量子多體糾纏計算新范式：抽樣約化密度矩陣

如果有一種數(shù)值方法，可以跳過求解基態(tài)而直接得到約化密度矩陣，將大大拓展糾纏計算的范圍。經(jīng)過多番嘗試，我們通過量子蒙卡算法達(dá)到了這個目的。

撰文 | 嚴(yán)正（西湖大學(xué)物理系）

參加過幾次學(xué)校的博士生面試，某吳老師常問學(xué)生：“你覺得量子力學(xué)最有趣在哪里？”于我自己而言，我覺得量子糾纏肯定是其中之一了。量子糾纏如此神奇，以至于在民間被神化和佛化了。所謂的“量子佛學(xué)”，“幾世糾纏”……在各種神棍口中被發(fā)揚光大，混吃混喝。然而，思而不學(xué)則殆，拋開量子力學(xué)和線性代數(shù)而空想量子糾纏實則是非常不科學(xué)乃至迷信的。建議大家有錢有閑，不妨買本量子物理的科普書，而不是買量子襪子、量子水等智商稅產(chǎn)品。

物理人比較實在，我們更關(guān)注量子糾纏的計算、探測以及背后的機制等。近期我們在量子多體系統(tǒng)中如何計算糾纏信息有了一番新的認(rèn)識和探索，在此與大家分享。

要談量子糾纏，首先需要量化它。數(shù)學(xué)上有許多反映糾纏信息的量，比如，Von Neumann糾纏熵、Renyi糾纏熵、糾纏譜等等。而它們的定義都往往離不開約化密度矩陣。所謂約化密度矩陣，就是將系統(tǒng)分為兩部分：關(guān)心的子系統(tǒng)A和不關(guān)心的環(huán)境B。如果我們對總系統(tǒng)的密度矩陣做部分求跡操作，把B的自由度都積掉，那么我們就得到了關(guān)于A

可以得到了。然而，對于一個量子多體系統(tǒng)，其自由度本身隨著尺寸而指數(shù)發(fā)散。要求解基態(tài)本身就是一件極其困難的事情，更何況現(xiàn)在還要將密度矩陣部分求跡，這大大限制了糾纏信息的計算和提取。

目前常用的計算糾纏方法就是，先用嚴(yán)格對角化或者密度矩陣重整化群一類的方法，得到體系的基態(tài)，然后得到對應(yīng)的密度矩陣，接著對其部分求跡，得到ρA。受限于現(xiàn)代計算機的內(nèi)存，這些方法能處理的總體系本身尺寸很小，或者局限于一維。要想再得到其中的A部分，尺寸就得變得更小了。

如果有一種數(shù)值方法，可以跳過求解基態(tài)而直接得到約化密度矩陣，那計算機的全部內(nèi)存就只需要處理ρA的自由度，這將大大拓展糾纏計算的范圍。經(jīng)過多番嘗試，我和學(xué)生丁一茗以及康復(fù)大學(xué) (籌) 的毛斌斌老師，通過量子蒙卡算法達(dá)到了這個目的[1]！關(guān)心細(xì)節(jié)的朋友們且聽我慢慢道來。

圖1. 配分函數(shù)(上)和約化密度矩陣(下)的路徑積分形式。

上下邊界相同顏色的格點表示此處虛時間為循環(huán)邊界條件，反之則為開放邊界條件。

這樣一處對于傳統(tǒng)量子蒙卡計算方式小小的改動，賦予了計算對象新的含義。從配分函數(shù)變成了約化密度矩陣?；剡^來看很簡單，事實上為了追求約化密度矩陣的信息，蒙卡先賢們付出了巨大的努力和嘗試。比如，通過構(gòu)造多腿褲子結(jié)構(gòu)加上解析延拓來嘗試得到糾纏譜函數(shù)的信息[2, 3]（約化密度矩陣的本征值取ln后就是糾纏譜）；通過計算不同n階的Renyi糾纏熵來反推糾纏譜的能級[4]。其中，前者受復(fù)本流形和解析延拓所限，只能得到非常低能范圍內(nèi)的譜函數(shù)，無法得到能級和簡并度等重要信息[5]。而我們知道，在共形場論、拓?fù)湫虻刃畔⑻崛r，糾纏譜的簡并和精細(xì)能級是極其重要的。后者方法雖然能給出精細(xì)的能級，但是計算代價是極為巨大的。我們需要計算盡可能多的不同階數(shù)的Renyi糾纏熵來反解糾纏譜。而高精度的Renyi熵計算本身就是極其困難的問題[6, 7]，更何況要窮盡去算不同階數(shù)的熵值。我們的新方法顯然是以極低代價，給出了新的解決方案。

圖2. (a) 在L=8的海森堡梯子中計算兩腿之間的糾纏譜。紅色的是嚴(yán)格對角化結(jié)果，黑色點為蒙卡抽樣結(jié)果?？梢钥吹诫S著抽樣步數(shù)增加，能級從低到高收斂。(b) 相同系統(tǒng)中，更大尺寸下，蒙卡得到的糾纏譜數(shù)據(jù)。

接下來我們先看看這個方法的有效性。以一個反鐵磁海森堡模型梯子鏈為例，我們計算了兩條鏈之間的糾纏譜。如圖2(a)所示，可以看到，隨著蒙卡步數(shù)的增加，越低能的糾纏譜能級越早收斂，其中紅線是標(biāo)準(zhǔn)的嚴(yán)格對角化結(jié)果，而黑色的數(shù)據(jù)點則是蒙卡結(jié)果。此處的梯子長度為L=8。進(jìn)一步，我們嘗試了更大尺寸的糾纏譜數(shù)據(jù)，如圖2(b)所示，這在過去的計算中是難以達(dá)到的[8]。

從這里我們可以簡單分析下此方法的優(yōu)劣。由于我們對環(huán)境部分B用蒙卡做了trace計算，所以該部分自由度的計算代價是代數(shù)的，故而該方法并不受限于B的大小。但是因為我們要對所關(guān)心系統(tǒng)A的自由度做矩陣操作，事實上導(dǎo)致了A部分計算復(fù)雜度是指數(shù)增長的。幸運的是，同時，由于蒙卡自帶的重要性抽樣特性，低能的糾纏譜會被優(yōu)先得到。而在凝聚態(tài)物理中，大家普遍關(guān)注的都是低能糾纏譜的普適行為，所以高能譜可以被丟掉。所以如果我們限制蒙卡抽樣數(shù)量的話，相當(dāng)于可以對A的態(tài)空間做有效截斷，只提取其低能信息。故而A部分的計算復(fù)雜度也可以根據(jù)關(guān)注的低能范圍做優(yōu)化。最極端的例子是，如果我們只關(guān)注糾纏譜是不是有能隙（所謂的Schmidt gap[9]），事實上只需要極少數(shù)的抽樣就可以捕捉該信息。

我們在文章中展示了幾個例子[1]，分別是反鐵磁/鐵磁海森堡梯子兩條腿之間的糾纏譜，以及二維反鐵磁海森堡模型的糾纏譜。此處不再一一贅述。我們著重展示下二維系統(tǒng)的例子。如圖3(a)所示，我們在二維反鐵磁海森堡模型的基態(tài)中，選擇一條鏈(A)和一個方塊(A’)為子區(qū)域。計算了他們各自的糾纏譜，如圖3的(b)和(c)所示。其中我們都發(fā)現(xiàn)了反映自發(fā)對稱性破缺特征的塔狀（tower of states, TOS）糾纏結(jié)構(gòu)[10]。這類計算在之前是難以做到的。如果大家對于其他兩個例子也感興趣的話，歡迎閱讀我們近期的文章[1]。

圖3. (a) 自旋1/2的二維正方晶格反鐵磁海森堡模型中，選擇一條鏈(A)和一個方塊(A’)為子區(qū)域。計算他們各自的糾纏譜。(b) A區(qū)域的低能糾纏譜和(c) A’區(qū)域的低能糾纏譜。兩個圖中都出現(xiàn)了反映連續(xù)對稱性破缺的塔狀結(jié)構(gòu)(tower of states, TOS)。

文末，在寫這篇小文時，看到了我老東家卡洛組里貼出了類似精神的文章，用約化密度矩陣計算了糾纏負(fù)度（entanglement negativity）等物理量[11]。贊英雄所見略同之時，深感卡圈太卷！望各位讀者朋友繼續(xù)凈化職場！

參考文獻(xiàn)

[1] Bin-Bin Mao, Yi-Ming Ding, and Zheng Yan. "Sampling reduced density matrix to extract fine levels of entanglement spectrum." arXiv preprint arXiv:2310.16709 (2023).

[2] Fakher F. Assaad, Thomas C. Lang, and Francesco Parisen Toldin, “Entanglement spectra of interacting fermions in quantum monte carlo simulations.” Phys. Rev. B 89, 125121 (2014).

[3] Zheng Yan and Zi Yang Meng, “Unlocking the general relationship between energy and entanglement spectra via the wormhole effect.” Nature Communications 14, 2360 (2023).

[4] Chia-Min Chung, Lars Bonnes, Pochung Chen, and Andreas M. L?uchli, “Entanglement spectroscopy using quantum monte carlo.” Phys. Rev. B 89, 195147 (2014).

[5] 嚴(yán)正，好蛋大爺?shù)募m纏譜猜想——路徑積分蟲洞效應(yīng)揭示糾纏譜與能譜的迷離關(guān)系 (qq.com)

[6] Jiarui Zhao, et al. "Measuring Rényi entanglement entropy with high efficiency and precision in quantum Monte Carlo simulations." npj Quantum Materials 7, 69 (2022).

[7] Jiarui Zhao, et al. "Scaling of entanglement entropy at deconfined quantum criticality." Phys. Rev. Lett. 128, 010601 (2022).

[8] Didier Poilblanc, “Entanglement spectra of quantum heisenberg ladders,” Phys. Rev. Lett. 105, 077202 (2010).

[9] Abolfazl Bayat, Henrik Johannesson, Sougato Bose, and Pasquale Sodano, “An order parameter for impurity systems at quantum criticality,” Nature communications 5, 3784 (2014).

[10] F. Kolley, S. Depenbrock, I. P. McCulloch, U. Schollw?ck, and V. Alba, “Entanglement spectroscopy of su(2)-broken phases in two dimensions,” Phys. Rev. B 88, 144426 (2013).

[11] Ting-Tung Wang, et al. "Entanglement Microscopy: Tomography and Entanglement Measures via Quantum Monte Carlo." arXiv preprint arXiv:2402.14916 (2024).

本文受科普中國·星空計劃項目扶持

出品：中國科協(xié)科普部

監(jiān)制：中國科學(xué)技術(shù)出版社有限公司、北京中科星河文化傳媒有限公司

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