復(fù)球面

定義

復(fù)數(shù)還有一種幾何表示法，它是借用地圖制圖學(xué)中將地球投影到平面上的測(cè)地投影法，建立復(fù)平面與球面上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)，著重說(shuō)明引入無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的合理性。

取一個(gè)在原點(diǎn)O與z平面相切的球面，通過(guò)O點(diǎn)作一垂直于z平面的直線與球面交于N點(diǎn)，稱為北極，O稱為南極，如圖1所示。用直線段將N與z平面上一點(diǎn)z相連，此線段交球面于一點(diǎn)P(z)，這樣就建立起球面上的點(diǎn)(不包括北極點(diǎn)N)與復(fù)平面上的點(diǎn)間的一一對(duì)應(yīng)。

考慮z平面上一個(gè)以原點(diǎn)為中心的圓周C，在球面上對(duì)應(yīng)的也是一個(gè)圓周(即是緯線)，當(dāng)圓周C的半徑越大時(shí)，圓周就越趨于北極N。因此北極N可以看成是與z平面上的一個(gè)模為無(wú)窮大的假想點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，這個(gè)假想點(diǎn)稱為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)(infinite—point)，并記為．復(fù)平面加上點(diǎn)后稱為擴(kuò)充復(fù)平面(extended complex plane)，與它對(duì)應(yīng)的就是整個(gè)球面，稱為復(fù)球面(complexsphere)．簡(jiǎn)單說(shuō)來(lái)，擴(kuò)充復(fù)平面的一個(gè)幾何模型就是復(fù)球面。

關(guān)于新“數(shù)”還需作如下幾點(diǎn)規(guī)定：

(1)運(yùn)算無(wú)意義；

(2)時(shí)，；

(3)(但可為)時(shí)，；

(4)的實(shí)部、虛部及幅角都無(wú)意義；

(5)復(fù)平面上每一條直線都通過(guò)點(diǎn)．1

擴(kuò)充復(fù)平面上的幾個(gè)概念

(1)在擴(kuò)充復(fù)平面上，無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域應(yīng)理解為以原點(diǎn)為心的某圓周的外部，即的鄰域，是指適合于條件的點(diǎn)集．對(duì)比開集及邊界的定義，在擴(kuò)充復(fù)平面上，內(nèi)點(diǎn)和邊界點(diǎn)等概念均可以推廣到點(diǎn)．于是，復(fù)平面以為其唯一的邊界點(diǎn)；擴(kuò)充復(fù)平面以為內(nèi)點(diǎn)，且它是唯一的無(wú)邊界的區(qū)域．

(2)單連通的概念也可推廣到擴(kuò)充復(fù)平面上的區(qū)域上．對(duì)擴(kuò)充復(fù)平面上的區(qū)域D，關(guān)于單連通的概念可不加更改地移到這里來(lái)。但要注意，D內(nèi)的簡(jiǎn)單閉曲線在D內(nèi)連續(xù)收縮于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)既可能是有限點(diǎn)，也可能是點(diǎn)；而所謂r能連續(xù)收縮到點(diǎn)，實(shí)際上就是，逐漸擴(kuò)大而最后落入點(diǎn)的任意小的鄰域中，亦即落入以原點(diǎn)為中心，任意大為半徑的圓周外部。

初看起來(lái)，這種收縮于點(diǎn)的說(shuō)法好像很不自然，它與收縮于一有限點(diǎn)似乎極不相似，但如果放在復(fù)球面上來(lái)考慮，問(wèn)題就很清楚了；所謂在擴(kuò)充復(fù)平面上，收縮于一點(diǎn)，也就是它在復(fù)球面上的對(duì)應(yīng)曲線收縮于在復(fù)球面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；也可能是北極點(diǎn)(對(duì)應(yīng)于)，也可能不是北極點(diǎn)(對(duì)應(yīng)于)。這樣就可立刻看出，這兩種情況算沒(méi)有本質(zhì)的區(qū)別。

注意，在擴(kuò)充復(fù)平面上，一個(gè)圓周的外部(這里把算作這個(gè)區(qū)域的內(nèi)點(diǎn))就是一個(gè)單連通區(qū)域。所以，一個(gè)無(wú)界區(qū)域，考慮它是否單連通，首先要考慮是在通常的復(fù)平面上還是在擴(kuò)充復(fù)平面上講的(當(dāng)在擴(kuò)充復(fù)平面上時(shí)，還要問(wèn)是否算在這個(gè)區(qū)域內(nèi))。

如在無(wú)界區(qū)域的邊界上，也就是區(qū)域的邊界曲線延伸到，則不論在通常復(fù)平面上，還是在擴(kuò)充復(fù)平面上，區(qū)域是否為單連通必定是一致的。

(3)在擴(kuò)充復(fù)平面上，點(diǎn)可以包含在函數(shù)的定義域中，函數(shù)值也可取到。因此，極限及連續(xù)性的概念也可以有所推廣。在關(guān)系式

中，如果及之一或者它們同時(shí)取，就稱為廣義連續(xù)的。在這種廣義的意義下，連續(xù)性的說(shuō)法要相應(yīng)修改。例如，在時(shí)，在連續(xù)的說(shuō)法應(yīng)該修改為：任給，存在，只要時(shí)，就有