一個人如何被閃電擊中兩次?張益唐的新成果 | 袁嵐峰
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導讀:即使看不懂這些數(shù)學細節(jié),張益唐的奇跡仍然可以給我們巨大的鼓舞,告訴我們?nèi)擞肋h都可以發(fā)揮主觀能動性,永遠都可以打破界限。
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最近,整個數(shù)學界最轟動的新聞是,中國數(shù)學家張益唐再次宣布獲得重大成果,在朗道-西格爾(Landau–Siegel)問題上取得突破。呃,這話的前一句很容易理解,后一句就完全不知所云,朗道-西格爾問題是啥?
實際上,這個新聞對我來說完全不意外。因為我2019年介紹張益唐時,就提到過他在研究朗道-西格爾零點猜想(Landau-Siegel Zeros conjecture),而且對此很有信心。因此,最近的新聞完全在我的意料之中。
不過我以前并沒有調(diào)研過朗道-西格爾零點猜想具體說的是啥,現(xiàn)在既然他說他做出來了,我就趕快做了一番調(diào)研。然而調(diào)研的結(jié)論是,這東西完全無法向普通觀眾解釋。雖然我以前給大家講解過很多硬核的數(shù)學問題,但這次真的是太硬了。就像《是,首相》里的經(jīng)典臺詞:The Russians are too strong.
然而,我可以向大家解釋清楚這事的背景。你如果了解這些,你的知識水平就超過了90%的人。
首先,最基本的問題是,張益唐是誰?其實張益唐現(xiàn)在已經(jīng)非常有名了,他是數(shù)學界少有的飽經(jīng)磨難、大器晚成的代表。
張益唐1955年出生于上海,1978年進入北京大學數(shù)學系讀本科,1985年到普渡大學讀博士。1991年博士畢業(yè)后,由于導師不給他寫推薦信,他無法在學術界找到工作,以至于淪落到打各種零工,才能維持得了生活這樣子。他送過外賣,賣過炸雞,還在快餐店當過會計,作過收銀員等等。有時他沒地方住,只能在車里過夜。
然而奇妙的是,他在這種環(huán)境下都沒有放棄數(shù)學,仍然經(jīng)常到圖書館去讀代數(shù)幾何和數(shù)論方面的期刊文章。1999年,在他的北大師弟、新罕布什爾州立大學數(shù)學系教授葛力明的幫助下,他終于在44歲時獲得了一個學術界工作:到師弟的這個系擔任臨時講師。
2005年,張益唐50歲時,終于從臨時講師成為正式講師,因為他的微積分講得很好。按照正常的軌跡,他似乎會在這個位置上平穩(wěn)地退休。
然而,命運的車輪在這時才開始轉(zhuǎn)動。2013年,張益唐在58歲時發(fā)表了石破天驚的論文《質(zhì)數(shù)間的有界距離》(Bounded gaps between primes),這是人類幾百年來在孿生質(zhì)數(shù)猜想(twin prime conjecture)上第一個實質(zhì)性的進展。
什么是孿生質(zhì)數(shù)猜想?這是一個可以用小學數(shù)學知識很容易講清楚的問題,所以我們來好好解釋一下。
最前面的幾個質(zhì)數(shù)是2、3、5、7、11、13、17等等,它們之間的間隔分別是1、2、2、4、2、4等等。顯然,間隔1只會出現(xiàn)一次,即2和3之間,因為2后面就再也不會有偶的質(zhì)數(shù)了。那么,間隔2會出現(xiàn)多少次呢?
100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)和合數(shù)表
一個驚人的猜想是:無窮多次!這就是孿生質(zhì)數(shù)猜想。我們把一對相差2的質(zhì)數(shù)稱為孿生質(zhì)數(shù)(twin primes),例如3和5、5和7、11和13。孿生質(zhì)數(shù)猜想說的就是,存在無窮多對孿生質(zhì)數(shù)。
實際上,隨著自然數(shù)的增大,質(zhì)數(shù)會變得越來越稀疏。也就是說,平均而言,相鄰兩個質(zhì)數(shù)的間隔會變得越來越大。然而,孿生質(zhì)數(shù)猜想說的就是,無論質(zhì)數(shù)間隔變得多大,它總會在后面的某個地方突然縮小到2,這樣的事會發(fā)生無數(shù)次。
目前,我們已知的最大的孿生質(zhì)數(shù)對是:2996863034895 × 2^1290000 ± 1。這是兩個大得驚人的數(shù),寫成十進制有將近40萬位。
孿生質(zhì)數(shù)猜想目前仍然是個猜想,也就是說我們還不知道它對不對,既沒有證明也沒有證偽。張益唐并沒有證明孿生質(zhì)數(shù)猜想,但證明了一個它的弱化版本。張益唐證明的是:存在無窮多對質(zhì)數(shù),它們的間隔不超過7千萬。也就是說,無論質(zhì)數(shù)間隔變得多大,后面總會在某個地方縮小到7千萬或以下。假如把這里的7千萬換成2,就是孿生質(zhì)數(shù)猜想。
7千萬這個數(shù)乍看起來很大,但實際上這是個重大的突破。因為在此之前人們并不知道出現(xiàn)無窮多次的質(zhì)數(shù)間隔有沒有上限,也就是說它完全可能是無窮大,即質(zhì)數(shù)間隔變得越來越大,越來越大,不再縮小。張益唐的結(jié)果是第一次給出了一個有限的上限,即把無限變成了有限。無限和7千萬之間是質(zhì)的區(qū)別,7千萬和2之間只是量的區(qū)別。現(xiàn)在明白這個成果為什么如此轟動了吧?
張益唐并沒有完全挖掘他的方法的潛力。在他的論文發(fā)表后,立刻有很多數(shù)學家來改進。他們組織了一個合作項目“PolyMath8”來做這件事,包括菲爾茲獎獲得者、著名華人數(shù)學家陶哲軒在內(nèi)。
通過這么多人的努力,目前這個上限從7千萬縮小到了246。即我們已經(jīng)證明了,存在無窮多對質(zhì)數(shù),它們的間隔不超過246。
PolyMath8項目的當前紀錄這雖然也是不小的進步,但重要性顯然不能和最初提出7千萬相提并論。此外,這種方法的潛力似乎已經(jīng)被挖掘殆盡,不足以從246縮小到2。如果想最終證明孿生質(zhì)數(shù)猜想,應該會需要新的思想、新的方法。
在孿生質(zhì)數(shù)猜想取得突破后,張益唐已經(jīng)成為了一個傳奇。但他并沒有躺在功勞簿上,他又回到了一個他以前就經(jīng)常深思的大問題,朗道-西格爾零點猜想。如前所述,我發(fā)現(xiàn)這個東西太復雜,無法向普通觀眾解釋。
在這里只能稍微介紹一下背景。整個數(shù)學中有個最著名、最困難、也最重要的未解之謎叫做黎曼猜想(Riemann hypothesis),它是決定質(zhì)數(shù)分布的關鍵。我以前做過六期節(jié)目解釋黎曼猜想,歡迎大家去看。
用復平面表示黎曼猜想:黎曼ζ函數(shù)的所有非平凡零點都在實部等于1/2的臨界線上
黎曼猜想已經(jīng)相當復雜了,但我覺得看了這六期節(jié)目以后,普通人還能理解個八九不離十。而朗道-西格爾零點猜想是一個以黎曼猜想為背景但更復雜的問題,所以我在這里就完全放棄了。大家只需要通過下面的敘述,了解這個問題的重要性就好了。
張益唐說:“對于數(shù)論學家來講,有兩個宇宙。在第一個宇宙里,不存在朗道-西格爾零點。但在第二個宇宙里,存在此零點。我們的困惑是,不知道我們到底生活在哪個宇宙里面?!?br />
他的同事、數(shù)論學家Stopple解釋說,如果張益唐能證明朗道-西格爾零點猜想,“就像是同一個人被閃電劈中兩次”,“如果他從未成名,那么做出這項工作也會讓他跟上次一樣被世界矚目”。
張益唐對自己能解決朗道-西格爾零點猜想充滿信心,認為沒有大的障礙,剩下的都只是技術性問題。英國數(shù)學大師哈代(Godfrey Harold Hardy,1877 - 1947)有一句名言:“比起其他任何藝術和科學,數(shù)學更是年輕人的游戲。”還有一句名言:“我從沒見過哪個年過半百的數(shù)學家開創(chuàng)重大的數(shù)學進展?!?br />
有人問張益唐如何看待哈代的這些觀點,他的回答是:
“這個說法可能對我并不適用。我仍然相信我的直覺,我仍然對自己有信心。我仍然有不少愿景?!?br />
目前,張益唐的論文《離散平均估計與朗道-西格爾零點》(Discrete mean estimates and the Landau-Siegel zero)剛剛發(fā)到網(wǎng)上,還沒有正式投稿,所以還存在出錯的可能性,要經(jīng)過同行評審才有定論。如果它正確的話,張益唐就確實被閃電劈中了兩次,在58歲做出一次奇跡后又在67歲做出另一次奇跡。只不過對普通人來說,這后一次奇跡比前一次難懂得多,所以我們沒法用直觀的語言來解釋。
《離散平均估計與朗道-西格爾零點》摘要
雖然無法解讀細節(jié),我還是可以向大家解讀一下這個成果的性質(zhì):跟前一次一樣,在某個問題上取得了重大突破,但仍然沒有解決問題本身。朗道-西格爾零點猜想說的是朗道-西格爾零點不存在,由此會導出一個直接的推論,某個量大于某個量的倒數(shù)即-1次方。
張益唐在論文中也指出,2022這個估計很可能是可以改進的,就像對孿生質(zhì)數(shù)猜想的7千萬可以改進。但同時,不太可能通過目前的思路把2022改進到1,就像對孿生質(zhì)數(shù)猜想無法把7千萬改進到2。因此,這篇文章是對朗道-西格爾零點猜想的一個重大進展,但并不是完全解決。不過,張益唐的結(jié)果已經(jīng)足以證明許多懸而未決的命題,把它們變成定理,因此這個成果確實是十分重大的。
我不久前介紹過,陳景潤對哥德巴赫猜想的貢獻也是這種性質(zhì)。目標是“1 + 1”,以前人們做的是“9 + 9”以至“1 + 3”等等,陳景潤做到了“1 + 2”,只差一步但還差得很遠。我想,能了解到這個程度,你的知識水平就超過了99%的人。
最后我想說,即使看不懂這些數(shù)學細節(jié),張益唐的奇跡仍然可以給我們巨大的鼓舞,告訴我們?nèi)擞肋h都可以發(fā)揮主觀能動性,永遠都可以打破界限。質(zhì)數(shù)的最小間隔有上限,而人的奮斗沒有上限。正如《三國演義》中,諸葛亮給周瑜的祭文中的一句話:“始不垂翅,終能奮翼!”
擴展閱讀:
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作者簡介:袁嵐峰,中國科學技術大學化學博士,中國科學技術大學合肥微尺度物質(zhì)科學國家研究中心副研究員,中國科學技術大學科技傳播系副主任,中國科學院科學傳播研究中心副主任,科技與戰(zhàn)略風云學會會長,“科技袁人”節(jié)目主講人,安徽省科學技術協(xié)會常務委員,中國青少年新媒體協(xié)會常務理事,中國科普作家協(xié)會理事,入選“典贊·2018科普中國”十大科學傳播人物。