里奇流——內(nèi)蘊(yùn)的幾何流

近日，中科大幾何與物理研究中心創(chuàng)始主任陳秀雄教授與王兵教授在國際知名數(shù)學(xué)期刊《微分幾何學(xué)雜志》上發(fā)表了關(guān)于高維凱勒里奇流收斂性的論文。該論文解決了幾何分析領(lǐng)域二十余年懸而未決的核心猜想，并取得了重大進(jìn)展。菲爾茲獎得主唐納森也多次在媒體和文章中稱贊此文為“幾何領(lǐng)域近年來的重大突破”。那么，為此做出巨大貢獻(xiàn)的里奇流是什么？讓我們來了解一下。

一、微分幾何學(xué)是什么

在介紹里奇流之前，我們先來了解一下什么是微分幾何學(xué)。微分幾何學(xué)起源于17世紀(jì)，最早研究內(nèi)容是平面曲線的曲率、曲線的包絡(luò)等。在18世紀(jì)，隨著歐拉對微分幾何學(xué)的奠基，以及蒙日、梅斯尼埃、拉格朗日等人對它的發(fā)展，微分幾何的研究主題開始從平面曲線的研究擴(kuò)展到空間曲線和曲面理論的研究，特別是關(guān)于曲面理論的研究，積累了諸如曲面的曲率、可展曲面、曲面上的測地線、極小曲面等方面的研究成果。這些曲面理論的成果為高斯進(jìn)入微分幾何學(xué)提供了基本的研究問題和工具，并為高斯提出內(nèi)蘊(yùn)微分幾何學(xué)打下理論基礎(chǔ)。在整個微分幾何學(xué)的發(fā)展階段，誕生了很多研究工具，里奇流就是其中之一。

二、幾何分析工具——里奇流

里奇流是一種描述空間演化的微分幾何學(xué)研究工具。1982年由哈密爾頓在文獻(xiàn)中首先引入，在文獻(xiàn)中，哈密爾頓利用里奇流，分別分類了具有正里奇曲率的3維流形和具有正曲率算子的4維流形。1993年，哈密爾頓又在文獻(xiàn)中引入了里奇流手術(shù)，并且提出了解決龐加萊猜想和幾何化猜想的提綱。在微分幾何里，里奇流是一個內(nèi)蘊(yùn)的幾何流。它是模仿熱擴(kuò)散的方式在黎曼流形上變化其度量，去掉度量的非正則化，最終里奇曲率流將得到一個高斯曲率處處相等的黎曼度量。

三、里奇流的應(yīng)用

里奇流最初由哈密爾頓引入以研究具有正里奇曲率的緊致3維流形。而在經(jīng)過許多數(shù)學(xué)家數(shù)十年的研究后，里奇流現(xiàn)已被廣泛用于研究有關(guān)流形的拓?fù)洌瑤缀魏蛷?fù)雜結(jié)構(gòu)。特別是，哈密爾頓過去20年的基礎(chǔ)工作以及佩雷爾曼對龐加萊猜想的證明，使里奇流成為了幾何分析中最復(fù)雜，功能最強(qiáng)大的工具之一，在為著名的龐加萊猜想提供了重要的解決方案后，現(xiàn)還被中國數(shù)學(xué)家用來解決了哈密爾頓-田猜想和偏零階估計猜想，這些均為幾何分析領(lǐng)域的核心猜想。

四、微分幾何發(fā)展對我們生活的影響

微分幾何學(xué)自17世紀(jì)起源以來，便對很多學(xué)科的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的推動作用，在我們的日常生活中更是處處可見。它是一種可用來研究空間幾何的學(xué)科，大到宇宙膨脹，小到熱脹冷縮，諸多自然現(xiàn)象都可以歸結(jié)到空間演化。它的發(fā)展對于我們的生活影響巨大，人工智能、機(jī)器人和虛擬現(xiàn)實(shí)等現(xiàn)代技術(shù)，以及物理學(xué)中著名的廣義相對論和量子場論等，都是因微分幾何才得以被推進(jìn)和發(fā)展。可以說，微分幾何即使在今天也發(fā)揮著重要的作用，并將更加深遠(yuǎn)地影響我們的未來。

參考資料：

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[8]穿越11年的數(shù)學(xué)長跑：尋找那顆最完美的“鵝卵石”.新華網(wǎng).2020.11.16