開(kāi)普勒定律

開(kāi)普勒定律（英語(yǔ)：Kepler'slaw）是由德國(guó)天文學(xué)家兼數(shù)學(xué)家約翰尼斯·開(kāi)普勒所發(fā)現(xiàn)的、關(guān)于行星運(yùn)動(dòng)的定律，由三條子定律所組成。開(kāi)普勒于1609年在他出版的《新天文學(xué)》科學(xué)雜志上發(fā)表了關(guān)于行星運(yùn)動(dòng)的兩條定律，又于1618年，發(fā)現(xiàn)了第三條定律。這些定律用橢圓軌道取代了尼古拉·哥白尼日心說(shuō)中的圓形軌道和本輪，并解釋了行星速度的變化情況，三條子定律大致為1：

第一定律：行星的軌道是一個(gè)以太陽(yáng)為焦點(diǎn)之一的橢圓；

第二定律：行星和太陽(yáng)之間的連線(xiàn)在相等的時(shí)間間隔內(nèi)掃過(guò)相等的面積；

第三定律：行星軌道周期的平方與其軌道半長(zhǎng)軸的立方成正比。

在天文學(xué)與物理學(xué)上、開(kāi)普勒的定律給予亞里士多德派與托勒密派極大的挑戰(zhàn)，這些論點(diǎn)大大地動(dòng)搖了當(dāng)時(shí)的天文學(xué)與物理學(xué)。經(jīng)過(guò)幾乎一個(gè)世紀(jì)的研究，物理學(xué)家終于能夠運(yùn)用物理理論解釋原理。艾薩克·牛頓于1687年，應(yīng)用他的第二定律和萬(wàn)有引力定律，在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格地證明了開(kāi)普勒定律。

更精確的歷史方法可參見(jiàn)《新天文學(xué)》和《哥白尼天文學(xué)綱要》。

開(kāi)普勒第一定律

開(kāi)普勒第一定律的內(nèi)容

內(nèi)容：行星的軌道都是一個(gè)以恒星為焦點(diǎn)之一的橢圓。

橢圓具有兩個(gè)焦點(diǎn)，在太陽(yáng)系中，太陽(yáng)就位于行星橢圓軌道的其中一個(gè)焦點(diǎn)上。以太陽(yáng)為中心的極坐標(biāo)系統(tǒng)用于描述行星相對(duì)于太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，在數(shù)學(xué)上，橢圓可以用公式表示：

其中是半通徑，是橢圓的離心率，是行星到太陽(yáng)的距離（日心距），是以太陽(yáng)為觀(guān)察點(diǎn)，從近日點(diǎn)開(kāi)始測(cè)量的行星當(dāng)前位置的角度。

對(duì)于橢圓，；在極限情況下，，軌道是一個(gè)以太陽(yáng)為中心的圓（即偏心率為零），而當(dāng)時(shí)，行星位于遠(yuǎn)日點(diǎn)（冬至點(diǎn)），日心距達(dá)到最小值：

當(dāng)時(shí)，行星位于春分點(diǎn)或秋分點(diǎn)，此時(shí)日心距為。

當(dāng)時(shí)，行星位于遠(yuǎn)日點(diǎn)（夏至點(diǎn)），此時(shí)日心距達(dá)到最大值，

半長(zhǎng)軸是和的算數(shù)平均數(shù)，

半短軸是和的幾何平均數(shù)，

半通徑是和的調(diào)和平均數(shù)，

離心率是和的變異系數(shù)，

橢圓的面積為；特殊情形下，時(shí)，橢圓變?yōu)檎龍A，有：

開(kāi)普勒第一定律的數(shù)學(xué)證明

設(shè)定，則角速度為：

對(duì)時(shí)間微分和對(duì)角度微分有如下關(guān)系：

根據(jù)上述關(guān)系，徑向距離對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為：

再求一次導(dǎo)數(shù)：

代入徑向運(yùn)動(dòng)方程，有：

將此方程除以，則可得到一個(gè)簡(jiǎn)單的常系數(shù)非齊次線(xiàn)性全微分方程來(lái)描述行星軌道：

為了解這個(gè)微分方程，先列出一個(gè)特解：

再求解剩余的常系數(shù)齊次線(xiàn)性全微分方程：

其解為，這里與是常數(shù)。

合并特解和與齊次方程解，可以得到通解：

選擇坐標(biāo)軸，讓，代回

其中，是離心率。這是圓錐曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程，坐標(biāo)系的原點(diǎn)是圓錐曲線(xiàn)的焦點(diǎn)之一。假若，則所描述的是橢圓軌道，于是證明了開(kāi)普勒第一定律。

開(kāi)普勒第二定律

開(kāi)普勒第二定律的內(nèi)容

內(nèi)容：連接行星和太陽(yáng)的線(xiàn)段在相等時(shí)間間隔內(nèi)掃過(guò)的面積相等2。

行星在橢圓軌道上的軌道半徑和角速度會(huì)變化：當(dāng)行星更接近太陽(yáng)時(shí)，運(yùn)行得更快；當(dāng)遠(yuǎn)離太陽(yáng)時(shí)，運(yùn)行得更慢。值得注意的是，原本開(kāi)普勒是通過(guò)一些僅近似正確或完全錯(cuò)誤的假設(shè)，得出