正態(tài)分布

正態(tài)分布（Normal distribution），又稱為常態(tài)分布或高斯分布，通常記作X~N（μ ,σ2）。其中， μ是正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望（均值）， σ2是正態(tài)分布的方差。μ = 0,σ = 1的正態(tài)分布被稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布1。22

正態(tài)分布的概率密度函數(shù)顯示為典型的鐘形曲線，這一形狀類似于寺廟中的大鐘，因此也常被稱為鐘形曲線。作為一種連續(xù)分布，正態(tài)分布擁有完備的概率密度函數(shù)、累積分布函數(shù)、矩生成函數(shù)和特征函數(shù)等表達(dá)形式，并且具備明確的期望（即均值）、方差、偏度和峰度等數(shù)值特征。中心極限定理闡述了在一定條件下，多個獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量的平均值會趨向于正態(tài)分布，這一現(xiàn)象在樣本量增大時尤為顯著2。

正態(tài)分布，最初由法國數(shù)學(xué)家棣莫弗（A. D. Moivre）在1733年引入3，最初的探索并未深入其在統(tǒng)計學(xué)上的應(yīng)用，尤其是在誤差分析方面。隨后，高斯（C. F. Gauss）提出了關(guān)于“正態(tài)誤差”的理論，并與拉普拉斯（P-S.Laplace）共同深入研究了正態(tài)分布的各項特性。

在現(xiàn)實世界中，許多自然和社會現(xiàn)象如考試成績和人體身高等，都近似遵循正態(tài)分布。這種分布是統(tǒng)計分析和概率論中的核心概念，廣泛應(yīng)用于諸如質(zhì)量控制、頻數(shù)估計以及制定醫(yī)學(xué)參考標(biāo)準(zhǔn)等領(lǐng)域2。正態(tài)分布在統(tǒng)計學(xué)領(lǐng)域具有深遠(yuǎn)的意義。

定義

概率密度函數(shù)

如果一維隨機(jī)變量的密度函數(shù)為：

其中和為常數(shù)且，則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為的正態(tài)分布，記作1，讀作X服從。為總體均數(shù)，為總體標(biāo)準(zhǔn)差4。這里N為”Normal distribution(正態(tài)分布)”一詞的首字母5。

特別地，當(dāng)時，正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其密度函數(shù)為：

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布之所以重要，一個原因在于：任意的正態(tài)分布的計算很容易轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。容易證明：若，則5。

累積分布函數(shù)

累積分布函數(shù)，也叫分布函數(shù)，是概率密度函數(shù)的積分。概率密度函數(shù)與分布函數(shù)是一一對應(yīng)的，即知道其一即可求出另一個5。根據(jù)連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)的定義，一般正態(tài)分布的分布函數(shù)為：

特別地，當(dāng)參數(shù)時，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)為

且有。

圖形特征

正態(tài)分布可以通過一系列矩（moments）逐步揭示其圖形特征，包括位置、離散程度、對稱性和尾部特性。矩是關(guān)于隨機(jī)變量的期望值的函數(shù)，用于描述分布的幾何和統(tǒng)計特性。設(shè)為隨機(jī)變量，c為常數(shù)，k為正整數(shù)，則稱為關(guān)于c點(diǎn)的k階矩。

均值

均值是分布的一階原點(diǎn)矩，定義為。對于正態(tài)分布，均值描述了分布的中心位置，即鐘形曲線的對稱軸所在的位置。在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中，均值為0。正態(tài)分布是對稱的，因此均值也是分布的眾數(shù)和中位數(shù)。

方差

方差是分布的二階矩，定義為

它描述了隨機(jī)變量相對于均值的平均偏離程度。對于正態(tài)分布，方差決定了分布的寬度或離散性。較大的方差意味著分布較為分散，曲線更為平坦；較小的方差意味著分布更為集中，曲線更為尖銳。

固定的值不變，改變的值，則曲線的位置不變，但隨著的減小，曲線變得陡峭4。

偏度

偏度，也稱偏度系數(shù)，是用來衡量統(tǒng)計數(shù)據(jù)分布的偏斜方向和程度的指標(biāo)6。偏度定義為：

偏度描述了概率分布密度曲線相對于平均值的不對稱性。

當(dāng)時，表示數(shù)據(jù)分布完全對稱，左右尾部長度相等，例如正態(tài)分布的偏度即為06。時,稱分布為正偏，較多的數(shù)據(jù)值偏離了平均值向左側(cè)集中；時，稱分布為負(fù)偏，較多的數(shù)據(jù)值偏離了平均值向右側(cè)集中7。若顯著異于0，則說明分布與正態(tài)有較大的偏離。

峰度

峰度是描述數(shù)據(jù)分布形態(tài)陡緩程度的統(tǒng)計量，峰度越大，數(shù)據(jù)分布越陡峭，尾部越厚；峰度越小，數(shù)據(jù)分布越平滑6。峰度的計算公式為

正態(tài)分布的峰度為3，很多情況下，為方便計算，一般將正態(tài)分布的峰度值減去3，這樣使得其峰度變?yōu)?，更方便進(jìn)行比較。當(dāng)數(shù)據(jù)的峰度為0時，表示數(shù)據(jù)分布的陡緩程度與正態(tài)分布相同；峰度大于0，表示數(shù)據(jù)分布比正態(tài)分布更陡峭，而峰度小于0，表示數(shù)據(jù)分布比正態(tài)分布更平坦；峰度的絕對值越大，表示數(shù)據(jù)分布形態(tài)與正態(tài)分布的差異越大6。

性質(zhì)

無限可分性

當(dāng)多個隨機(jī)變量相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布時，它們的線性組合仍然服從正態(tài)分布。具體而言，如果有一組獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，其中每個變量均服從正態(tài)分布，那么對于任意實數(shù)系數(shù)，其線性組合也服從正態(tài)分布。

在線性組合下，加法和標(biāo)準(zhǔn)乘法保持不變8。例如，如果且是統(tǒng)計獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量，那么它們的和

也服從正態(tài)分布。同樣，它們的差也服從正態(tài)分布：

如果與兩者是相互獨(dú)立的，則與的方差相等9。

最大熵

隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為，當(dāng)期望和方差分別為：