轉(zhuǎn)動慣量

轉(zhuǎn)動慣量（Moment of inertia）是經(jīng)典力學(xué)中，剛體繞軸轉(zhuǎn)動時慣性（回轉(zhuǎn)物體保持其勻速圓周運動或靜止的特性）的量度。轉(zhuǎn)動慣量通常用字母I或J表示，其國際單位制單位為 kg·m2。1

轉(zhuǎn)動慣量具有重要的物理意義，在轉(zhuǎn)動力學(xué)中被用于方便地描述角動量、角速度、力矩和角加速度等數(shù)個量之間的關(guān)系，扮演著相當(dāng)于質(zhì)量在線性動力學(xué)中的角色。

在科學(xué)實驗、工程技術(shù)、航天、電力、機(jī)械、儀表等工業(yè)領(lǐng)域中，剛體的轉(zhuǎn)動慣量是一個重要的參量。如電磁系儀表的指示系統(tǒng)使用轉(zhuǎn)動慣量不同的線圈，可分別測量微小的電流（檢流器）或電量（沖擊電流計）。在發(fā)動機(jī)葉片、飛輪、陀螺以及人造衛(wèi)星的外形設(shè)計時，精確地測定轉(zhuǎn)動慣量，也是十分必要的。

定義

一般定義

剛體每一無窮小區(qū)域都可以處理成點部位，所含質(zhì)量記為，到轉(zhuǎn)軸的垂直距離記為，速度為，角速度為定軸轉(zhuǎn)動時剛體的動能為

也可表述成

其中I是由剛體物質(zhì)分布和轉(zhuǎn)軸位置確定的動力學(xué)量，稱為剛體相對某轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。1

轉(zhuǎn)動慣量的量綱為，在國際單位制中，其單位為kg·m2

對于一個有多個質(zhì)點的系統(tǒng)，。表示剛體的某個質(zhì)元的質(zhì)量，表示該質(zhì)點到轉(zhuǎn)軸的垂直距離。

對于剛體，可以對無限個質(zhì)點的轉(zhuǎn)動慣量求和，即用積分方法計算其轉(zhuǎn)動慣量，，其中 是密度，是質(zhì)點到轉(zhuǎn)軸的距離。

張量定義

剛體繞某一點轉(zhuǎn)動的慣性可由更普遍的慣性張量描述：

將剛體每一無窮小區(qū)域處理成點部位，剛體的動能為

（為了書寫公式簡便，此處和下文中省略了標(biāo)記質(zhì)點的下標(biāo)）

將公式帶入得（其中為剛體某點的速度，為剛體的質(zhì)心速度，為剛體的轉(zhuǎn)動角速度，為質(zhì)點離質(zhì)心的距離）

第二項可寫成

由于，令，化簡得

于是，剛體動能可以寫成兩個部分之和．第一項是平動的動能，其形式如同整個剛體質(zhì)量集中在質(zhì)心．第二項是剛體以角速度繞通過質(zhì)心的軸轉(zhuǎn)動的動能．

將轉(zhuǎn)動動能改寫成張量形式

(字母i, j, k表示張量的下標(biāo)，可取值1,2,3．總是采用求和規(guī)則，按此規(guī)則省略求和號，在任何表示式中兩次重復(fù)出現(xiàn)的下標(biāo)——也稱"啞"下標(biāo)——就意味著對值1,2,3求和，例如,等等．顯然"啞"下標(biāo)的表示可以任意改變,只要它不與該式子中使用的其它下標(biāo)相同)

這里用到了恒等式，其中 是單位張量（其分量在i = k時等于1，在i ≠ k時等于零）．引入張量

最終剛體動能表達(dá)式為

張量 稱為剛體慣量矩張量，或者簡稱剛體慣量張量．

為了清楚起見，將慣量張量的分量寫成顯式

易知，它是對稱的，即

分量稱為對相應(yīng)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動慣量．2

如果將剛體當(dāng)作連續(xù)體，則在定義中的求和改為對剛體體積的積分：

像任何二階對稱張量一樣，慣量張量可以通過適當(dāng)選擇坐標(biāo)軸的方向約化為對角的形式．這些方向稱為慣量主軸，而慣量張量相應(yīng)的對角分量稱為主轉(zhuǎn)動慣量，用表示．在這樣選擇坐標(biāo)軸時，轉(zhuǎn)動動能表示為特別簡單的形式：

相關(guān)定理

平行軸定理

取兩個互相平行、間距為的轉(zhuǎn)軸MN和PQ，其中PQ過剛體質(zhì)心C．對剛體任一質(zhì)元，從MN軸設(shè)置徑向朝外的矢量和，再從PQ軸向質(zhì)元．引出矢量

如圖所示．剛體相對MN 軸的轉(zhuǎn)動慣量為

因

其中 應(yīng)是PQ 軸向質(zhì)心C 引出的矢量，自然為零．將剛體相對于過質(zhì)心轉(zhuǎn)軸PQ 的轉(zhuǎn)動慣量記為

則有

其中為剛體質(zhì)量，這就是剛體轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理。1

垂直軸定理

以平板剛體某一點部位為坐標(biāo)原點建立坐標(biāo)系，使板平面恰好在平面上，如圖5-18所示．將剛體相對于軸的轉(zhuǎn)動慣量分別記為則有

即