數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)自然界中常見的一類新形狀 洋蔥、軟體動物等都有“軟細胞”

數(shù)學(xué)家描述了一種新的形狀，這種形狀在自然界中很常見ーー從鸚鵡螺標志性的螺旋殼的腔室，到種子長成植物的方式。9月10日，相關(guān)論文發(fā)表于PNAS Nexus。

鸚鵡螺殼的腔室可以用三維軟細胞描述。圖片來源：James L. Amos/Getty

這項工作考慮了“密鋪”這一數(shù)學(xué)概念：形狀如何在表面上鑲嵌。自古以來，用相同的圖形填充平面的問題已經(jīng)得到了充分探索，以至于人們很容易認為已經(jīng)沒有什么可發(fā)現(xiàn)的了。但是，研究人員用一組新的具有圓角的幾何圖形推導(dǎo)出了密鋪的原則，他們將其稱為“軟細胞”。

“簡單來說，以前沒有人這樣做過。”未參與這項工作的美國國家數(shù)學(xué)博物館數(shù)學(xué)家Chaim Goodman-Strauss說，“有這么多基本的事情需要考慮，真是令人驚訝?！?/p>

幾千年來，人們已經(jīng)知道，只有某些類型的多邊形材料，如正方形或六邊形，可以拼接在一起，以無縫填充2D空間。自20世紀80年代準晶體這種非周期性結(jié)構(gòu)被發(fā)現(xiàn)以來，填充空間而沒有規(guī)則重復(fù)排列的密鋪，如彭羅斯密鋪，引起了人們的興趣。去年，Goodman Strauss和同事宣布了第一個只使用單一材料形狀的準周期密鋪，它缺乏任何真正的周期性。

匈牙利布達佩斯技術(shù)與經(jīng)濟大學(xué)數(shù)學(xué)家Gábor Domokos和同事重新研究了周期性的多邊形密鋪，但考慮了當一些角變圓時會發(fā)生什么。在二維空間中，并非所有的角都可以圓潤化而不留下縫隙。但是，當一些角變形為“尖點形狀”時，空間填充的密鋪有了可能。這些角的內(nèi)角為零——它們的邊緣像淚滴一樣切線相交，并且它們緊貼圓角。

Domokos及其同事設(shè)計了一種算法，可以將幾何圖塊——二維多邊形或三維多面體，如泡沫的氣泡，平滑地轉(zhuǎn)換為軟細胞，并探索這些規(guī)則允許的可能形狀的范圍。在二維中，選擇相當有限，所有圖塊必須至少有兩個尖點狀角。但在三維中，柔軟度的引入會帶來一些驚喜，特別是這些軟細胞可以在沒有任何角的情況下填充體積空間。

研究人員設(shè)計了一種定量測量這種填充空間的三維圖形“柔軟度”的方法，發(fā)現(xiàn)最柔軟的不是緊湊的形狀，而是在邊緣發(fā)展出的法蘭狀的圓形“翅膀”，后者通常出現(xiàn)在馬鞍狀的瓷磚表面。最柔軟的形狀元素實際上是圓盤，近似法蘭的三維圖形。

Domokos認為，對于任何給定的初始多面體密鋪，都有一個具有最大可能柔軟度的唯一密鋪。他還懷疑，在真實材料中，這個最優(yōu)解將最大化與邊緣彎曲能或界面張力有關(guān)的某些物理量。他承認，他和同事目前還沒有證明這個最大柔軟度猜想的證據(jù)，但他希望“某個更聰明的人能發(fā)現(xiàn)并證明它”。

研究人員在自然界中發(fā)現(xiàn)了軟密鋪，包括辮狀河流中島嶼的二維形狀、洋蔥同心層的橫截面和組織的生物細胞，以及鸚鵡螺等軟體動物的螺旋殼的三維腔室。他們認為，大自然通常尋求避開角落，因為這樣的拐角的變形能量成本很高，可能是結(jié)構(gòu)弱點的來源。

Domokos說，研究鸚鵡螺“是這項工作的轉(zhuǎn)折點”。在橫截面上，其腔室看起來像有兩個角的二維軟細胞。但論文共同作者、布達佩斯技術(shù)與經(jīng)濟大學(xué)的Krisztina Reg?s懷疑實際的三維腔室根本沒有角?！斑@聽起來令人難以置信。”Domokos說，“但后來我們發(fā)現(xiàn)她是對的。”

Goodman-Strauss認為這項工作提供了一種“結(jié)構(gòu)的描述性語言”，但可能尚未揭示自然界中形成此類結(jié)構(gòu)的新的物理原理。他說，比如，要理解河岸，可能仍然需要從基本原理出發(fā)考慮物理過程，比如水流、沉積物運輸和侵蝕的作用。