 60.65%(精確的比例還是個(gè)猜想，由西格爾 (Carl Ludwig Siegel) 在 1964 年提出)。

20 世紀(jì)中葉以后，計(jì)算機(jī)的發(fā)展延續(xù)了庫(kù)默爾對(duì)于非正則素?cái)?shù)的處理方法，1993 年完成了對(duì)小于四百萬(wàn)的素?cái)?shù)情形的證明。6

與橢圓曲線的聯(lián)系

1955年左右，日本數(shù)學(xué)家志村五郎 (Goro Shimura) 和谷山豐 (Yutaka Taniyama) 觀察到橢圓曲線和模形式這兩個(gè)看似完全不同的數(shù)學(xué)分支之間可能存在聯(lián)系。由此他們猜想(稱為谷山-志村猜想，后也稱為模性定理(modularity theorem))，每條橢圓曲線都是模性的，即可通過(guò)-函數(shù)唯一對(duì)應(yīng)一個(gè)模形式。

這個(gè)猜想最初被認(rèn)為不太可能而不太受待見(jiàn)，但數(shù)論學(xué)家韋伊(André Weil)發(fā)現(xiàn)了一些支持它的證據(jù)(盡管沒(méi)有證明這一點(diǎn))，此后人們更加認(rèn)真地對(duì)待這一猜想；因此，該猜想也被稱為谷山-志村-韋伊猜想。

1984年，弗雷 (Gerhard Frey) 注意到費(fèi)馬方程和谷山-志村猜想之間的聯(lián)系：如果費(fèi)馬方程對(duì)于指數(shù)有任何解，則可以證明半穩(wěn)定橢圓曲線將會(huì)有異常的性質(zhì)以至于它不太可能是模性的。因此證明半穩(wěn)定橢圓曲線情形的谷山-志村猜想可能能證明費(fèi)馬大定理。弗雷沒(méi)有充分證明他的觀察。塞爾(Jean-Pierre Serre)確定了他的問(wèn)題(其后被稱為epsilon 猜想)，并提供了幾乎完整的證明；最終黎貝(Kenneth Alan Ribet) 完全處理了這個(gè)問(wèn)題，因此該猜想也被稱為黎貝定理 (Ribet’s theorem)。

懷爾斯的最終證明

在黎貝的工作后，只需要證明半穩(wěn)定橢圓曲線情形的谷山-志村猜想即可證明費(fèi)馬大定理，懷爾斯很快便對(duì)此進(jìn)行了嘗試。懷爾斯幾乎完全保密的情況下開(kāi)始進(jìn)行對(duì)這個(gè)問(wèn)題的研究，為此他將其他的工作單獨(dú)而分散地發(fā)表，并只將此事告知了他的妻子。懷爾斯最初希望在伽羅瓦理論 (Galois theory)5的基礎(chǔ)上嘗試用歸納法證明，但這種方法似乎不足以解決這一問(wèn)題，懷爾斯便考慮拓展巖澤理論(Iwasawa theory。到 1991 年，巖澤理論似乎也難以處理這一問(wèn)題，懷爾斯便尋求其他出路，最終發(fā)現(xiàn)科利瓦金 (Victor Kolyvagin) 和弗拉赫 (Matthias Flach) 最新發(fā)展出的一個(gè)歐拉系統(tǒng) (Euler system)可以適用。懷爾斯拓展這一辦法，并在 1993 年 1 月邀請(qǐng)了普林斯頓大學(xué)的同事尼克·卡茨 (Nick Katz) 幫忙檢查證明的正確性。

1993 年 5 月中旬，懷爾斯認(rèn)為自己完成了費(fèi)馬大定理的證明。6 月 21 日至 23 日，懷爾斯在艾薩克·牛頓數(shù)學(xué)科學(xué)研究所的三次講座上展示了他對(duì)半穩(wěn)定橢圓曲線的谷山-志村猜想的證明，以及黎貝對(duì) epsilon猜想的證明。5然而，在同行評(píng)審期間，包括卡茨在內(nèi)的幾位審閱懷爾斯手稿的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)證明中的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是錯(cuò)誤的。懷爾斯錯(cuò)誤地估計(jì)了一個(gè)群的階的界?？ù挠?1993年 8月 23 日將此消息告訴了懷爾斯。

懷爾斯花了將近一年的時(shí)間試圖修補(bǔ)這一證明，期間邀請(qǐng)了他以前的學(xué)生理查德·泰勒 (Richard Taylor)合作，但沒(méi)有成功。1993年底已有傳言稱，懷爾斯的證明有誤，但嚴(yán)重程度尚不清楚。數(shù)學(xué)家們開(kāi)始向懷爾斯施壓，要求他公開(kāi)他的證明，以便數(shù)學(xué)家們使用他發(fā)展出來(lái)的一系列方法。

懷爾斯后來(lái)說(shuō)，1994 年 9月 19 日上午，他幾乎要放棄了，幾乎認(rèn)命地接受失敗的事實(shí)，并決定發(fā)表自己的研究成果，以便其他人在此基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)并修復(fù)錯(cuò)誤。當(dāng)時(shí)他正在做最后的努力，試圖找出他的方法無(wú)法奏效的根本原因，這時(shí)他突然意識(shí)到，盡管科利瓦金-弗拉赫方法無(wú)法直接奏效，但若他利用其改進(jìn)巖澤理論，那么他最初對(duì)于巖澤理論的嘗試似乎有效。最終他成功了。5

1994 年 10 月 24 日，懷爾斯提交了兩份手稿，分別是《模橢圓曲線與費(fèi)馬大定理》(Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem) 和《某些赫克代數(shù)的環(huán)理論性質(zhì)》(Ring theoretiontion properties of certainHecke algebras)。5其中第二份手稿與泰勒合著。這兩篇論文經(jīng)過(guò)審查，并作為 1995 年 5 月《數(shù)學(xué)年刊》(Annalsof Mathematics) 的全文發(fā)表。證明中將形變環(huán)與赫克代數(shù)等同起來(lái)的方法(現(xiàn)在稱為 R=T 定理)可以證明模性提升定理，有力推動(dòng)了代數(shù)數(shù)論的發(fā)展。

至此，懷爾斯證明了半穩(wěn)定橢圓曲線情形的模性定理，便完成了費(fèi)馬大定理的證明。

后續(xù)發(fā)展

懷爾斯的工作后，完整的谷山-志村-韋伊猜想最終也被 Fred Diamond（1996）7 、Brian Conrad; Fred Diamond; Richard Taylor（1999）8和 Christophe Breuil; Brian Conrad; FredDiamond; Richard Taylor（2001）9證明。他們?cè)趹褷査沟墓ぷ骰A(chǔ)上，逐步解決剩余的情況，直到完整結(jié)果得到證明。由于其已被完整證明，現(xiàn)多稱為模性定理(modularity theorem)。

證明思路

由于定理證明過(guò)于繁瑣漫長(zhǎng)，且有許多技術(shù)性細(xì)節(jié)，完善的綜述可以參考 Darmon, Diamond, Taylor 的10,其包含了橢圓曲線 (elliptic curves)、模形式(modularforms)以及伽羅瓦表示(Galoisrepresentations) 等前置知識(shí)。此處僅列出思路。