我們需要怎樣的數(shù)學(xué)教育？｜展卷

在各個(gè)層次的數(shù)學(xué)課程中，從小學(xué)到博士后水平，都缺失了重要的一環(huán)，就是對(duì)模糊和混亂的創(chuàng)造過(guò)程的忠實(shí)描述，而這個(gè)缺失是數(shù)學(xué)課讓最積極的學(xué)生也感到厭倦的主要原因之一。如果對(duì)數(shù)學(xué)概念創(chuàng)造過(guò)程中的思想之舞沒(méi)有深刻認(rèn)識(shí)，就無(wú)法充分領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的優(yōu)雅和美麗。這個(gè)過(guò)程不像看上去那樣難，但是需要徹底改變我們講授數(shù)學(xué)的方式。我們需要在教科書(shū)中至少納入一些錯(cuò)誤的假設(shè)、推理和結(jié)論，讓學(xué)習(xí)者在接觸現(xiàn)代形式的定義之前體驗(yàn)到這些。我們需要像講故事一樣寫(xiě)教科書(shū)，讓書(shū)中的角色經(jīng)常被難住，不知道下一步該往哪里走。職業(yè)數(shù)學(xué)家每天都要用到這些策略，但是在教科書(shū)中和課堂上很少拿出來(lái)討論。

本書(shū)的主題就是：討論從模糊和定性到精確和定量的過(guò)程，或者說(shuō)，如何自己發(fā)明數(shù)學(xué)。我所說(shuō)的“發(fā)明”不僅僅是創(chuàng)造新的數(shù)學(xué)概念，還包括學(xué)習(xí)如何重新發(fā)明已經(jīng)被其他人發(fā)明了的數(shù)學(xué)知識(shí)，從而獲得對(duì)這些概念更深入的理解。這個(gè)過(guò)程以前從沒(méi)有被明確講授，然而它比任何數(shù)學(xué)課程都更為重要。

——《燒掉數(shù)學(xué)書(shū)：重新發(fā)明數(shù)學(xué)》作者Jason Wilkes

本書(shū)作者Jason Wilkes（美）擁有數(shù)學(xué)物理學(xué)和心理學(xué)雙碩士學(xué)位，寫(xiě)作本書(shū)時(shí)在加州大學(xué)圣巴巴拉分校攻讀進(jìn)化心理學(xué)博士學(xué)位。
前往 返樸 點(diǎn)擊“在看”并發(fā)表您的感想至留言區(qū)，截至2020年12月27日中午12點(diǎn)，我們會(huì)選出3條留言，每人送書(shū)一本。

撰文 | 唐璐（任教于湖南大學(xué)，《燒掉數(shù)學(xué)書(shū)：重新發(fā)明數(shù)學(xué)》之譯者）

我們需要怎樣的數(shù)學(xué)教育？這個(gè)問(wèn)題從未像今天這樣變得重要而又復(fù)雜。

被寄予厚望的數(shù)學(xué)教育庚子年注定不平凡，新冠疫情尚未平息，中美沖突的陰影又籠罩在太平洋上，美國(guó)政府急不可耐扼殺華為等中國(guó)高科技企業(yè)的舉動(dòng)，一夜之間讓光刻機(jī)這種小眾工業(yè)設(shè)備成為了舉國(guó)矚目的焦點(diǎn)，仿佛是決定國(guó)運(yùn)興衰的勝負(fù)手。身處漩渦的任正非老爺子倒是處變不驚，密集走訪中科院和多所名校，安撫各界情緒，并直陳要害不是光刻機(jī)，而是基礎(chǔ)科學(xué)和人才培養(yǎng)。

大國(guó)之間的科技角力，明面上是人工智能、大數(shù)據(jù)、高端芯片和量子計(jì)算等領(lǐng)域的競(jìng)爭(zhēng)，骨子里比拼的卻是數(shù)學(xué)、物理等基礎(chǔ)學(xué)科的創(chuàng)新研究和人才培養(yǎng)。沒(méi)有一流的基礎(chǔ)學(xué)科實(shí)力，就不會(huì)有一流的高科技實(shí)力，更談不上有一流的國(guó)家實(shí)力。樓建得越高，地基就得打得越牢。

被寄予厚望的基礎(chǔ)學(xué)科教育能否擔(dān)此重任？目前的教育能不能為創(chuàng)新性基礎(chǔ)學(xué)科人才的成長(zhǎng)提供合適的土壤？我們是走在正確的道路上還是在南轅北轍？答案恐怕是不言而喻的。

數(shù)學(xué)教育的弊端受科舉歷史傳統(tǒng)的影響，中國(guó)學(xué)生在書(shū)本知識(shí)的學(xué)習(xí)上普遍投入大量時(shí)間和精力，由此使得絕大多數(shù)中國(guó)學(xué)生都承受著高考和學(xué)科競(jìng)賽的巨大壓力（所謂的東亞內(nèi)卷，尤其是近年來(lái)高中教育的普及和校外培訓(xùn)行業(yè)的發(fā)展，競(jìng)爭(zhēng)壓力迫使學(xué)生和家長(zhǎng)不斷加碼資源投入，學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)讓人苦不堪言）。這也導(dǎo)致了教育體系（包括學(xué)校和培訓(xùn)機(jī)構(gòu)）以應(yīng)試為價(jià)值導(dǎo)向，以取得考試績(jī)點(diǎn)為目的，這種導(dǎo)向在數(shù)學(xué)教學(xué)中的表現(xiàn)就是側(cè)重解題能力的訓(xùn)練，因?yàn)橐朐谟邢薜目荚嚂r(shí)間內(nèi)獲取高績(jī)點(diǎn)，最有效的手段就是集中精力訓(xùn)練解題技巧。

以獲得考試績(jī)點(diǎn)為目的，以訓(xùn)練解題技巧為手段，這樣的數(shù)學(xué)教育會(huì)帶來(lái)兩方面的弊端：一是學(xué)習(xí)動(dòng)力難以持久；二是學(xué)生會(huì)將數(shù)學(xué)等同于解題，對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)產(chǎn)生偏差。

功利性目標(biāo)扼殺對(duì)數(shù)學(xué)的興趣以獲得績(jī)點(diǎn)為目的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，本質(zhì)上是通過(guò)考試施加壓力，用高績(jī)點(diǎn)刺激學(xué)習(xí)者的大腦分泌多巴胺，從而為學(xué)習(xí)行為提供動(dòng)力。這種做法會(huì)造成兩個(gè)后果：一是在學(xué)習(xí)起步階段沒(méi)有獲得好成績(jī)的學(xué)生很難獲得學(xué)習(xí)動(dòng)力；二是獲得了好成績(jī)的學(xué)生一旦失去了績(jī)點(diǎn)這根胡蘿卜，同時(shí)也會(huì)失去學(xué)習(xí)動(dòng)力。

中國(guó)學(xué)生在國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽的成績(jī)歷年來(lái)都很出色，但獲獎(jiǎng)?wù)咧欣^續(xù)從事數(shù)學(xué)研究的人并不多，這是一大主因。因?yàn)楹芏鄪W賽參與者的出發(fā)點(diǎn)就是獲獎(jiǎng)，從而獲得升學(xué)等一系列好處，這樣一旦奧賽和考試游戲結(jié)束，無(wú)論獲勝者還是失意者，這根胡蘿卜都不復(fù)存在，除了職稱和帽子，很多人再也找不到學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的動(dòng)力。這也造就了中國(guó)學(xué)生在以解題為主旨的國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽中爭(zhēng)金奪銀如探囊取物，而中國(guó)的數(shù)學(xué)研究在國(guó)際數(shù)學(xué)界的影響卻不大的尷尬局面。如果說(shuō)數(shù)學(xué)奧賽是短跑，成為優(yōu)秀的研究者則更像是長(zhǎng)跑，而能讓人維持長(zhǎng)期行為動(dòng)力的因素只能是興趣。

強(qiáng)調(diào)興趣驅(qū)動(dòng)并不是要將興趣放在與奧數(shù)相對(duì)立的立場(chǎng)上去。事實(shí)上，有很多一流的數(shù)學(xué)家，例如證明了龐加萊猜想的俄羅斯數(shù)學(xué)隱士佩雷爾曼，曾獲得菲爾茲獎(jiǎng)的華裔數(shù)學(xué)家陶哲軒，以及近年來(lái)在國(guó)際數(shù)學(xué)界聲名鵲起的惲之瑋、許晨陽(yáng)等北大數(shù)學(xué)“黃金一代”，都曾是奧賽獲獎(jiǎng)?wù)?。追求?jī)點(diǎn)本身無(wú)可厚非，我們要警惕的是將績(jī)點(diǎn)和獲獎(jiǎng)作為唯一或最重要的目標(biāo)，從而讓學(xué)生喪失了興趣和長(zhǎng)期學(xué)習(xí)的驅(qū)動(dòng)力。

解題技巧訓(xùn)練誤導(dǎo)對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)以訓(xùn)練解題技巧為主旨，是當(dāng)下數(shù)學(xué)教育的另一大弊端。這其中對(duì)低齡兒童的解題技巧訓(xùn)練為害尤甚。在現(xiàn)實(shí)壓力和利益驅(qū)動(dòng)下，許多培訓(xùn)機(jī)構(gòu)和焦慮的家長(zhǎng)熱衷于向低齡小學(xué)生灌輸各種解題技巧。過(guò)早和過(guò)多的解題技巧訓(xùn)練嚴(yán)重違背兒童認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，直接扼殺了兒童對(duì)數(shù)學(xué)自然萌發(fā)興趣的可能。而這種自然萌發(fā)的興趣正是最寶貴的需要精心呵護(hù)的學(xué)習(xí)驅(qū)動(dòng)力，回顧數(shù)學(xué)大師們的成長(zhǎng)歷程，最初的驅(qū)動(dòng)力無(wú)一例外不是來(lái)自于這種自然萌發(fā)的興趣遇到了寬松而有營(yíng)養(yǎng)的環(huán)境。

對(duì)于中學(xué)生來(lái)說(shuō)，面臨升學(xué)壓力無(wú)法回避大量刷題，但也不能因此放棄對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的深入認(rèn)識(shí)。過(guò)度的解題技巧訓(xùn)練并不能有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)水平，反而會(huì)誤導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)等同于解題，妨礙對(duì)數(shù)學(xué)建立正確的認(rèn)知。

學(xué)術(shù)研究不同于考試和學(xué)科競(jìng)賽，關(guān)鍵在于創(chuàng)新而不是解題能力。只會(huì)解題而不擅長(zhǎng)提出問(wèn)題，就永遠(yuǎn)只能跟著別人的思路走，注定做不出一流的研究。只有將創(chuàng)新潛能釋放出來(lái)，才有可能成為引領(lǐng)潮流的弄潮兒。因此數(shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，數(shù)學(xué)不是呆板的不容許變通的知識(shí)，而是一門動(dòng)態(tài)的發(fā)展中的學(xué)科。

數(shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)展示如何創(chuàng)造數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力可能來(lái)自天賦遇到合適的土壤；也可能來(lái)自師徒相授，耳濡目染大師創(chuàng)造數(shù)學(xué)的過(guò)程，從而習(xí)得其精髓。大部分人則只能通過(guò)閱讀各種著作尤其是第一手著述來(lái)了解這個(gè)創(chuàng)造過(guò)程?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)已越來(lái)越專業(yè)化和嚴(yán)格化，學(xué)習(xí)前沿?cái)?shù)學(xué)的門檻因此也水漲船高，需要學(xué)習(xí)大量的專業(yè)知識(shí)作為基礎(chǔ)。然后在達(dá)到這一階段之前，很多學(xué)生的思維已被過(guò)度的解題技巧訓(xùn)練固化，靈性已被磨滅殆盡。

對(duì)于大部分不會(huì)從事數(shù)學(xué)研究的學(xué)生來(lái)說(shuō)，過(guò)多的解題技巧訓(xùn)練同樣無(wú)益。應(yīng)用領(lǐng)域與數(shù)學(xué)的發(fā)展相輔相成，數(shù)學(xué)的應(yīng)用更側(cè)重于針對(duì)現(xiàn)實(shí)世界現(xiàn)象的創(chuàng)造性抽象思維能力，而不是解題技巧。因此，在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育階段，除了講授解題，還應(yīng)當(dāng)向?qū)W生講授數(shù)學(xué)思維的本質(zhì)，展示數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過(guò)程。

以獲得績(jī)點(diǎn)為價(jià)值導(dǎo)向，以解題技巧訓(xùn)練為主旨的數(shù)學(xué)教育體系，既不利于國(guó)家的人才培養(yǎng)，也不利于個(gè)人的真正成長(zhǎng)。無(wú)數(shù)家長(zhǎng)和學(xué)生投入不計(jì)其數(shù)的時(shí)間、精力和金錢，得到的卻是國(guó)家和個(gè)人雙輸?shù)木置妗Ｃ鎸?duì)這種互害式的囚徒困境，一方面需要家長(zhǎng)和學(xué)生對(duì)待績(jī)點(diǎn)采取更加理性的態(tài)度，另一方面也需要數(shù)學(xué)教育專業(yè)人士站在更高的立場(chǎng)上不斷進(jìn)行新的嘗試。

針對(duì)數(shù)學(xué)教育的兩大弊端，好的數(shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)回歸數(shù)學(xué)的本源，展示出數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過(guò)程，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)體系構(gòu)建過(guò)程的清晰呈現(xiàn)讓學(xué)生既見(jiàn)樹(shù)木也見(jiàn)森林，是引導(dǎo)學(xué)生興趣，讓學(xué)生入門的最佳途徑。

“燒掉數(shù)學(xué)書(shū)”，另辟蹊徑在諸多數(shù)學(xué)教育方式的嘗試中，近期出版的《燒掉數(shù)學(xué)書(shū)——重新發(fā)明數(shù)學(xué)》（湖南科學(xué)技術(shù)出版社，2020年9月）一書(shū)很值得關(guān)注。從書(shū)名可以看出，這是一本從知識(shí)的創(chuàng)造過(guò)程著手講述數(shù)學(xué)的書(shū)。在這本書(shū)中，數(shù)學(xué)不再是課本灌輸給我們的知識(shí)，而是我們的發(fā)明，是人類共同參與的創(chuàng)造活動(dòng)的產(chǎn)物。這本書(shū)的目的不是幫你提升解題技巧，而是講述數(shù)學(xué)為何是這樣，用輕松的風(fēng)格展示出數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過(guò)程。

書(shū)名“燒掉數(shù)學(xué)書(shū)”并不是慫恿你真去燒書(shū)，而是提醒你對(duì)兩類數(shù)學(xué)書(shū)保持警惕，要讓這些書(shū)為自己所用，而不要讓自己為書(shū)所困。

首先需要警惕的是把學(xué)生訓(xùn)練成做題機(jī)器的數(shù)學(xué)輔導(dǎo)書(shū)。在目前的中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)和培訓(xùn)中，絕大多數(shù)老師都將學(xué)數(shù)學(xué)視為學(xué)習(xí)如何解題。這也導(dǎo)致很多學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)產(chǎn)生局限性，甚至視數(shù)學(xué)為畏途。學(xué)數(shù)學(xué)必須做題，但數(shù)學(xué)絕不是只有做題?！稛魯?shù)學(xué)書(shū)》正是難得的一本能糾正中學(xué)生和大學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的這種錯(cuò)誤認(rèn)知的書(shū)。

還有一類需要警惕的書(shū)是用嚴(yán)格性折磨學(xué)生的大學(xué)數(shù)學(xué)課本。不知有多少熬過(guò)了中學(xué)題海折磨的學(xué)生，僅存的一點(diǎn)對(duì)數(shù)學(xué)的熱情被微積分課程嚴(yán)格的ε-Δ語(yǔ)言當(dāng)頭澆滅。受數(shù)學(xué)嚴(yán)格化和分支專業(yè)化影響，現(xiàn)代數(shù)學(xué)課本的作者熱衷于讓自己的著作無(wú)懈可擊，然而注重嚴(yán)格性的闡述方式適合專業(yè)讀者，卻并不適合初學(xué)者。

對(duì)于初次接觸微積分的學(xué)生來(lái)說(shuō)，嚴(yán)格性并不是必需的，更重要的是理解微積分的思想根源。數(shù)學(xué)分析經(jīng)歷了兩百年的發(fā)展才逐漸嚴(yán)格化，數(shù)學(xué)分析嚴(yán)格化的過(guò)程無(wú)疑是數(shù)學(xué)史中最瑰麗的篇章之一，但對(duì)于微積分的初學(xué)者和非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生來(lái)說(shuō)，嚴(yán)格性絕對(duì)不是必需的，甚至構(gòu)成了不必要的障礙。牛頓和萊布尼茨對(duì)微積分的闡述顯然談不上具有嚴(yán)格性，然而這并不妨礙他們是一流的數(shù)學(xué)大師。沒(méi)有嚴(yán)格性的數(shù)學(xué)走不遠(yuǎn)，但嚴(yán)格性對(duì)于數(shù)學(xué)，就好比拐杖對(duì)于人，只是幫助我們前行的工具，而不是數(shù)學(xué)研究的目的本身，數(shù)學(xué)發(fā)展的精髓仍然在于天才直覺(jué)的引導(dǎo)。

針對(duì)數(shù)學(xué)教育中存在的這些弊端，《燒掉數(shù)學(xué)書(shū)》拋開(kāi)傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)符號(hào)體系，用自己的語(yǔ)言重新發(fā)明數(shù)學(xué)。書(shū)中采用“作者”、“讀者”和“數(shù)學(xué)”三個(gè)角色對(duì)話的形式，以小學(xué)生也能理解的加乘運(yùn)算為基礎(chǔ)，逐步發(fā)明出各種數(shù)學(xué)概念，首先發(fā)明函數(shù)、面積和斜率的概念，接下來(lái)就直奔要旨，干凈利落地推演出微積分基本定理，然后又回過(guò)頭來(lái)以此為基礎(chǔ)，從級(jí)數(shù)和極限的角度推演出自然常數(shù)e和圓周率π的性質(zhì)等數(shù)學(xué)知識(shí)。這些知識(shí)在中學(xué)數(shù)學(xué)中往往是作為事實(shí)未經(jīng)解釋直接給出，原因正是對(duì)其本質(zhì)的理解需要以微積分為基礎(chǔ)?！稛魯?shù)學(xué)書(shū)》則另辟蹊徑，從數(shù)學(xué)發(fā)展的本源出發(fā)重建了闡釋體系，從而讓讀者可以融會(huì)貫通。整本書(shū)的推演過(guò)程如同偵探小說(shuō)般環(huán)環(huán)相扣，精彩紛呈，看似無(wú)關(guān)的線索最后匯聚到一起，清晰呈現(xiàn)出微積分的思想發(fā)展脈絡(luò)。

雖然僅以最基本的加乘運(yùn)算為出發(fā)點(diǎn)，這本書(shū)的收尾卻絕不簡(jiǎn)單，通過(guò)對(duì)函數(shù)概念的推廣，最終將書(shū)中建立的體系推進(jìn)到了非專業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)不會(huì)講授的泛函。雖然這部分內(nèi)容對(duì)于中學(xué)生來(lái)說(shuō)可能略為艱深，但相信能堅(jiān)持讀到最后的讀者一定會(huì)覺(jué)得不虛此行，因?yàn)檫@一部分最能體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的終極武器——抽象化——的美和力量。

《燒掉數(shù)學(xué)書(shū)》最難能可貴和新穎之處在于，讀者可以看到這些數(shù)學(xué)知識(shí)是如何被創(chuàng)造的，而且讀者可以參與這個(gè)創(chuàng)造過(guò)程。針對(duì)當(dāng)前的數(shù)學(xué)教育只重視解題技巧的弊端，《燒掉數(shù)學(xué)書(shū)》正適合當(dāng)下的中學(xué)生或大學(xué)生閱讀，了解數(shù)學(xué)家思考數(shù)學(xué)的方式，矯正應(yīng)試教育造成的對(duì)數(shù)學(xué)的扭曲認(rèn)知。

《燒掉數(shù)學(xué)書(shū)》面向的讀者不限于正在學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)生，也適合認(rèn)識(shí)到當(dāng)前數(shù)學(xué)教育的弊端卻又無(wú)可奈何的老師和家長(zhǎng)閱讀。作者雖然是美國(guó)人，但美國(guó)的數(shù)學(xué)教育面臨的一些問(wèn)題也同中國(guó)一樣。書(shū)中對(duì)數(shù)學(xué)教育的弊端和如何改進(jìn)有諸多探討，相信思考過(guò)這些問(wèn)題的老師和家長(zhǎng)從中一定會(huì)找到許多共鳴和啟發(fā)。

所有不甘心于自己對(duì)數(shù)學(xué)的理解停留在大學(xué)微積分課的似懂非懂，畢業(yè)后已經(jīng)把數(shù)學(xué)還給老師的人同樣可以閱讀這本書(shū)，了解什么是真正的數(shù)學(xué)，擺脫曾被數(shù)學(xué)習(xí)題支配的恐懼，說(shuō)不定還會(huì)發(fā)現(xiàn)自己原來(lái)具有數(shù)學(xué)潛質(zhì)呢！

數(shù)學(xué)對(duì)于大多數(shù)人不應(yīng)只是解題和晦澀難懂的符號(hào)，數(shù)學(xué)教育也不應(yīng)只有功利性目的。面對(duì)績(jī)點(diǎn)價(jià)值觀引導(dǎo)下的數(shù)學(xué)教育現(xiàn)狀，我們不能指望一本書(shū)就能帶來(lái)多大改觀。這就好比將種子撒播到石田，也許會(huì)顆粒無(wú)收，但種子也有可能掉落在石縫間的土壤上，有合適的機(jī)緣就會(huì)長(zhǎng)出參天大樹(shù)。在現(xiàn)實(shí)壓力下，教育系統(tǒng)追求績(jī)點(diǎn)無(wú)可厚非，但不應(yīng)以扼殺學(xué)習(xí)興趣為代價(jià)，至少應(yīng)該為想要思考和探尋數(shù)學(xué)本質(zhì)的學(xué)生提供機(jī)會(huì)和創(chuàng)造條件。進(jìn)化出于生存的目的賦予了動(dòng)物們眼睛和大腦，但人類的不同之處在于我們會(huì)用它們來(lái)仰望星空和思考無(wú)垠宇宙。