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雞兔同籠難倒過你嗎

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雞兔同籠難倒過你嗎? | 袁嵐峰

關(guān)注風(fēng)云之聲,提升思維層次

導(dǎo)讀:高級方法往往帶來簡化,而不是復(fù)雜化。

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最近,教育部等十八部門聯(lián)合發(fā)布了《關(guān)于加強新時代中小學(xué)科學(xué)教育工作的意見》,提出要在教育“雙減”中做好科學(xué)教育加法,一體化推進(jìn)教育、科技、人才高質(zhì)量發(fā)展,要開齊開足開好科學(xué)類課程,拓展科學(xué)實踐活動。

《教育部等十八部門關(guān)于加強新時代中小學(xué)科學(xué)教育工作的意見》

尤其有趣的是,提出各校要由校領(lǐng)導(dǎo)或聘任專家學(xué)者擔(dān)任科學(xué)副校長。我有幾位同事和朋友,例如科大第一屆少年班出身的王永教授,最近就兼任了中小學(xué)的科學(xué)副校長。

中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)自動化系教授王永博士

作為科技工作者,我對加強科學(xué)教育自然是雙手贊成的。然而,每次這種加強也都會引出一個問題,就是:要學(xué)的內(nèi)容越來越多,怎么學(xué)得過來?

這個問題還經(jīng)常升級成哲學(xué)性的思考,即:人類積累的知識越來越多,尤其是像數(shù)學(xué)這種學(xué)科,需要花費越來越長的時間來學(xué)習(xí)前人已有的知識,那么有沒有可能最后陷入一種困境,一個人要花一生的時間才能學(xué)到前沿,結(jié)果這個學(xué)科就沒法前進(jìn)了?或者說,我們現(xiàn)在是不是已經(jīng)處于這樣的狀態(tài)了?可能還會有人由此推論說,只有人工智能才能學(xué)完所有知識,所以人類要被人工智能取代了。

然而有趣的是,這并不是一個新問題。早在十九世紀(jì)末、二十世紀(jì)初的時候,已經(jīng)有不少人在問這個問題,因為當(dāng)時的數(shù)學(xué)已經(jīng)變得相當(dāng)復(fù)雜,分支越來越多。

此前的大數(shù)學(xué)家往往都是熟悉數(shù)學(xué)所有領(lǐng)域的全才,如歐幾里得、阿基米德、牛頓、萊布尼茨、歐拉、高斯。但到十九世紀(jì)末,全才已經(jīng)屈指可數(shù)了。而德國數(shù)學(xué)家希爾伯特(David Hilbert,1862 — 1943),就是這屈指可數(shù)的數(shù)學(xué)全才中的一個。

希爾伯特

1900年,在第二屆國際數(shù)學(xué)家大會上,希爾伯特做了一個著名的演講。其中他先是提問:“然而,我們不禁要問,隨著數(shù)學(xué)知識的不斷擴展,單個的研究者想要了解這些知識的所有部門豈不是變得不可能了嗎?”你看,這正是現(xiàn)在許多人想到的那個問題。

但希爾伯特緊接著就給出了一個回答,這個回答十分經(jīng)典:“為了回答這個問題,我想指出:數(shù)學(xué)中每一步真正的進(jìn)展都與更有力的工具和更簡單的方法的發(fā)現(xiàn)密切聯(lián)系著,這些工具和方法同時有助于理解已有的理論并把陳舊的、復(fù)雜的東西拋到一邊,數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展的這種特點是根深蒂固的。因此,對于個別的數(shù)學(xué)工作者來說,只要掌握了這些有力的工具和簡單的方法,他就有可能在數(shù)學(xué)的各個分支中比其他科學(xué)更容易地找到前進(jìn)的道路?!?/p>

我最初看到這段話,是在已故著名數(shù)學(xué)家、中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)龔昇(1930 — 2011)教授的書《微積分五講》。龔昇老師指出,跟希爾伯特那個時代相比,當(dāng)代數(shù)學(xué)的分支變得更多,在2004年他寫這本書的時候有60個二級學(xué)科、400多個三級學(xué)科,更加學(xué)不過來,所以希爾伯特的這段話現(xiàn)在顯得更為重要。

《微積分五講》

龔昇教授

一、數(shù)學(xué)的例子

希爾伯特告訴我們,數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程,其實就是“高級”數(shù)學(xué)替代“低級”數(shù)學(xué)的歷程。但高級的不一定是復(fù)雜的,其實高級的往往可能是簡單的!下面讓我們舉幾個例子,來深入理解希爾伯特的論述。

一個典型的例子,就是“雞兔同籠”。這是小學(xué)的典型難題:在一個籠子中有若干只雞、若干只兔子,已知這些雞和兔子總共有多少個頭、多少只腳,請問有多少只雞、多少只兔子?

雞兔同籠

在學(xué)代數(shù)之前,解這種題需要大量的腦筋急轉(zhuǎn)彎,設(shè)想所有的動物都抬起一半腿或者都抬起兩條腿之類的。龔昇老師作為一個真正的數(shù)學(xué)家,都不禁要在書里吐槽:“當(dāng)時我實在很納悶,一是雞與兔為何要關(guān)在一個籠子里?二是既能數(shù)的清有多少個頭、多少只腳,為何數(shù)不清有多少只雞、多少只兔?老師教我解雞兔同籠問題的方法,更使我感到難懂,現(xiàn)已完全記不得了?!?/p>

但在學(xué)了代數(shù)以后,一眼就能看出,雞兔同籠只是一個二元一次方程組問題,即x + y = c1,2x + 4y = c2,把總頭數(shù)c1和總腳數(shù)c2代進(jìn)去,立刻就可以解出來了。推而廣之,那些頭和腳的系數(shù)也都是可以變的,無論是把九頭蛇還是蜈蚣關(guān)在一起,都不在話下!

由此我們可以理解,“數(shù)字符號化”即代數(shù)是一個多么強大的工具。它跟算術(shù)相比是高級的,但高級的反而比低級的容易?,F(xiàn)在我們不需要背誦一大堆解雞兔同籠的技巧,因為記住方程這一個技巧就夠了。

我們再來舉一個例子,解析幾何。在平面幾何中有大量的難題,如“五點共圓”甚至“九點共圓”。這些難題的困難程度,足以讓人懷疑人生,因為即使把解法告訴你,你也很難理解它們那神出鬼沒的思路,為什么要畫這么一條或者多條輔助線。

五點共圓

九點共圓

然而到十七世紀(jì),笛卡爾和費馬等人引入坐標(biāo)系,發(fā)明解析幾何以后,一下子就豁然開朗了。無論什么樣的幾何難題,都可以通過建立坐標(biāo)系,轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題。然后通過代數(shù)運算,原理上就一定能算出結(jié)果。這是一種高級的方法,以不變應(yīng)萬變,卻比平面幾何那些千變?nèi)f化的方法更簡單,更容易理解。

一個特別有趣的例子,是橢圓的定義。我們現(xiàn)在是如何定義橢圓的?高中學(xué)的定義是x2/a2 + y2/b2 = 1,a和b分別是橢圓的半長軸和半短軸。

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

這是解析幾何的定義,還有作圖式的定義,如:橢圓是到兩定點的距離之和為定值的點的軌跡。

橢圓的第一定義

或者:橢圓是到一定點的距離與到一定直線的距離之比為一小于1的常數(shù)的點的軌跡。

橢圓的第二定義

但真正神奇的,是古人對橢圓的定義。在歐幾里得之后不久有一位大數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯(Apollonius,約公元前262 — 前190),他寫了一部皇皇巨著《圓錐曲線論》,用純幾何的方法研究了三種圓錐曲線即橢圓、拋物線、雙曲線。

圓錐曲線

莫里斯·克萊因(Morris Kline,1908 — 1992)的《古今數(shù)學(xué)思想》對此書的評論是:“按成就來說,它是這樣一個巍然屹立的豐碑,以至后代學(xué)者至少從幾何上幾乎不能再對這個問題有新的發(fā)言權(quán)。這確實可以看成是古典希臘幾何的登峰造極之作?!?/p>

那么,阿波羅尼斯是如何定義橢圓的呢?他的定義是:

《古今數(shù)學(xué)思想》圖4.20 阿波羅尼斯定義圓錐曲線的過程

“如果一個圓錐被一過其軸的平面所截,也被另一平面所截,該平面一方面與軸三角形的兩邊都相交,另一方面它既不與底平行也不是(底平面的)反位面,又若圓錐的底與截面的交線要么與軸三角形的底垂直相交,要么與它的延長線垂直相交,如果從截線到它的直徑所連接的(縱線)線段平行于截面與圓錐底的交線,則其中任一個上的正方形將等于貼合于一線段[參量]上的某個(矩形)面,其中截線的直徑與該線段[參量]之比如同連接從圓錐頂點到軸三角形的底直線且平行于截線直徑的線段上正方形與該線段在軸三角形底直線上與其他兩邊截得的兩線段所夾的矩形,該面的寬是截線到直徑的連線在直徑上截取的從其頂點開始的線段,并且虧缺一個圖形,這圖形相似于由直徑和參量所夾的矩形,且有相似位置,將這樣的截線稱為虧曲線(英譯:ellipse。也就是現(xiàn)在稱為橢圓的曲線)?!?/p>

阿波羅尼斯對橢圓的定義(來自作者的朋友、浙江大學(xué)數(shù)學(xué)博士“賊叉”提供的《圓錐曲線論》照片,特此致謝)

這個定義長達(dá)300多字,令人目瞪口呆。再仔細(xì)看,這段定義只是一句話哦!不要說看懂這個定義,僅僅是念下來,感受一下它的復(fù)雜度,大腦都已經(jīng)快死機了。阿波羅尼斯就是從這樣嚇?biāo)廊说亩x出發(fā),完全用幾何的方法畫各種輔助線,硬生生地證明出了許多關(guān)于橢圓的定理,這種神技真是令人嘆為觀止。

《古今數(shù)學(xué)思想》圖4.26 阿波羅尼斯證明的關(guān)于圓錐曲線切線與直徑所成圖形的面積的一個定理:若OP與OQ是圓錐曲線的切線,且若RS是平行于OP的任一弦,R'S'是平行于OQ的任一弦,又若RS與R'S'交于J(在圓錐曲線內(nèi)部或外部),則有(RJ·JS) / (R'J·JS') = OP2 / OQ2

這讓我們看到,解析幾何帶來了多大的簡化??赡懿簧偃诉€覺得x2/a2 + y2/b2 = 1有點頭疼,但跟阿波羅尼斯的定義相比,這已經(jīng)上天堂啦!

雞兔同籠和橢圓定義這兩個戲劇性的例子,充分表明了希爾伯特的論述:數(shù)學(xué)中每一步真正的進(jìn)展都與更有力的工具和更簡單的方法的發(fā)現(xiàn)密切聯(lián)系著,這些工具和方法同時有助于理解已有的理論并把陳舊的、復(fù)雜的東西拋到一邊。只要掌握了這些有力的工具和簡單的方法,你就有可能更容易地找到前進(jìn)的道路。

二、自然科學(xué)的例子

前面談的主要是數(shù)學(xué),但對于自然科學(xué)或者說經(jīng)驗科學(xué)也存在同樣的道理??茖W(xué)發(fā)展的一般脈絡(luò)就是,用少量的原理解釋大量的事實。

一個經(jīng)典的例子,又跟橢圓有關(guān)。古人天然地認(rèn)為,地球是宇宙的中心,太陽和其他星球圍繞地球運動。什么軌跡的運動呢?天然的想法是圓周運動,因為圓是最完美的圖形。但有很多觀測事實跟這個觀點不符,例如有時候有些行星看起來會倒著走。

現(xiàn)代人很容易理解行星為什么會逆行,因為這只是從地球看來的視運動

為了跟觀測相符,地心說的集大成者托勒密提出了“本輪”(epicycle)和“均輪”(deferent)的體系,即在圓周運動上疊加圓周運動。只要你疊加的本輪足夠多,那么任何復(fù)雜的運動都可以重復(fù)出來。

《古今數(shù)學(xué)思想》圖7.2 本輪與均輪。一行星P在中心為S的一個圓周上作勻速運動,而S本身則在以地球E為中心的一個圓周上作勻速運動。S所沿著運動的圓叫均輪;P所沿著運動的圓叫本輪。對某些行星來說,點S就是太陽,但在其他情形下則只不過是數(shù)學(xué)上假設(shè)的一個點。P與S的運動方向可能相符,也可能相反。太陽和月球的情況就屬于后一種

到十六世紀(jì),哥白尼提出了革命性的日心說體系。他大大減少了本輪的數(shù)量,不過基本的描述方法仍然是本輪和均輪。

哥白尼的日心說模型

然而到了十七世紀(jì),開普勒終于發(fā)現(xiàn),行星繞太陽的運動軌跡其實并不是圓,而是橢圓。這就是他的行星運動三大定律中的第一定律:所有行星都以橢圓軌道繞太陽運動,太陽位于橢圓的一個焦點上。

開普勒行星運動三大定律

從完美的圓換成不那么完美的橢圓,在美感上似乎是降低了一些。但一個橢圓就能代替好幾個本輪,這才是真正巨大的進(jìn)步。后來牛頓從萬有引力定律證明了,行星繞太陽運動的軌跡確實應(yīng)該是橢圓。這是人類理性最輝煌的成就之一。

英國詩人、畫家威廉·布萊克(William Blake,1757 — 1827)畫的牛頓

到這里,我們終于實現(xiàn)了“用少量的原理解釋大量的事實”。這是真正意義的進(jìn)步,需要記憶的知識也就大大減少了。

讓我們回到最初的問題,科學(xué)會不會因為學(xué)不過來而停止前進(jìn)?答案是不會,因為高級方法往往帶來簡化,而不是復(fù)雜化。這就好比數(shù)據(jù)壓縮,我們對世界的了解越深入,就越能掌握數(shù)據(jù)的內(nèi)在結(jié)構(gòu),就越能把壓縮率提高,所以總的數(shù)據(jù)量并不見得會增長。

這也啟發(fā)我們,在科學(xué)教育中應(yīng)該適當(dāng)?shù)丶訌娚疃龋粌H是廣度。經(jīng)常有人擔(dān)心,小朋友要學(xué)的東西太多會不會壓力太大,不利于成長。實際上,盡快學(xué)高級方法反而會減輕負(fù)擔(dān)。例如早點學(xué)會方程就不需要跟雞兔同籠糾纏了,這也就避免了低水平重復(fù)的刷題。如果我們想培養(yǎng)創(chuàng)新型人才,建設(shè)創(chuàng)新型國家,那么這正是我們應(yīng)該走的路。

擴展閱讀:

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《在日心說與地心說之間,科學(xué)家們開了多少腦洞? | 科技袁人》

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作者簡介:袁嵐峰,中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)合肥微尺度物質(zhì)科學(xué)國家研究中心副研究員,中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)科技傳播系副主任,中國科學(xué)院科學(xué)傳播研究中心副主任,科技與戰(zhàn)略風(fēng)云學(xué)會會長,“科技袁人”節(jié)目主講人,安徽省科學(xué)技術(shù)協(xié)會常務(wù)委員,中國青少年新媒體協(xié)會常務(wù)理事,中國科普作家協(xié)會理事,入選“典贊·2018科普中國”十大科學(xué)傳播人物。

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