科普中國(guó)-勾股定理

勾股定理，是一個(gè)基本的幾何定理，指直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。中國(guó)古代稱(chēng)直角三角形為勾股形，并且直角邊中較小者為勾，另一長(zhǎng)直角邊為股，斜邊為弦，所以稱(chēng)這個(gè)定理為勾股定理，也有人稱(chēng)商高定理。

勾股定理現(xiàn)約有五百種證明方法，是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一。勾股定理是人類(lèi)早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，用代數(shù)思想解決幾何問(wèn)題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一。

周朝時(shí)期，商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。

定義

在平面上的一個(gè)直角三角形中，兩個(gè)直角邊邊長(zhǎng)的平方加起來(lái)等于斜邊長(zhǎng)的平方。如果設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)度分別是和，斜邊長(zhǎng)度是，那么可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)：

勾股定理是余弦定理中夾角為90°的一個(gè)特例1。

推導(dǎo)

趙爽弦圖

《周髀算經(jīng)》中，趙爽描述此圖：“勾股各自乘，并之為玄實(shí)。開(kāi)方除之，即玄。案玄圖有可以勾股相乘為朱實(shí)二，倍之為朱實(shí)四。以勾股之差自相乘為中黃實(shí)。加差實(shí)亦成玄實(shí)。以差實(shí)減玄實(shí)，半其余。以差為從法，開(kāi)方除之，復(fù)得勾矣。加差于勾即股。凡并勾股之實(shí)，即成玄實(shí)。或矩于內(nèi)，或方于外。形詭而量均，體殊而數(shù)齊。勾實(shí)之矩以股玄差為廣，股玄并為袤。而股實(shí)方其里。減矩勾之實(shí)于玄實(shí)，開(kāi)其余即股。倍股在兩邊為從法，開(kāi)矩勾之角即股玄差。加股為玄。以差除勾實(shí)得股玄并。以并除勾實(shí)亦得股玄差。令并自乘與勾實(shí)為實(shí)。倍并為法。所得亦玄。勾實(shí)減并自乘，如法為股。股實(shí)之矩以勾玄差為廣，勾玄并為袤。而勾實(shí)方其里，減矩股之實(shí)于玄實(shí)，開(kāi)其余即勾。倍勾在兩邊為從法，開(kāi)矩股之角，即勾玄差。加勾為玄。以差除股實(shí)得勾玄并。以并除股實(shí)亦得勾玄差。令并自乘與股實(shí)為實(shí)。倍并為法。所得亦玄。股實(shí)減并自乘如法為勾，兩差相乘倍而開(kāi)之，所得以股玄差增之為勾。以勾玄差增之為股。兩差增之為弦5。倍玄實(shí)列勾股差實(shí)，見(jiàn)并實(shí)者，以圖考之，倍玄實(shí)滿外大方而多黃實(shí)。黃實(shí)之多，即勾股差實(shí)。以差實(shí)減之，開(kāi)其余，得外大方。大方之面，即勾股并也。令并自乘，倍玄實(shí)乃減之，開(kāi)其余，得中黃方。黃方之面，即勾股差。以差減并而半之為勾。加差于并而半之為股。其倍玄為廣袤合。令勾股見(jiàn)者自乘為其實(shí)。四實(shí)以減之，開(kāi)其余，所得為差。以差減合半其余為廣。減廣于玄即所求也。”

用現(xiàn)代的語(yǔ)言描述就是，在《周髀算經(jīng)》里，古代中國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽給出了如下的證明方法6：

如圖所示，外圍的大正方形邊長(zhǎng)為a+b，它被劃分為長(zhǎng)為a和長(zhǎng)為b的兩部分。從圖中可以觀察到，線段AB、線段AF、線段BE和線段EF的長(zhǎng)度都是c，因此四邊形 ABEF 也是一個(gè)正方形，正方形ABEF內(nèi)部的四個(gè)三角形是全等的直角三角形，它們的屬性和形狀都相同，并且兩直角邊長(zhǎng)分別為a和b。

證明：通過(guò)采用不同的方法計(jì)算并表示出外圍大正方形的面積，再放到等式左右兩邊，化簡(jiǎn)后即可得出結(jié)。一種方法是利用正方形面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)，即。另一種方法是將正方形ABEF 的面積和四個(gè)三角形的面積相加，即。這兩種方法都可以得出外圍大正方形的面積，即，化簡(jiǎn)后可得。

2002年第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)（ICM）的會(huì)標(biāo)即為該圖2

青朱出入圖

青朱出入圖，是東漢末年數(shù)學(xué)家劉徽根據(jù)“割補(bǔ)術(shù)”運(yùn)用數(shù)形關(guān)系證明勾股定理的幾何證明法，特色鮮明、通俗易懂。

劉徽描述此圖，“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補(bǔ)，各從其類(lèi)，因就其余不動(dòng)也，合成弦方之冪。開(kāi)方除之，即弦也。”其大意為，一個(gè)任意直角三角形，以勾寬作紅色正方形即朱方，以股長(zhǎng)作青色正方形即青方。將朱方、青方兩個(gè)正方形對(duì)齊底邊排列，再以盈補(bǔ)虛，分割線內(nèi)不動(dòng)，線外則“各從其類(lèi)”，以合成弦的正方形即弦方，弦方開(kāi)方即為弦長(zhǎng)3。

上述內(nèi)容直白表達(dá)就是，青朱兩個(gè)正方形經(jīng)過(guò)分割、拼合成以弦長(zhǎng)為邊長(zhǎng)的新正方形。如右圖所示，將a移動(dòng)到a’，b移動(dòng)到b’， c移動(dòng)到c’，形成一個(gè)新的正方形。重點(diǎn)在于新形成的正方形是在原來(lái)兩個(gè)正方形基礎(chǔ)上拼合而成，因此新形成的正方形面積與原來(lái)兩個(gè)小正方形面積相等。又因?yàn)槿齻€(gè)正方形的面積分別是直角三角形三邊長(zhǎng)的平方，這就完全適合直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊平方的判定原則。

推廣

勾股數(shù)組

勾股數(shù)組是滿足勾股定理的正整數(shù)組，其中的稱(chēng)為勾股數(shù)。例如就是一組勾股數(shù)組。

任意一組勾股數(shù)可以表示為如下形式：，，，其中均為正整數(shù)，且。

定理用途

已知直角三角形兩邊求解第三邊，或者已知三角形的三邊長(zhǎng)度，證明該三角形為直角三角形或用來(lái)證明該三角形內(nèi)兩邊垂直。利用勾股定理求線段長(zhǎng)度這是勾股定理的最基本運(yùn)用。4

簡(jiǎn)史

公元前十一世紀(jì)，數(shù)學(xué)家商高（西周初年人）就提出“勾三、股四、弦五”。編寫(xiě)于公元前一世紀(jì)以前的《周髀算經(jīng)》中記錄著商高與周公的一段對(duì)話。商高說(shuō)：“……故折矩，勾廣三，股修四，經(jīng)隅五?！币鉃椋寒?dāng)直角三角形的兩條直角邊分別為3（勾）和4（股）時(shí)，徑隅（弦）則為5。以后人們就簡(jiǎn)單地把這個(gè)事實(shí)說(shuō)成“勾三股四弦五”，根據(jù)該典故稱(chēng)勾股定理為商高定理。

而《周髀算經(jīng)》卷上之二中，陳子在與榮方的對(duì)答中說(shuō)“若求斜至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開(kāi)方除之，得斜至日”，這是勾股定理的普遍性表述。

公元三世紀(jì)，三國(guó)時(shí)代的趙爽對(duì)《周髀算經(jīng)》內(nèi)的勾股定理作出了詳細(xì)注釋?zhuān)涗浻凇毒耪滤阈g(shù)》中“勾股各自乘，并而開(kāi)方除之，即弦”，趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用數(shù)形結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的詳細(xì)證明。后劉徽在劉徽注中亦證明了勾股定理。2

在中國(guó)清朝末年，數(shù)學(xué)家華蘅芳提出了二十多種對(duì)于勾股定理證法。

1．勾股定理的證明是論證幾何的發(fā)端。1

2．勾股定理是歷史上第一個(gè)把數(shù)與形聯(lián)系起來(lái)的定理，即它是第一個(gè)把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來(lái)的定理。1

3．勾股定理導(dǎo)致了無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引起第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，大大加深了人們對(duì)數(shù)的理解。1

4．勾股定理是歷史上第一個(gè)給出了完全解答的不定方程

勾股定理逆定理

勾股定理的逆定理表述為：如果一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)a、b和c（其中c是最長(zhǎng)邊）滿足關(guān)系式，那么這個(gè)三角形是一個(gè)直角三角形，并且直角位于a和b所夾的角處。

勾股定理的逆定理用于判斷一個(gè)三角形是否為直角三角形，在幾何證明、研究三角形邊角關(guān)系時(shí)有重要作用。

應(yīng)用

勾股定理在許多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。

建筑設(shè)計(jì)

勾股定理在建筑領(lǐng)域中非常重要，它幫助工程師和建筑師計(jì)算斜面、樓梯、屋頂或任何傾斜結(jié)構(gòu)的長(zhǎng)度。例如，在設(shè)計(jì)樓梯時(shí)，通過(guò)測(cè)量直角三角形的兩個(gè)直角邊（即樓梯的垂直高度和水平長(zhǎng)度），可以使用勾股定理計(jì)算出樓梯斜面的實(shí)際長(zhǎng)度，從而確保樓梯符合安全標(biāo)準(zhǔn)和舒適度。

航海導(dǎo)航

航海中使用勾股定理可以幫助船員確定最短的航線。在規(guī)劃從一個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)到另一個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)的路線時(shí)，盡管這些點(diǎn)在地圖上可能是通過(guò)曲線或多個(gè)直線段連接的，但通過(guò)將這些點(diǎn)視為直角三角形的頂點(diǎn)，可以使用勾股定理計(jì)算出最短的直線距離。

計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，勾股定理用于計(jì)算像素點(diǎn)之間的距離，常用于處理圖像渲染、動(dòng)畫(huà)制作和視頻游戲開(kāi)發(fā)。例如當(dāng)在屏幕上移動(dòng)或旋轉(zhuǎn)對(duì)象時(shí)，開(kāi)發(fā)者需要計(jì)算對(duì)象的新位置，勾股定理可以幫助他們確定這些對(duì)象在二維空間中各點(diǎn)之間的精確距離，從而實(shí)現(xiàn)平滑且準(zhǔn)確的圖形表現(xiàn)。