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簡(jiǎn)介

格拉曉夫數(shù)（Gr）是流體動(dòng)力學(xué)和熱傳遞中的無(wú)量綱數(shù)，其近似于作用在流體上的浮力與粘性力的比率。在研究涉及自然對(duì)流的情況下經(jīng)常出現(xiàn)，類(lèi)似于雷諾數(shù)。它被認(rèn)為是以弗朗茨·格拉斯霍夫（Franz Grashof）命名的。雖然這個(gè)術(shù)語(yǔ)組合已經(jīng)被使用，但直到1921年，F(xiàn)ranz Grashof去世后的28年，才被命名。格拉曉夫數(shù)（又稱升浮力數(shù)或格拉霍夫準(zhǔn)數(shù)）。1

其公式為： $G_r%3D%5Cfrac%7Bg%5Calpha_v%5CDelta%20tL%5E3%7D%7Bv%5E2%7D$

其中是體積變化系數(shù)，對(duì)于理想氣體即等于絕對(duì)溫度的倒數(shù)，g是重力加速度，L是特征尺度，Δt為溫差，分母是運(yùn)動(dòng)黏度的平方。

推導(dǎo)

推導(dǎo)格拉曉夫數(shù)的第一步是對(duì)體積展開(kāi)系數(shù)進(jìn)行如下操作：2

$%5Cbeta%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bv%7D%5Cleft%28%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20T%7D%5Cright%29_p%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Crho%7D%5Cleft%28%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Crho%7D%7B%5Cpartial%20T%7D%5Cright%29_p$ 應(yīng)該注意的是，上述等式中的v表示特定的體積，與此推導(dǎo)的后續(xù)部分中的 v不同，后者將表示速度。體積膨脹系數(shù)的關(guān)于流體密度的部分關(guān)系，給定恒壓，可以重寫(xiě)為

其中，是體積流體密度；是邊界層密度。

，表示邊界層與散裝液體之間的溫差。

從這里可以找到格拉曉夫數(shù)的兩種不同的方式。一個(gè)涉及能量方程，而另一個(gè)包含由于邊界層和體液之間的密度差而引起的浮力。

能量方程

涉及能量方程的這個(gè)討論是關(guān)于旋轉(zhuǎn)對(duì)稱流動(dòng)的。該分析將考慮重力加速度對(duì)流動(dòng)和熱傳遞的影響。要遵循的數(shù)學(xué)方程既適用于旋轉(zhuǎn)對(duì)稱流動(dòng)又適用于二維平面流動(dòng)。

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Cleft%28%5Crho%20ur%5En_0%5Cright%29%7D%7B%5Cpartial%20s%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Cleft%28%5Crho%20vr%5En_0%5Cright%29%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%3D0$ 其中，

s是旋轉(zhuǎn)方向，即平行于表面的方向

u是切向速度，即平行于表面的速度

y是平面方向，即垂直于表面的方向

v是正常速度，即垂直于表面的速度

是半徑。

在該方程中，上標(biāo)n是區(qū)分來(lái)自平面流的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱流。這個(gè)方程的以下特征成立。

n = 1：旋轉(zhuǎn)對(duì)稱流

n = 0：平面，二維流

g是重力加速度

隨著物理流體性質(zhì)的增加，該方程式擴(kuò)展到以下內(nèi)容：

$%5Crho%5Cleft%28u%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20s%7D%2Bv%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%5Cright%29%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Cleft%28u%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%5Cright%29%7D%7B%5Cpartial%20y%7D-%5Cfrac%7Bdp%7D%7Bds%7D%2B%5Crho%20g$ 從這里我們可以通過(guò)將體積流體速度設(shè)置為0（u = 0）來(lái)進(jìn)一步簡(jiǎn)化動(dòng)量方程。

$%5Cfrac%7Bdp%7D%7Bds%7D%3D%5Crho_0g$ 該關(guān)系表明壓力梯度僅僅是體積流體密度和重力加速度的乘積。下一步是將壓力梯度插入動(dòng)量方程。

$%5Crho%5Cleft%28u%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20s%7D%2Bv%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%5Cright%29%3D%5Cmu%5Cleft%28%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2u%7D%7B%5Cpartial%20y%5E2%7D%5Cright%29%2B%5Crho%20g%5Cbeta%5Cleft%28T-T_0%5Cright%29$

動(dòng)量方程的進(jìn)一步簡(jiǎn)化來(lái)自于體積膨脹系數(shù)，密度關(guān)系和運(yùn)動(dòng)粘度關(guān)系 $v%3D%5Cfrac%7B%5Cmu%7D%7B%5Crho%7D$ ，進(jìn)入動(dòng)量方程。

$u%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20s%7D%2Bv%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%3Dv%5Cleft%28%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2u%7D%7B%5Cpartial%20y%5E2%7D%5Cright%29%2Bg%5Cbeta%5Cleft%28T-T_0%5Cright%29$ 從這一點(diǎn)來(lái)找到格拉曉夫數(shù)，前面的方程必須是非維數(shù)的。這意味著方程式中的每個(gè)變量都應(yīng)該沒(méi)有維度，而應(yīng)該是與幾何形狀和問(wèn)題設(shè)置的比率特征。這是通過(guò)將每個(gè)變量除以相應(yīng)的恒定量來(lái)完成的。長(zhǎng)度除以特征長(zhǎng)度。速度被適當(dāng)?shù)膮⒖妓俣?V除以，考慮到雷諾數(shù)，給出 $V%3D%5Cfrac%7BRe_Lv%7D%7BL_c%7D$ 。溫度除以相應(yīng)的溫差()。這些無(wú)量綱參數(shù)如下所示：

$s%5E%7B%5Cast%7D%3D%5Cfrac%7Bs%7D%7BL_c%7D$

$y%5E%7B%5Cast%7D%3D%5Cfrac%7By%7D%7BL_c%7D$

$u%5E%7B%5Cast%7D%3D%5Cfrac%7Bu%7D%7BV%7D$

$v%5E%7B%5Cast%7D%3D%5Cfrac%7Bv%7D%7BV%7D$

$T%5E%7B%5Cast%7D%3D%5Cfrac%7BT-T_0%7D%7BT_S-T_0%7D$

表示無(wú)量綱參數(shù)。將這些無(wú)量綱方程與動(dòng)量方程組合得出以下簡(jiǎn)化方程：

$u%5E%7B%5Cast%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%5E%7B%5Cast%7D%7D%7B%5Cpartial%20s%5E%7B%5Cast%7D%7D%2Bv%5E%7B%5Cast%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%5E%7B%5Cast%7D%7D%7B%5Cpartial%20y%5E%7B%5Cast%7D%7D%3D%5Cleft%5B%5Cfrac%7Bg%5Cbeta%5Cleft%28T_S-T_0%5Cright%29L%5E3_c%7D%7Bv%5E2%7D%5Cright%5D%5Cfrac%7BT%5E%7B%5Cast%7D%7D%7BRe%5E2_L%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7BRe_L%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2u%5E%7B%5Cast%7D%7D%7B%5Cpartial%20y%5E%7B%5Cast2%7D%7D$

其中，

是表面溫度

是體積流體溫度

是特征長(zhǎng)度

上述方程中括號(hào)中的無(wú)量綱參數(shù)稱為格拉曉夫數(shù):

$G_r%3D%5Cfrac%7Bg%5Cbeta%5Cleft%28T_s-T_0%5Cright%29L%5E3_c%7D%7Bv%5E2%7D$

白金漢姆定理

將導(dǎo)致格拉曉夫數(shù)的另一種形式的維度分析稱為白金漢姆定理。由于邊界層和體積流體中的密度差異，該方法考慮了每單位體積的浮力力。3

通過(guò)整理該方程式得出：

參考白金漢姆定理，有9 - 5 = 4個(gè)無(wú)量綱的群體。選擇L，，k，g和作為參考變量。因此，得到如下方程：

$%5Cpi_1%3D%5Cfrac%7B%5Cmu%5Cleft%28c_p%5Cright%29%7D%7Bk%7D%3DPr$

$%5Cpi_2%3D%5Cfrac%7Bl%5E3g%5Crho%5E2%7D%7B%5Cmu%5E2%7D$

$%5Cpi_4%3D%5Cfrac%7BhL%7D%7Bk%7D%3DNu$

通過(guò)和，我們得到格拉曉夫數(shù)：

$G_r%3D%5Cfrac%7B%5Crho%20g%5CDelta%20TL%5E3%7D%7Bv%5E2%7D$ 在強(qiáng)制對(duì)流中，雷諾數(shù)控制流體流動(dòng)。但是，在自然對(duì)流中，格拉曉夫數(shù)是控制流體流動(dòng)的無(wú)量綱參數(shù)。使用能量方程和浮力與尺寸分析相結(jié)合，提供了兩種不同的方法來(lái)推導(dǎo)格拉曉夫數(shù)。