同調(diào)代數(shù)學走入21世紀

本文討論西方同調(diào)代數(shù)的起源、現(xiàn)狀和未來。從Cartan關于Leray的討論班開始。其次介紹Grothendieck及他的學生Gabriel, Verdier, Giraud的工作。然后我們討論Beilinson, Bernstein, Deligne, Gabber和Lurie的貢獻，最后說說對未來的一些想法。

撰文 | 黎景輝

01

開始

本文承繼“返樸”2023年4月14日所載李克正先生的《同調(diào)代數(shù)的起源和發(fā)展》，以歷史故事的方式介紹同調(diào)代數(shù)在西方的起源和發(fā)展。同調(diào)代數(shù)在國內(nèi)的發(fā)展歷程則留給國內(nèi)專家撰文詳述。關于我們的觀點，讀者可自擇其需。我們并不是給一個純歷史次序的記錄。這里比較像一個掠影短片。我們認為一個掠影會更生動地讓讀者體會同調(diào)代數(shù)。我們希望引起讀者滿心好奇地發(fā)問：同調(diào)代數(shù)，這個二十世紀最強力的代數(shù)工具是什么？

最早的同調(diào)代數(shù)公式應該是Euler (1707-1783) 著名的點-線-面公式: V-E +F=2。拓撲流形的同調(diào)概念早就出現(xiàn)在Riemann (1826-1866) 和Betti (1823-1892)的工作中。到20世紀初有Poincare (1854-1912), Picard (1856-1941) 和Lefschetz (1884-1972) 深刻的研究。

今日無論用什么語言寫的同調(diào)論課本一定會討論拓撲空間的奇異同調(diào)群。在1944年Annals of Mathematics刊登的Samuel Eilenberg撰寫的文章里，我們能看見最早的、有系統(tǒng)討論的同調(diào)代數(shù)的基礎: 復形的同調(diào)群。1952年Princeton大學出版社出版Eilenberg和Steenrod的代數(shù)拓撲學名著, 他們創(chuàng)立了同調(diào)群公理系統(tǒng)。這公理系統(tǒng)的第4公理指出，對應于空間及子空間，有同調(diào)群的長正合序列。這個簡單的要求卻在三角范疇里重生對以后的發(fā)展有深遠的影響。

02

轉換

從代數(shù)學的觀點最有影響力的第一個同調(diào)代數(shù)的結果應該是1890年Hilbert的Syzygy定理，而第二定理是Hilbert定理90 (證明見[14]十三章命題13.7)，這個定理改變了整個代數(shù)數(shù)論（見[6]; [16]第五至八章和十一章; [13]第三篇; [15]第10章; [17]15, 16章）。

我們今日看到的【同調(diào)代數(shù)】應該從1950到1951年Henri Cartan (1904-2008) 在巴黎高師的討論班開始。在這個討論班，Cartan-Eilenberg-Serre重新整理了Leray的工作：包括層的定義，層上同調(diào)的公理和譜序列。Cartan和Eilenberg (1913-1998) 合寫的同調(diào)代數(shù)[5]在1956年由Princeton大學出版社出版。他們做了什么呢？他們從代數(shù)拓撲學里針對拓撲空間的同調(diào)群計算里把同調(diào)代數(shù)“帶”了出來，變?yōu)榄h(huán)R上的模的同調(diào)不變量，變?yōu)榇鷶?shù)結構的同調(diào)代數(shù)！他們引入模的化解用于計算上同調(diào)群。

我們下面簡要介紹一下這幾波發(fā)展的具體內(nèi)容。

第一波：范疇和函子的概念已出現(xiàn)在Eilenberg和MacLane (1909-2005) 登在1945年的美國數(shù)學會的《美國數(shù)學會匯刊雜志》上。Cartan和Eilenberg的書亦開始用這個語言和導出函子的概念。革命性的改變來自Grothendieck (1928-2014) 于1957年發(fā)表在日本的東北數(shù)學雜志的文章[10]。

第一，Grothendieck清楚堅定的建立范疇為數(shù)學的基礎結構，范疇學不是代數(shù)拓撲的幾個人的語言。

第二，他引入Abel (1802-1829) 范疇并置于同調(diào)代數(shù)的中心位置；把模范疇換為Abel范疇。

第三，他為導出函子提出一個容易明白和計算的方法——這是對Cartan-Eilenberg[5]的一個重要的改進。

第四，他指出空間的層的上同調(diào)是整體截面函子的導出函子。

第五，他用函子合成的導出函子表達譜序列, 第一次讓世人明白了這個復雜工具的用途。

Grothendieck的學生Gabriel (1933-2015) 登在1962年法國數(shù)學會Bulletin的博士論文總結了他的Abel 范疇理論。這只是第一波。

差不多在同一時段Hochschild、Heller、Eilenberg, Moore[7]開始研究用來計算導出函子的復形與范疇的關系。他們稱這個研究方向為相對同調(diào)理論。近年來這方面發(fā)展出很多代數(shù)的工作，如：Gorenstein同調(diào)理論以及覆蓋與包絡理論等，后者也即代數(shù)表示論中的逼近理論。相對同調(diào)理論的專著很多：如：[12]。

第二波：這一幕的主角是Grothendieck的學生Verdier (1935-1989) ——他1967年的博士論文文[27]又是一創(chuàng)舉。首先我們留意Cartan-Eilenberg和Grothendieck均構造導出函子卻沒有說明這個導出函子是從那一個范疇到什么范疇。Verdier構造出Abel范疇A的導出范疇DA使得函子F: A→B的導出函子DF: DA→DB 由一個泛性刻劃。至此，同調(diào)代數(shù)的問題便轉為導出函子的性質(zhì)了。

Verdier的構造包含以下兩個部份: 引入三角范疇和使用范疇的局部化。

一. 同調(diào)代數(shù)就是要產(chǎn)生長正合序列。

(1) 若我們以模為例子，我們便要求從一個態(tài)射的短正合序列得長正合序列。

有這樣條件的加范疇便是Abel范疇。

(2) 在代數(shù)拓撲學里是從映射錐序列產(chǎn)生長正合序列。

在加范疇模仿這樣的構造便得三角范疇，一個重要的性質(zhì)是：三角范疇的局部化還是三角范疇。

二. Verdier用范疇局部化造Abel范疇的導出范疇并提出比較有效的算法。代數(shù)稱從整數(shù)到分數(shù)的過程為局部化。

第三波：Beilinson (1957-)，Bernstein (1945-)，Deligne和Gabber (1958-)在1982年Asterisque 100（由法國數(shù)學學會出版的數(shù)學期刊《Astérisque》的第100期）上發(fā)表了三角范疇的t結構公理。這篇[2]深入地影響了代數(shù)表示論的后續(xù)發(fā)展。可以用t結構定義偏屈層。柏原正樹 (1947-)和Mebkhout (1949-)使用偏屈層證明了復流形的微分方程的Riemann-Hilbert對應[11]。

第四波：Lurie認為可用∞-范疇代替三角范疇。設Abel范疇A有足夠投射對象，Lurie構造穩(wěn)定∞-范D-(A)。并指出同倫范疇hD-(A)是A的導出范疇 ([21]69頁)。所以他說：穩(wěn)定∞-范疇推廣了同調(diào)代數(shù)。這樣從第二波開始的三角范疇已經(jīng)可以功成身退了。如此: Lurie的《高等代數(shù)》里同調(diào)代數(shù)換成了: 范疇局部化，同倫論，∞-拓撲式，穩(wěn)定∞-范疇，導出范疇與導出函子。

我們引[8]168頁 A.1 : “若我們還是在20世紀我們便使用三角范疇。但是現(xiàn)在我們應利用本世紀同調(diào)代數(shù)的新發(fā)展，使用穩(wěn)定∞-范疇便可以作代數(shù)幾何的基本操作如粘貼 (glueing) 和取極限，這樣便可以避開三角范疇理論的缺陷?！?/p>

03

未來

讓我們分開幾點來問一些來自微分算子和李群表示論的問題。

第一，取結合環(huán)R，則左R-模范疇R-mod是Abel范疇。當環(huán)R不必是交換的。我們求R-mod的導出函子的所有性質(zhì)。我們亦可以取特殊的R，例如取R為四元代數(shù)，頂點代數(shù)，Hecke (1887-1947) 代數(shù)，微分算子環(huán)等等。

第二，在Grothendieck理論里計算一個同調(diào)群并不是最重要的事，更為有趣的是所有導出函子之間的系。雖然沒有明確提出，Grothendieck及他的學生在他們的巴黎IHES第四屆到第七屆代數(shù)幾何討論班（SGA4至SGA7），經(jīng)常研討這些運算的構造和性質(zhì)。當然他們的主題是代數(shù)幾何的應用, 因此主要對象是交換環(huán)。在流形微分算子環(huán)的情形，Mebkhout的講義[23]介紹了Grothendieck運算。包括張量積, Hom, 對偶, 正極限, 反極限, ΓZ, f*, f*, f!, f!等的導出函子。

Ayoub的博士論文[1]詳細研究了6個Grothendieck運算。我們問是否可以從這些材料把一般的原則虹吸出來為非交換環(huán)作個綜合總結。

Scholze (2013年Ramanujan獎, 2018年菲爾茲獎得主) 2023年在Bonn的課程上[26]指出最先建立6個Grothendieck運算的系統(tǒng)是：

(1) 劉一峰-鄭維喆[19]；

(2) Gaitsgory-Rozenblyum[9]

最近Scholze的學生Mann[22]進一步用Lurie的∞-算元 (operad) 來表達6-函子系統(tǒng)。Scholze[26]亦在D-模范疇建立6-函子系統(tǒng)，并預言可在算術D-模范疇建立6-函子系統(tǒng)。Caro 在這一方面的工作有[3]、 [4]。還未聞有人以Lurie的高等代數(shù)重建Berthelot的算術D-模理論。

第三，在復數(shù)域上的有限維向量空間取距離度量拓撲，然后讓維數(shù)趨無窮, 我們便由線性代數(shù)進入泛函分析了。學過初等泛函分析的人都知道泛函分析里的定理是不同于線性代數(shù)的。例如，在線性代數(shù)里只有一個張量積，在泛函分析里，因為可取的拓撲不同而產(chǎn)生不同的張量積。于是有不同的張量代數(shù)。

研究非緊李群的實或p進表示便要考慮無窮維線性拓撲空間范疇, 但這不是Abel范疇，幸好1999年F.Prosmans[24]和J-P.Schneiders[25]指出它是擬Abel范疇，并且有導出范疇和導出函子理論。目前還未見在p進域上獲得類似柏原正樹在實數(shù)域上關于核Frechet空間范疇的結果 (相關問題的討論見[18]），亦未見有擬Abel范疇的Grothendieck運算理論。亦未知Lurie的理論怎樣處理擬Abel范疇。

結語

同調(diào)代數(shù)專家當然有他們的課題。同倫論學者也可以用Lurie的理論重做用三角范疇得來的同調(diào)代數(shù)?；蛘呦馝merton、Scholze和我們想了解的：Lurie的理論是否可以解決在數(shù)論遇到的老同調(diào)代數(shù)沒能解決的問題。

同調(diào)代數(shù)是一種處理復雜關系的代數(shù)計算技術，利用等價關系把數(shù)據(jù)簡化。同倫代數(shù)開始處理關系、關系的關系、關系的關系的關系……等復雜結構。這引起研究信息論、通訊技術、計算機理論、人工智能的人的注意。當然同倫關系亦有限制的，例如當n >1時，同倫群是交換的。

是否有產(chǎn)生用非交換群刻畫的高次關系的等價關系和新的同調(diào)代數(shù)呢?

參考文獻

[1] Ayoub， J.，Les six operations de Grothendieck, Asterisque 314、315(2007)。

[2] Beilinson， A.，Bernstein， J.，Deligne， P.，F(xiàn)aisceaux perverse, in Analysis and topology on singular spaces，I (Luminy, 1981), Asterisque 100, Soc. Math. France, Paris，(1982)。

[3] Caro， D.，Le formalisme des six operations de Grothendieck en cohomologie p-adique，arXiv:1209.4020v2 [math.AG] (2012)。

[4] Caro， D.，Systemes inductifs coherents de D-modules arithmetiques logarithmiques，stabilite par operations cohomologiques. Doc. Math. 21: (2016) 1515 – 1606。

[5] Cartan， H., Eilenberg， S.，Homological algebra，Princeton,Princeton University Press, (1956)。

[6] Deligne， P.，La conjecture de Weil, I, Pub. Math. IHES 43(1974) 273-307; II Pub. Math. IHES 52(1980) 137-252。

[7] Eilenberg， S.，Moore， J., Foundations of Relative Homological Algebra, American Mathematical Soc. Mem 55，(1966)。

[8] M. Emerton，T. Gee，E. Hellmann，An introduction to the categorical p-adic Langlands program，arXiv:2210.01404 [math.NT] (2022)。

[9] Gaitsgory， D.，Rozenblyum， N.，A study in derived algebraic geometry，Vol. I, American Mathematical Society，(2017)。

[10] Grothendieck， A.，Sur quelques points d'algebre homologique. Tohoku Math. J. (2), 9:119-221，1957。

[11] Hotta， R.，Takeuchi， K., Tanisaki， T., D-modules，Perverse sheaves and representation theory，Birkhauser，Boston (2008)。

[12] Iacob， A.，Gorenstein homological algebra，CRC Press，Boca Raton，F(xiàn)L(2019)。

[13] 黎景輝，陳志杰，趙春來，代數(shù)群引論,科學出版社(2006)。

[14] 黎景輝，白正簡，周國暉，高等線性代數(shù)學，高等教育出版社 (2014)。

[15] 黎景輝，趙春來，模曲線導引，北京大學出版社，第二版第二次印刷 (2015)。

[16] 黎景輝，代數(shù)數(shù)論，高等教育出版社 (2016)。

[17] 黎景輝，代數(shù)K理論，科學出版社 (2018)。

[18] 黎景輝，微分方程和李群表示，數(shù)學進展 48(3) : (2019) 257-301。

[19] Liu， Y.，Zheng， W.，Enhanced six operations and base change theorems for artin stacks, arXiv:1211.5948, (2012)。

[20] Lurie， J.，Higher Topos Theory,Princeton University Press， (2009)。

[21] Lurie， J.，Higher Algebra，
https://www.math.ias.edu/~lurie/。

[22] Mann， L.，A p-adic 6-Functor Formalism in Rigid-Analytic Geometry, arXiv:2206.02022, (2022)。

[23] Mebkhout， Z.，Le formalisme des six operationsde Grothendieck pour les D-modules coherents，T Paris， Hermann，(1989)。

[24] Prosmans， F.，Derived categories for functional analysis. Publ. Res. Inst. Math. Sci. 36(5–6), 19–83 (2000)。

[25] Schneiders， J. P.，Quasi-abelian categories and sheaves，Mem. Soc. Math. Fr.(N.S.) 76 (1999)。

[26] Scholze， P.，Six functors formalism, Bonn lectures (2023)。

[27] Verdier， J.-L.，Des categories derivees des categories abeliennes, Asterisque 239, 1996。

作者簡介

黎景輝，1974年美國耶魯大學數(shù)學博士，導師朗蘭茲（Langlands）。畢業(yè)后曾在美國，香港，加拿大，澳洲，臺灣的大學當老師。自1978年曾在囯內(nèi)多所大學講課。研究方向是代數(shù)數(shù)論和數(shù)學教育。在科學出版社，高等教育出版社，北京大學出版社出版多部數(shù)學書籍。

本文受科普中國·星空計劃項目扶持

出品：中國科協(xié)科普部

監(jiān)制：中國科學技術出版社有限公司、北京中科星河文化傳媒有限公司

特 別 提 示

1. 進入『返樸』微信公眾號底部菜單“精品專欄“，可查閱不同主題系列科普文章。

2. 『返樸』提供按月檢索文章功能。關注公眾號，回復四位數(shù)組成的年份+月份，如“1903”，可獲取2019年3月的文章索引，以此類推。

版權說明：歡迎個人轉發(fā)，任何形式的媒體或機構未經(jīng)授權，不得轉載和摘編。轉載授權請在「返樸」微信公眾號內(nèi)聯(lián)系后臺。