泊松分布

泊松分布（Poisson distribution），又稱波哇松分布、卜瓦松分布，是一種重要的離散型分布。

若隨機變量 X 服從參數(shù)為λ的泊松分布，其中 λ > 0，則記為X~π(λ)，或記為X~Possion(λ) 。在泊松分布中，λ是唯一的參數(shù)，它既是數(shù)學(xué)期望也是方差1。

泊松分布可作為二項分布的極限而得到。若二項分布的試驗次數(shù)n很大，二項分布的概率p很小，且乘積 λ=np比較適中，則事件出現(xiàn)的次數(shù)的概率可以用泊松分布來逼近2。

1837年，法國數(shù)學(xué)家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-DenisPoisson）首次提出泊松分布的概念3。

泊松分布在實際中有著廣泛的應(yīng)用，它常與單位時間或單位面積及單位產(chǎn)品上的計數(shù)過程相聯(lián)系4，例如汽車站臺的候客人數(shù)、機器出現(xiàn)的故障數(shù)、DNA序列的變異數(shù)等。

定義

泊松分布是一種重要的離散型分布。如果離散型隨機變量 X 可取一切非負(fù)整數(shù)值，且有

則稱 X 服從參數(shù)為 λ 的泊松分布，其中 λ > 0，記為，或記為 。泊松分布的平均值 m= λ，方差 = λ 25。

與二項分布的聯(lián)系

在二項分布的伯努利試驗中，如果試驗次數(shù)n很大，二項分布的概率p很小，且乘積 λ=np比較適中，則事件出現(xiàn)的次數(shù)的概率可以用泊松分布來逼近2。在這種條件下，將較難計算的二項分布近似為泊松分布去計算較為方便25。

泊松定理指出，在獨立試驗中，以代表事件 A 在試驗中出現(xiàn)的概率，它與試驗總數(shù)有關(guān)。如果，當(dāng)時，二項分布的極限為泊松分布6。下面給出證明。

記 ，為二項分布，則：

對給定的，有：

及

因此：

泊松分布公式為：

其中是泊松分布的參數(shù)6。

性質(zhì)

方差與期望

在泊松分布中，唯一的參數(shù)既是數(shù)學(xué)期望也是方差。推導(dǎo)如下：

設(shè)隨機變量 ，則

這表明泊松分布的數(shù)學(xué)期望就是參數(shù)。

又因為

由此得的方差為

也就是說，泊松分布的方差與數(shù)學(xué)期望均為。

可加性

兩個獨立且服從泊松分布的隨機變量，其和仍然服從泊松分布。即若且，則。

特征函數(shù)

泊松分布的特征函數(shù)為。

其他性質(zhì)

(1)泊松分布是一種描述和分析稀有事件的概率分布。要觀察到這類事件，樣本含量必須很大18。

(2)是泊松分布所依賴的唯一參數(shù)。值愈小，分布愈偏倚，隨著增大，分布趨于對稱18。

(3)當(dāng)=20時分布泊松分布接近于正態(tài)分布；當(dāng)=50時，可以認(rèn)為泊松分布呈正態(tài)分布。 在實際工作中，當(dāng)20時就可以用正態(tài)分布來近似地處理泊松分布的問題18。

參數(shù)估計

最大似然估計

對于泊松分布，假設(shè)有n個觀測值，它們都是獨立同分布的隨機變量，服從參數(shù)為的泊松分布。泊松分布的似然函數(shù)為：

為了簡化計算，通常對似然函數(shù)取對數(shù)：

關(guān)于求導(dǎo)并令其等于 0，可以得到最大似然估計值：

即泊松分布的參數(shù)的最大似然估計值就是觀測樣本的均值7。

貝葉斯估計

由貝葉斯公式知，在給定事件的情況下，事件A的條件概率與事件在給定事件發(fā)生的條件下的條件概率的關(guān)系如下：

結(jié)合全概率公式，貝葉斯公式可以進一步表示為：

貝葉斯估計的步驟如下：

1. 給定先驗分布