粘性解

概念

數(shù)學(xué)中，粘性解是20世紀(jì)80年代早期由Pierre-Louis Lions和Michael Crandall作為對(duì)偏微分方程（PDE）經(jīng)典解的擴(kuò)展而引入的。粘性解在PDE的許多應(yīng)用中作為解是非常自然的，例如優(yōu)化控制中的一階偏微分方程（Hamilton-Jacobi-Bellman equation），differential game中（Isaacs equation），前端演化問題（front evolution problem）[1]，還有二階方程，例如在隨機(jī)優(yōu)化控制或隨機(jī)微分博弈（stochastic differential game）中出現(xiàn)的1。

經(jīng)典的概念是在域中PDE

有解，如果我們能找到在整個(gè)域上連續(xù)且可微的函數(shù)u(x)，使得x, u和Du（u的微分）在每個(gè)點(diǎn)都滿足上面的等式。

定義

在粘性解的意義下，u不需要在每個(gè)點(diǎn)都可微。可能在有些點(diǎn)上不存在，即u中存在扭結(jié)（kink）但u在適當(dāng)意義下滿足等式。雖然在某個(gè)點(diǎn)上可能不存在，但可以使用下面定義的上微分（superdifferential）和下微分（subdifferential）代替2。

定義1：

定義2：

一般地，集合中的每個(gè)p是u在x0"斜率"（slope）的一個(gè)上界，集合中每個(gè)p是u在x0"斜率"（slope）的一個(gè)下界。

定義3：連續(xù)函數(shù)u是上面PDE的一個(gè)粘性上解（viscosity supersolution），如果滿足

定義4：連續(xù)函數(shù)u是上面PDE的一個(gè)粘性下解，如果滿足

定義5：連續(xù)函數(shù)u是PDE的一個(gè)粘性解如果它既是粘性上解又是粘性下解。