數(shù)學(xué)物理學(xué)家Lieb：費(fèi)曼認(rèn)為我嚴(yán)格計(jì)算浪費(fèi)時(shí)間，卻讓我更堅(jiān)定走數(shù)學(xué)物理之路

2023年日本京都獎(jiǎng)授予美國數(shù)學(xué)物理學(xué)家Elliott H. Lieb， Lieb基于其多體物理學(xué)方面的工作，為物理學(xué)、化學(xué)和量子信息科學(xué)等領(lǐng)域的數(shù)學(xué)研究奠定了基礎(chǔ)；也對(duì)數(shù)學(xué)分析做出重要貢獻(xiàn)。京都獎(jiǎng)官方稱他是數(shù)學(xué)科學(xué)領(lǐng)域的智力巨人之一。在獲獎(jiǎng)后的公眾講座中，他講述了自己半個(gè)多世紀(jì)以來的物理學(xué)和數(shù)學(xué)研究歷程（文中照片為Lieb講座中使用的）。

演講 | Elliott H. Lieb

整理 | 葉凌遠(yuǎn)

我于1932年在美國波士頓出生，但我是在紐約市長大的，也在那里形成了我的世界觀。我們家屬于中產(chǎn)家庭，但紐約市提供了非常優(yōu)質(zhì)的免費(fèi)公立教育。我發(fā)現(xiàn)我喜歡創(chuàng)造，喜歡參與業(yè)余無線電活動(dòng)。我最自豪的是莫爾斯電碼學(xué)得很不錯(cuò)，取得了無線電W2ZHS執(zhí)照，可以連接全球所有其他的操作員，與他們傳遞信息。這些愛好與努力受我表哥的影響很大，我曾以為這會(huì)引領(lǐng)我走上電氣工程師的道路。17 歲時(shí)，我隨全家一起搬回了波士頓。我極其有幸受到了著名物理學(xué)家 Victor Weisskopf 的推薦與鼓勵(lì)，進(jìn)入了麻省理工學(xué)院，即人們所稱的 MIT。

Lieb度過大學(xué)時(shí)光的MIT（1949-1953）

在1949 年我進(jìn)入麻省理工學(xué)院后不久，第一門物理課就改變了我的想法。Matthew Sands 是廣受歡迎的《費(fèi)曼物理學(xué)講義》的合著者之一，他讓我領(lǐng)略到了牛頓物理學(xué)在智識(shí)上的美。起初，我很難掌握這些內(nèi)容，高中的課程并沒有真正讓我有能力深入理解物理學(xué)定律，例如牛頓方程到底意味著什么。我花了一段時(shí)間才弄明白牛頓方程。它的含義正如其表示的：力等于質(zhì)量乘以加速度。要知道物體的加速度，必須先知道力和質(zhì)量的大小。在不同的場景下，這些物理量的具體數(shù)值會(huì)有所不同，但背后的原理是一致的。在 Matthew Sands 耐心的幫助下，我花了一半的課程時(shí)間理解了這個(gè)方程的重要性，我的科學(xué)生涯自此有了一個(gè)良好的開端。與牛頓同時(shí)代的人一定也遇到過與我類似的困難。

自那以后，我放棄了成為工程師的想法，在后續(xù)本科學(xué)習(xí)過程中轉(zhuǎn)向了純物理課程。作為 MIT 的本科生，我非常有幸在研發(fā)早期粒子直線加速器的實(shí)驗(yàn)室找到了一份兼職?，F(xiàn)在實(shí)際運(yùn)行的加速器都非常大了，但那時(shí)其體積還很小。這臺(tái)1700萬電子伏特的機(jī)器的建造者，Isaac Halpern 和 Peter Demos，是我遇到過的最鼓舞人心的人。他們對(duì)我的本科生涯產(chǎn)生了很大的影響。

Bates直線加速器

對(duì)1949年的民眾而言，物理并沒有像化學(xué)那樣為人所熟知。我的父親曾認(rèn)為，我突然決定投身物理會(huì)讓我將來陷入貧困。但事實(shí)并非如此。我很幸運(yùn)趕上了二戰(zhàn)后政府資助自然科學(xué)的浪潮，過上了體面的生活。

數(shù)學(xué)在我的學(xué)習(xí)中占據(jù)了一定的份額，但并不是很多。我最有幸的是，在 MIT 向 Isadore Singer 學(xué)習(xí)了高等線性代數(shù)，后者因 Atiyah-Singer 指標(biāo)定理而聞名。我與他隨后成為了很好的朋友。

在 MIT 畢業(yè)后，我想去看看更大的世界。到那時(shí)為止，除了幾個(gè)較大的美國城市，我沒有去過別的地方了。在 Weisskopf 教授的指導(dǎo)下，我畢業(yè)論文寫了與相對(duì)論有關(guān)的題目。他認(rèn)為，英國伯明翰大學(xué)數(shù)學(xué)物理系有 Rudolf Peierls 教授和 Sam Edwards 與 Gerry Brown 兩位講師，是整個(gè)歐洲做理論物理最好的地方之一。并且，他們都說英語。這對(duì)我很重要，因?yàn)槲夷菚r(shí)還沒有接觸過任何一門外語。John Bell 是我那時(shí)的同學(xué)，他后來發(fā)現(xiàn)了一個(gè)對(duì)量子信息而言極其重要的不等式。

英國伯明翰大學(xué)（1953-1956）

那些年我的確實(shí)現(xiàn)了愿望，游歷了歐洲大多數(shù)的國家。在伯明翰度過了三年，我寫了一篇乏善可陳的博士論文，于 1956 年獲得了博士學(xué)位。下一站我就到了京都，因此我獲得博士學(xué)位后的第一份工作是在日本。為什么選擇京都？我的叔叔在波士頓開了一家藝術(shù)書店，專營日本藝術(shù)，他讓我對(duì)浮世繪產(chǎn)生了濃厚的興趣。在伯明翰，我有幸和一位名叫吉田四郎（Shiro Yoshida）的日本核物理學(xué)家共用一間辦公室。我被指派幫助他提高英語水平，我做到了，而他則教我一些基本的日語作為回報(bào)。他沒有教我日語漢字，只是聽說，所以還是像文盲一樣。

Lieb博士畢業(yè)后來到京都（1956-1957）

盡管如此，美國富布賴特項(xiàng)目（Fullbright Program）為我提供了一年的資金，讓我得以前往京都大學(xué)基礎(chǔ)物理學(xué)研究所（YITP），這里也被稱為湯川紀(jì)念館（Yukawa Hall）。無論從文化方面還是科學(xué)上，那一年的經(jīng)歷都對(duì)我產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響。在那之前，我一直懷疑我能否對(duì)科學(xué)做出有價(jià)值的貢獻(xiàn)。在京都，我認(rèn)為我做到了。離開京都后，又過了四年我才再一次做到這一點(diǎn)。

京都大學(xué)基礎(chǔ)物理研究所

在京都大學(xué)基礎(chǔ)物理研究所，我遇到了山崎和夫（Yamazaki Kazuo），一位才華橫溢的年輕日本物理學(xué)家。我與他保持了密切的合作關(guān)系，我們一起研究物理中很具有挑戰(zhàn)性的極化子模型（Polaron model），它描述了被限制在晶體內(nèi)電子的運(yùn)動(dòng)。這在那時(shí)是一個(gè)熱門的方向。我們決定要超越從物理直覺出發(fā)的計(jì)算，在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格計(jì)算出極化子模型的基態(tài)。我們證明極化子的能量實(shí)際上是有限的，換言之，基態(tài)是存在的。其他物理學(xué)家，如費(fèi)曼，則認(rèn)為這是不言自明的，盡管其他與此類似的物理模型中基態(tài)都不存在。就這樣，極化子的相關(guān)研究和我們兩人的生活都邁入了新的篇章。

極化子（Polaron）

正是這一段在京都的經(jīng)歷，讓我確信我有能力做科研。兩年后，我在康奈爾大學(xué)見到了費(fèi)曼本人，他詢問我的興趣是什么。我自豪地向他介紹我在京都與山崎和夫一起做的工作，他相當(dāng)激進(jìn)地回復(fù)說：“真正的物理學(xué)家不做那樣的研究！”在他眼里，我作為一個(gè)年輕的學(xué)者浪費(fèi)了自己的時(shí)間。這一負(fù)面的評(píng)價(jià)讓我更堅(jiān)定不移地選擇了數(shù)學(xué)物理這條道路，并堅(jiān)信它對(duì)物理學(xué)的意義。

伊利諾伊大學(xué)（1957-1958；左）和康奈爾大學(xué)（1958-1960）

從京都離開后，我在伊利諾伊大學(xué)待了一年，隨后又在康奈爾大學(xué)待了兩年，在著名的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)得主Hans Bethe 手下工作，正是他解釋了太陽發(fā)光背后的核反應(yīng)機(jī)制。然而，這三年我一無所獲，這讓我對(duì)自己作為一名數(shù)學(xué)物理學(xué)家的未來感到擔(dān)憂。但這一時(shí)期也讓我遇到了伴隨我一生的問題，即對(duì)玻色氣體的研究，特別是其最低能量態(tài)。玻色氣體是以印度物理學(xué)家Satyendra Nath Bose的名字命名的，具有特殊的量子性質(zhì)。因此，我在最頂尖的大學(xué)、最頂尖的物理學(xué)家手下工作了兩年，直到1960年離開，我獲得的僅僅是一個(gè)值得思考的問題。這個(gè)問題在我腦海中縈繞了三十六年。直到許多年后，我才與 Jakob Yngvason 于1996年解決了這一問題，這也引發(fā)了現(xiàn)在數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域?qū)ΣＩ珰怏w的興趣。

在康奈爾之后，我去了位于紐約約克敦高地的 IBM 計(jì)算機(jī)研究中心。那是 1960 年，該研究中心在這一年剛剛成立。這是我拿到的第一個(gè)永久性職位，盡管我只在那里待了三年。我很幸運(yùn)與兩位和我年齡相仿的同事共事，Ted Schulze 和 Dan Mattis。那時(shí)，我們?nèi)粚W(xué)物理的人希望從數(shù)學(xué)的角度證明某些已經(jīng)被接受的理論。這種興趣超出了其他所有工業(yè)界實(shí)驗(yàn)室研究的范疇，因此我們很感激 IBM 給了我們這樣做的自由。

總體來說，1960 年到 1970年是世界物理學(xué)研究輝煌的十年，物理學(xué)中幾個(gè)重要的定理都出自這一時(shí)期。其中一個(gè)是 Lieb-Schultz-Mattis 定理，即一維的物質(zhì)永遠(yuǎn)不會(huì)被磁化。也就是說，一根原子鏈永遠(yuǎn)不會(huì)產(chǎn)生磁性，至少需要有兩個(gè)維度才行。當(dāng)時(shí)大多數(shù)的理論物理學(xué)家，包括著名的德國物理學(xué)家海森堡、我在伯明翰的博士生導(dǎo)師 Peirels 教授，以及我在康奈爾的導(dǎo)師Bethe，所設(shè)想的與此完全相反，他們曾認(rèn)為在一維物體中磁化必定會(huì)發(fā)生。而我們證明了這永遠(yuǎn)不會(huì)發(fā)生。我們花了一些功夫說服這些同事我們的結(jié)論是正確的，Peirels 最終接受了我們的數(shù)學(xué)證明。這是量子力學(xué)中最早引起廣泛關(guān)注的數(shù)學(xué)證明之一，我們后來就此繼續(xù)發(fā)展了幾個(gè)定理。

《一維數(shù)學(xué)物理學(xué)》（Mathematical Physics in One Dimension，1966）的重印本。

在 IBM 的第二年，我去了塞拉利昂（譯者注：利用休假），這是西非的一個(gè)國家，我在該國首都弗里敦的一所大學(xué)教授了一年應(yīng)用數(shù)學(xué)。當(dāng)時(shí)這里發(fā)生了很多社會(huì)政治運(yùn)動(dòng)，還暴發(fā)了瘧疾。順便一提，如果你沒有得過瘧疾，我可以告訴你這是一種令人非常難受的疾病。

Lieb利用學(xué)術(shù)休假在塞拉利昂Fourah Bay College任教一年

也因如此我在那里有時(shí)間思考科學(xué)問題。正是那時(shí)我發(fā)明了一維玻色子的模型，后來回到 IBM 后，我與 Werner Liniger 一起求解了這一模型?，F(xiàn)在，這一模型對(duì)理解量子力學(xué)多體問題起到基礎(chǔ)性的作用。雖然該工作是有關(guān)一維原子鏈的模型，但后來也被實(shí)驗(yàn)證實(shí)了。

在紐約葉史瓦大學(xué)工作了兩年后，我又回到了波士頓，在東北大學(xué)擔(dān)任教授。在那里，我與伍法岳教授合著了《物理評(píng)論快報(bào)》（PRL）史上被引數(shù)最多的論文，求解了一維的赫巴德模型（Hubbard Model）。它至今仍保持著該期刊文章中被引用次數(shù)的最高紀(jì)錄。

PRL上被引用次數(shù)最多的論文

在東北大學(xué)期間，我把興趣轉(zhuǎn)向了其他領(lǐng)域：冰。水降溫后會(huì)結(jié)成冰，但冰并不簡單。冰和數(shù)學(xué)有什么關(guān)系？Linus Pauling 有一個(gè)非常重要的觀察，他說冰的熵可以通過思考水分子的排列方式來計(jì)算。我們知道，水分子由兩個(gè)氫原子和一個(gè)氧原子組成。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，在絕對(duì)零度下，冰的熵也不會(huì)降為零。這是物理學(xué)史上最精妙的實(shí)驗(yàn)之一。換句話說，冰中有一部分內(nèi)蘊(yùn)的熵，怎么也不會(huì)消失。這意味著冰中氫原子和氧原子的排列，即水分子的朝向，有著顯著的隨機(jī)性。

一種描述冰的方法是將其想象為由箭頭組成的晶格模型。在這個(gè)模型中，每個(gè)點(diǎn)代表氧原子，箭頭代表氫的位置，它總是位于兩個(gè)氧原子之間，可以指向一側(cè)或另一側(cè)。正如我所說，即使在絕對(duì)零度下，冰中仍有一些變化存在，需要計(jì)算其重新排列的總數(shù)。這正是我所著手去做的。順便一提，這個(gè)模型是由 Linus Pauling 發(fā)明的。如下圖所示，在氧原子位于晶格上規(guī)則排列的情況下，冰的熵就等于氫原子排列方式總數(shù)的對(duì)數(shù)。同時(shí)，要形成冰要求每個(gè)頂點(diǎn)都有兩個(gè)箭頭指向它，兩個(gè)箭頭背離它。

二維冰模型丨圖源：Vadim Gorin

因此，計(jì)算冰的熵等價(jià)于計(jì)算在這張圖中符合規(guī)則的箭頭排列方式的總數(shù)。經(jīng)過計(jì)算，該

了組合數(shù)學(xué)中的一個(gè)新分支，稱為“六頂點(diǎn)問題”。因?yàn)樵诿總€(gè)頂點(diǎn)處，如果有兩個(gè)箭頭指向它，兩個(gè)箭頭背離它，那么一共有六種可能的排列方式，你必須計(jì)算出在每個(gè)頂點(diǎn)處都同時(shí)符合這種配置的總排列方式。這延伸出了組合數(shù)學(xué)一個(gè)完整的子領(lǐng)域。我的貢獻(xiàn)在于找出了滿足要求的排列方式的總數(shù)，當(dāng)然這一領(lǐng)域還有許多開放的問題，至今沒有得到解決。

接下來的幾年是我與 Joel Lebowitz 合作的高光時(shí)期。我們證明了庫侖力的熱力學(xué)極限存在。這一定理，和 Freeman Dyson 與 Andrew Lenard 證明帶電粒子具有能量下限的結(jié)論一起，證明了“物質(zhì)的穩(wěn)定性”。讓我來稍微解釋一下這一概念。一個(gè)原子，如你在這下圖中看到的那樣，有一個(gè)原子核，以及圍繞原子核旋轉(zhuǎn)的電子。電子所帶電荷量與原子核所帶電荷量相等。而要構(gòu)成宏觀的物質(zhì)，需要很多原子組合在一起。

物質(zhì)的穩(wěn)定性（The Stability of Matter）

問題是，為什么這些原子核和電子排列構(gòu)成的物質(zhì)——看起來就像蜘蛛編織的產(chǎn)物——不會(huì)不穩(wěn)定？宏觀物質(zhì)本質(zhì)上由無窮多核子和電子組成，但似乎沒有任何東西把它們緊緊地結(jié)合在一起，為什么它會(huì)如此穩(wěn)定？你可以敲擊它，它不會(huì)散開，盡管它是由上述圖片中所示的那些東西構(gòu)成的。在物理學(xué)中，人們慢慢才意識(shí)到這個(gè)問題，而我們決定去解決它。上述圖像雖然粗糙，但沒有原則性的錯(cuò)誤。原子之間的確可以相互吸引，但吸引力非常微弱，并且它們?nèi)员３指髯缘耐暾浴Ｔ跀?shù)學(xué)上解開這個(gè)謎團(tuán)花費(fèi)了幾十年的時(shí)間，我也為解決這個(gè)問題做出了一些貢獻(xiàn)。這個(gè)問題的解決得益于多位學(xué)者共同的努力。如上述提到的 Dyson 和 Lenard，以及我的同事，還有 Walter Thirring。

隨后在1973年，Mary-Beth Ruskai 和我一同證明了量子熵的強(qiáng)次可加性（Strong subadditivity of quantum entropy）。從數(shù)學(xué)的角度來看，這一結(jié)論是量子計(jì)算的基石之一。證明該結(jié)論需要大量的數(shù)學(xué)分析，這也開啟了我從事純粹泛函分析的階段。這個(gè)時(shí)期我其他的工作包括證明了另一組解析不等式，即現(xiàn)在人們所稱的 Brascamp-Lieb 不等式，這些不等式在量子信息理論中有非常廣泛的應(yīng)用。Herm Jan Brascamp 是一位年輕的荷蘭數(shù)學(xué)和物理學(xué)家，我們那時(shí)在一起工作。

時(shí)間來到1975年，我接受了來自普林斯頓大學(xué)的職位，加入了它的數(shù)學(xué)系和物理系。在同一年，我與維也納大學(xué)的 Walter Thirring，全球最知名的數(shù)學(xué)物理學(xué)家之一，建立了友誼。之前提到過的 Dyson-Lenard 對(duì)物質(zhì)穩(wěn)定性的證明事實(shí)上較為復(fù)雜，而我們認(rèn)為應(yīng)該有更為簡潔的證明，不需要那么多頁的計(jì)算，并能得出更好的穩(wěn)定性估計(jì)。我們最終取得了很大的成功，且發(fā)明了一類全新的數(shù)學(xué)不等式（Lieb–Thirring inequality），現(xiàn)在它們以我倆的名字命名。

讓我再提及一些后來發(fā)生的事情。其中一個(gè)較為有益的成果是所謂的 Lieb-Oxford 界限。與Steve Oxford 合作時(shí)，我們找到了一個(gè)此前甚至沒有人設(shè)想其存在的界限，該界限與固體中的能量交換有關(guān)。我不會(huì)進(jìn)行更詳細(xì)地解釋了，大家將其理解為使固體保持穩(wěn)定的能量即可。是否有關(guān)于這個(gè)能量極限的任何估計(jì)？它可能會(huì)有多大？我們得到了這樣一個(gè)估計(jì)，而這是出乎人們意料的。

在1979年，我很幸運(yùn)在學(xué)術(shù)休假時(shí)和我的妻子 Christiane Fellbaum 一起再次來到京都，她正坐在臺(tái)下。我們經(jīng)歷了許多激動(dòng)人心的事情，但也許其中最重要的一件事是關(guān)于電車的。我們在今出川通，見證了京都電車最后一次停下的瞬間。這是一個(gè)很有紀(jì)念意義的事件，現(xiàn)場有很多人。我清楚地記得這輛電車沿著軌道滑行，突然停下來，最后的電車就這樣終結(jié)在我們面前。

Lieb回到京都（1978-1979），見到了日本第一條有軌電車的停運(yùn)

至于我之前提到的有關(guān)固體能量交換極限的工作，實(shí)際上就發(fā)源于我在京都的時(shí)期。但之后在普林斯頓，我和 Oxford 一起將這一界限改進(jìn)到了現(xiàn)在的數(shù)值。

另一篇同樣具有影響力的論文也和日本有一定關(guān)系——有關(guān)電子自旋的 AKLT 模型。其中，A 代表Ian Affleck，K 代表Tom Kennedy；T 代表田崎晴明（Hal Tasaki），他是我1987年的博士后，今天也在現(xiàn)場。這是凝聚態(tài)物理中最早展示最低能量態(tài)和下一個(gè)能態(tài)之間存在能隙的模型之一。很少有物質(zhì)具有這種性質(zhì)。通常情況下，物質(zhì)狀態(tài)的能量是從底部向上連續(xù)變化的，而在這里卻存在一個(gè)能隙，這個(gè)能隙如今在大家習(xí)慣使用的電子產(chǎn)品中起到了很重要的作用。

我想提的最后一件事，就是我與Jakob Yngvason合作的對(duì)熱力學(xué)熵意義的研究。熵是熱力學(xué)中最古老的概念之一，可以追溯到十九世紀(jì)初熱力學(xué)的開端。然而，熵到底是什么？它除了是一個(gè)可以（間接）測量的物理量之外，是否還有其他意義？獨(dú)立于玻爾茲曼所設(shè)想的原子和分子跳躍碰撞的圖景，熵還有沒有什么其他的意義？難道熵就是粒子的運(yùn)動(dòng)？答案是否定的。熵具有更普遍的意義，它如今也在許多不同的領(lǐng)域中出現(xiàn)，比如計(jì)算機(jī)科學(xué)。

我們找到了熵的意義，它作為一個(gè)指標(biāo)，表明了哪些狀態(tài)轉(zhuǎn)變是可能的。這就是熵。我們以一種完全獨(dú)立于任何物理模型的方式，解釋了熵的真正含義。熵指示了什么是可能的，什么是不可能的，而判斷標(biāo)準(zhǔn)則取決于起始狀態(tài)的熵是否小于最終狀態(tài)的熵。熵是一種計(jì)數(shù)方法，其表明的普遍規(guī)律則是，盡管物質(zhì)原則上可以從一個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)變到另一個(gè)狀態(tài)，但在大多數(shù)情況下，這種轉(zhuǎn)變只能朝一個(gè)方向進(jìn)行，而這個(gè)方向是由一個(gè)叫作熵的簡單函數(shù)決定的。這提供了一種理解熵的全新視角。

在這次演講中，我提及了多個(gè)我有幸參與的數(shù)學(xué)、物理以及數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域的研究。我十分榮幸與來自多個(gè)國家——特別是日本京都——的許多杰出同事進(jìn)行合作，并在這一過程中得到了足夠的支持和鼓勵(lì)。盡管在職業(yè)最初有過疑慮，但我堅(jiān)持了下來。我懷著謙卑的心情感謝稻盛財(cái)團(tuán)授予我京都獎(jiǎng)，并給予了我這個(gè)機(jī)會(huì)，讓我能夠分享我的生活和工作。謝謝大家。

本文基于知識(shí)共享許可協(xié)議（CC BY-NC）譯自Elliott H. Lieb “My Journey Through Physics and Mathematics”

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