一個人如何被閃電擊中兩次？張益唐的新成果

一個人如何被閃電擊中兩次？張益唐的新成果 | 袁嵐峰

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導讀：即使看不懂這些數(shù)學細節(jié)，張益唐的奇跡仍然可以給我們巨大的鼓舞，告訴我們?nèi)擞肋h都可以發(fā)揮主觀能動性，永遠都可以打破界限。
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最近，整個數(shù)學界最轟動的新聞是，中國數(shù)學家張益唐再次宣布獲得重大成果，在朗道-西格爾（Landau–Siegel）問題上取得突破。呃，這話的前一句很容易理解，后一句就完全不知所云，朗道-西格爾問題是啥？

實際上，這個新聞對我來說完全不意外。因為我2019年介紹張益唐時，就提到過他在研究朗道-西格爾零點猜想（Landau-Siegel Zeros conjecture），而且對此很有信心。因此，最近的新聞完全在我的意料之中。
不過我以前并沒有調(diào)研過朗道-西格爾零點猜想具體說的是啥，現(xiàn)在既然他說他做出來了，我就趕快做了一番調(diào)研。然而調(diào)研的結(jié)論是，這東西完全無法向普通觀眾解釋。雖然我以前給大家講解過很多硬核的數(shù)學問題，但這次真的是太硬了。就像《是，首相》里的經(jīng)典臺詞：The Russians are too strong.
然而，我可以向大家解釋清楚這事的背景。你如果了解這些，你的知識水平就超過了90%的人。
首先，最基本的問題是，張益唐是誰？其實張益唐現(xiàn)在已經(jīng)非常有名了，他是數(shù)學界少有的飽經(jīng)磨難、大器晚成的代表。
張益唐1955年出生于上海，1978年進入北京大學數(shù)學系讀本科，1985年到普渡大學讀博士。1991年博士畢業(yè)后，由于導師不給他寫推薦信，他無法在學術界找到工作，以至于淪落到打各種零工，才能維持得了生活這樣子。他送過外賣，賣過炸雞，還在快餐店當過會計，作過收銀員等等。有時他沒地方住，只能在車里過夜。

然而奇妙的是，他在這種環(huán)境下都沒有放棄數(shù)學，仍然經(jīng)常到圖書館去讀代數(shù)幾何和數(shù)論方面的期刊文章。1999年，在他的北大師弟、新罕布什爾州立大學數(shù)學系教授葛力明的幫助下，他終于在44歲時獲得了一個學術界工作：到師弟的這個系擔任臨時講師。

2005年，張益唐50歲時，終于從臨時講師成為正式講師，因為他的微積分講得很好。按照正常的軌跡，他似乎會在這個位置上平穩(wěn)地退休。
然而，命運的車輪在這時才開始轉(zhuǎn)動。2013年，張益唐在58歲時發(fā)表了石破天驚的論文《質(zhì)數(shù)間的有界距離》（Bounded gaps between primes），這是人類幾百年來在孿生質(zhì)數(shù)猜想（twin prime conjecture）上第一個實質(zhì)性的進展。

什么是孿生質(zhì)數(shù)猜想？這是一個可以用小學數(shù)學知識很容易講清楚的問題，所以我們來好好解釋一下。
最前面的幾個質(zhì)數(shù)是2、3、5、7、11、13、17等等，它們之間的間隔分別是1、2、2、4、2、4等等。顯然，間隔1只會出現(xiàn)一次，即2和3之間，因為2后面就再也不會有偶的質(zhì)數(shù)了。那么，間隔2會出現(xiàn)多少次呢？

100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)和合數(shù)表

一個驚人的猜想是：無窮多次！這就是孿生質(zhì)數(shù)猜想。我們把一對相差2的質(zhì)數(shù)稱為孿生質(zhì)數(shù)（twin primes），例如3和5、5和7、11和13。孿生質(zhì)數(shù)猜想說的就是，存在無窮多對孿生質(zhì)數(shù)。
實際上，隨著自然數(shù)的增大，質(zhì)數(shù)會變得越來越稀疏。也就是說，平均而言，相鄰兩個質(zhì)數(shù)的間隔會變得越來越大。然而，孿生質(zhì)數(shù)猜想說的就是，無論質(zhì)數(shù)間隔變得多大，它總會在后面的某個地方突然縮小到2，這樣的事會發(fā)生無數(shù)次。
目前，我們已知的最大的孿生質(zhì)數(shù)對是：2996863034895 × 2^1290000 ± 1。這是兩個大得驚人的數(shù)，寫成十進制有將近40萬位。
孿生質(zhì)數(shù)猜想目前仍然是個猜想，也就是說我們還不知道它對不對，既沒有證明也沒有證偽。張益唐并沒有證明孿生質(zhì)數(shù)猜想，但證明了一個它的弱化版本。張益唐證明的是：存在無窮多對質(zhì)數(shù)，它們的間隔不超過7千萬。也就是說，無論質(zhì)數(shù)間隔變得多大，后面總會在某個地方縮小到7千萬或以下。假如把這里的7千萬換成2，就是孿生質(zhì)數(shù)猜想。
7千萬這個數(shù)乍看起來很大，但實際上這是個重大的突破。因為在此之前人們并不知道出現(xiàn)無窮多次的質(zhì)數(shù)間隔有沒有上限，也就是說它完全可能是無窮大，即質(zhì)數(shù)間隔變得越來越大，越來越大，不再縮小。張益唐的結(jié)果是第一次給出了一個有限的上限，即把無限變成了有限。無限和7千萬之間是質(zhì)的區(qū)別，7千萬和2之間只是量的區(qū)別。現(xiàn)在明白這個成果為什么如此轟動了吧？
張益唐并沒有完全挖掘他的方法的潛力。在他的論文發(fā)表后，立刻有很多數(shù)學家來改進。他們組織了一個合作項目“PolyMath8”來做這件事，包括菲爾茲獎獲得者、著名華人數(shù)學家陶哲軒在內(nèi)。

通過這么多人的努力，目前這個上限從7千萬縮小到了246。即我們已經(jīng)證明了，存在無窮多對質(zhì)數(shù)，它們的間隔不超過246。

PolyMath8項目的當前紀錄這雖然也是不小的進步，但重要性顯然不能和最初提出7千萬相提并論。此外，這種方法的潛力似乎已經(jīng)被挖掘殆盡，不足以從246縮小到2。如果想最終證明孿生質(zhì)數(shù)猜想，應該會需要新的思想、新的方法。
在孿生質(zhì)數(shù)猜想取得突破后，張益唐已經(jīng)成為了一個傳奇。但他并沒有躺在功勞簿上，他又回到了一個他以前就經(jīng)常深思的大問題，朗道-西格爾零點猜想。如前所述，我發(fā)現(xiàn)這個東西太復雜，無法向普通觀眾解釋。
在這里只能稍微介紹一下背景。整個數(shù)學中有個最著名、最困難、也最重要的未解之謎叫做黎曼猜想（Riemann hypothesis），它是決定質(zhì)數(shù)分布的關鍵。我以前做過六期節(jié)目解釋黎曼猜想，歡迎大家去看。

用復平面表示黎曼猜想：黎曼ζ函數(shù)的所有非平凡零點都在實部等于1/2的臨界線上
黎曼猜想已經(jīng)相當復雜了，但我覺得看了這六期節(jié)目以后，普通人還能理解個八九不離十。而朗道-西格爾零點猜想是一個以黎曼猜想為背景但更復雜的問題，所以我在這里就完全放棄了。大家只需要通過下面的敘述，了解這個問題的重要性就好了。

張益唐說：“對于數(shù)論學家來講，有兩個宇宙。在第一個宇宙里，不存在朗道-西格爾零點。但在第二個宇宙里，存在此零點。我們的困惑是，不知道我們到底生活在哪個宇宙里面?！?br /> 他的同事、數(shù)論學家Stopple解釋說，如果張益唐能證明朗道-西格爾零點猜想，“就像是同一個人被閃電劈中兩次”，“如果他從未成名，那么做出這項工作也會讓他跟上次一樣被世界矚目”。
張益唐對自己能解決朗道-西格爾零點猜想充滿信心，認為沒有大的障礙，剩下的都只是技術性問題。英國數(shù)學大師哈代（Godfrey Harold Hardy，1877 - 1947）有一句名言：“比起其他任何藝術和科學，數(shù)學更是年輕人的游戲。”還有一句名言：“我從沒見過哪個年過半百的數(shù)學家開創(chuàng)重大的數(shù)學進展?！?br />
有人問張益唐如何看待哈代的這些觀點，他的回答是：
“這個說法可能對我并不適用。我仍然相信我的直覺，我仍然對自己有信心。我仍然有不少愿景?！?br /> 目前，張益唐的論文《離散平均估計與朗道-西格爾零點》（Discrete mean estimates and the Landau-Siegel zero）剛剛發(fā)到網(wǎng)上，還沒有正式投稿，所以還存在出錯的可能性，要經(jīng)過同行評審才有定論。如果它正確的話，張益唐就確實被閃電劈中了兩次，在58歲做出一次奇跡后又在67歲做出另一次奇跡。只不過對普通人來說，這后一次奇跡比前一次難懂得多，所以我們沒法用直觀的語言來解釋。

《離散平均估計與朗道-西格爾零點》摘要
雖然無法解讀細節(jié)，我還是可以向大家解讀一下這個成果的性質(zhì)：跟前一次一樣，在某個問題上取得了重大突破，但仍然沒有解決問題本身。朗道-西格爾零點猜想說的是朗道-西格爾零點不存在，由此會導出一個直接的推論，某個量大于某個量的倒數(shù)即-1次方。

張益唐在論文中也指出，2022這個估計很可能是可以改進的，就像對孿生質(zhì)數(shù)猜想的7千萬可以改進。但同時，不太可能通過目前的思路把2022改進到1，就像對孿生質(zhì)數(shù)猜想無法把7千萬改進到2。因此，這篇文章是對朗道-西格爾零點猜想的一個重大進展，但并不是完全解決。不過，張益唐的結(jié)果已經(jīng)足以證明許多懸而未決的命題，把它們變成定理，因此這個成果確實是十分重大的。

我不久前介紹過，陳景潤對哥德巴赫猜想的貢獻也是這種性質(zhì)。目標是“1 + 1”，以前人們做的是“9 + 9”以至“1 + 3”等等，陳景潤做到了“1 + 2”，只差一步但還差得很遠。我想，能了解到這個程度，你的知識水平就超過了99%的人。

最后我想說，即使看不懂這些數(shù)學細節(jié)，張益唐的奇跡仍然可以給我們巨大的鼓舞，告訴我們?nèi)擞肋h都可以發(fā)揮主觀能動性，永遠都可以打破界限。質(zhì)數(shù)的最小間隔有上限，而人的奮斗沒有上限。正如《三國演義》中，諸葛亮給周瑜的祭文中的一句話：“始不垂翅，終能奮翼！”
擴展閱讀：
《質(zhì)數(shù)的最小間隔有上限，人的奮斗沒有上限 | 袁嵐峰》
《黎曼猜想（六）1859年就提出的黎曼猜想，數(shù)學家證明到什么程度了？ | 科技袁人》
《16個數(shù)論難題，你能看懂多少？解決多少？| 袁嵐峰》
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作者簡介：袁嵐峰，中國科學技術大學化學博士，中國科學技術大學合肥微尺度物質(zhì)科學國家研究中心副研究員，中國科學技術大學科技傳播系副主任，中國科學院科學傳播研究中心副主任，科技與戰(zhàn)略風云學會會長，“科技袁人”節(jié)目主講人，安徽省科學技術協(xié)會常務委員，中國青少年新媒體協(xié)會常務理事，中國科普作家協(xié)會理事，入選“典贊·2018科普中國”十大科學傳播人物。