離散量

與連續(xù)量對(duì)應(yīng)的離散量

基本介紹

可以說“這個(gè)筐里有多少個(gè)蘋果”，而不能說“這個(gè)桶里有多少個(gè)水”，對(duì)于水只能說多少而不能說多少個(gè)。這樣，多少個(gè)和多少之間就有了明顯的區(qū)別。

蘋果是一個(gè)個(gè)分離、獨(dú)立存在的，像這類東西(數(shù)學(xué)上稱作集)在數(shù)數(shù)目的時(shí)候，回答是多少個(gè)，這類東西就稱作離散量。例如，人群、鳥群、棍子捆，全都是離散量，因?yàn)檫@些都是一個(gè)個(gè)相互分離的。在數(shù)離散量時(shí)總是說1，2，3，…，稱為自然數(shù)或正整數(shù)。

與數(shù)多少個(gè)的離散量相比較，像測(cè)量水有多少這樣的量就稱作連續(xù)量。因?yàn)橥袄锏乃皇且粋€(gè)個(gè)分離的，而是連續(xù)變化的。

水無論分到多么細(xì)小也是水，是不會(huì)變的。還有，當(dāng)把兩個(gè)桶里的水倒在一起，仍然是連續(xù)的水，看不到有接縫的地方。

像這樣能夠自由地分開和結(jié)合的東西就稱為連續(xù)量。然而，離散量和連續(xù)量的區(qū)別也并不是絕對(duì)的。例如，我們說多少米的布料是連續(xù)量，但若將其縫制成人們所穿的西裝，就必須考慮它已成為離散量了。另外，俄國(guó)有一個(gè)故事說；“有位老奶奶要給三個(gè)孫子分吃兩個(gè)土豆，因?yàn)椴缓梅指?，就把土豆做成了湯，分給三個(gè)孫子喝了?！崩夏棠淌前央x散量的土豆，變成了連續(xù)量的土豆湯，從而解決了難題。在人類靠摘取樹木的果實(shí)和獵取野獸來維持生活的時(shí)候，只數(shù)離散量就足夠了，不會(huì)產(chǎn)生什么差錯(cuò)。在數(shù)樹木的果實(shí)和野獸這樣的離散量時(shí)，就說1，2，3，…自然數(shù)就行了。后來隨著農(nóng)業(yè)和畜牧業(yè)的發(fā)展，集體活動(dòng)和集體生活的興盛，就有了考慮連續(xù)量的要求了。假定有10個(gè)人捕獲了7只鹿，當(dāng)需要把7只鹿的肉分成相等的10份的時(shí)候，或者需要用鹿肉去交換其他東西的時(shí)候，自然就產(chǎn)生了考慮分割連續(xù)量的問題了。另外，像谷物的量、田地的面積、道路的里程等都是需要知道的，而這些都是連續(xù)量1。

物理學(xué)中的連續(xù)量和離散量

連續(xù)量通常稱做模擬量，它在時(shí)間上和數(shù)量上是連續(xù)的物理量。如溫度計(jì)用水銀長(zhǎng)度來表示溫度高低。其特點(diǎn)是數(shù)值由連續(xù)量表示，其運(yùn)算過程也是連續(xù)的。如《溫度變化的連續(xù)量曲線圖》所示。

離散量又稱數(shù)字量，它是將模擬量離散化之后得到的物理量。即任何儀器設(shè)備對(duì)于模擬量都不可能有完全精確的表示，因?yàn)樗鼈兌加幸粋€(gè)采樣周期，在該采樣周期內(nèi)，其物理量的數(shù)值都是不變的，而實(shí)際上的模擬量則是變化的。這樣就將模擬量離散化，從而成為離散量。如一天中以每小時(shí)為單位測(cè)量一次溫度的值，則得到24h內(nèi)離散的時(shí)間點(diǎn)上的溫度值，如《溫度變化的離散量曲線圖》所示2。

描述離散趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量

盡管集中量可以很好地描述一組數(shù)據(jù)的特征，但僅用這些統(tǒng)計(jì)量還是不夠的。還需要考慮數(shù)據(jù)的分散情況。有時(shí)，兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)可能完全相同，但這兩組數(shù)據(jù)之間會(huì)存在著很大的區(qū)別。請(qǐng)看下面兩組數(shù)據(jù)：

A組：79 79 79 80 81 81 81

B組：50 60 70 80 90 100 110

這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)均為80，但不能據(jù)此就簡(jiǎn)單認(rèn)為這兩組學(xué)生的水平是一樣的。A組數(shù)據(jù)與B組數(shù)據(jù)之間顯然是有區(qū)別的。首先，A組中的數(shù)據(jù)相對(duì)比較集中，每個(gè)數(shù)據(jù)的值與平均數(shù)80相差無幾；而B組中的數(shù)據(jù)相對(duì)分散一些，參差不齊，它反映了數(shù)據(jù)分布的另一個(gè)重要特征——變異性(variability)。描述數(shù)據(jù)離散趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量稱為離散量(measures of dispersion)，或稱差異量。

集中量描述了一組數(shù)據(jù)的典型情況，離散量則反映了數(shù)據(jù)的特殊情況。在研究一組數(shù)據(jù)的特征時(shí)，不但要了解其典型情況，而且還要了解其特殊情況，前面的例子中A組數(shù)據(jù)和B組數(shù)據(jù)的集中量相同，但其離散量肯定是不同的，只有同時(shí)了解了這兩組數(shù)據(jù)的集中量和離散量，才能更為透徹地了解這兩組數(shù)據(jù)之間的差別。常用的表示數(shù)據(jù)離散趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)有全距、四分位區(qū)間距、平均差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差3。

全距

全距是說明數(shù)據(jù)離散程度的最簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)量。把一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，用最高分減去最低分，所得的值就是全距，即最高分和最低分之問的距離。上面A組數(shù)據(jù)的全距為 ；B組數(shù)據(jù)的全距為 。全距小，說明數(shù)據(jù)的分布相對(duì)集中；全距大，說明數(shù)據(jù)的分布較為分散。全距的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算方法簡(jiǎn)單，而且也容易理解。缺點(diǎn)是由于它只考慮到兩端的數(shù)值，沒有考慮中間數(shù)值的差異情況，描述數(shù)據(jù)時(shí)不太穩(wěn)定。

四分位區(qū)間距

中位數(shù)可以用來表示一組數(shù)據(jù)分布的集中趨勢(shì)。中位數(shù)正好把一組數(shù)據(jù)一分為二。如果把中位數(shù)左側(cè)和右側(cè)的分布再各分成兩個(gè)部分，得到的是四個(gè)相等的分位。這組數(shù)據(jù)的第一個(gè)四分位(即25%的位置)的值正好處于數(shù)據(jù)分布的四分之一處，中位數(shù)正好是第二個(gè)四分位的值，第三個(gè)四分位的值剛好位于該組數(shù)據(jù)分布的四分之三處。把第三個(gè)四分位的值減去第一個(gè)四分位的值，所得到的值叫做四分位區(qū)間距(inter-quartile range，IQR)，統(tǒng)計(jì)學(xué)上也用這種方法來表示數(shù)據(jù)的離散情況。如上面A組數(shù)據(jù)的四分位區(qū)間距為 ；B組數(shù)據(jù)的四分位區(qū)間距為 。除了四分位區(qū)間距，統(tǒng)計(jì)學(xué)上還有十分位區(qū)間距和百分位區(qū)間距，它們的區(qū)分方法相同，十分位則將數(shù)據(jù)由大到小或由小到大排序后，用9個(gè)點(diǎn)將全部數(shù)據(jù)分為十等份，與9個(gè)點(diǎn)位置上相對(duì)應(yīng)的變量稱為十分位數(shù)(deciles)，分別記為 ，表示10%的數(shù)據(jù)落在D1下，20%的數(shù)據(jù)落在D2下……100%的數(shù)據(jù)落在D9下。百分位區(qū)間距與十分位區(qū)間距同例，只是將數(shù)據(jù)分成100等份，于99個(gè)分割點(diǎn)位置上相對(duì)應(yīng)的變量稱為百分位數(shù)(Percentiles)，分別記為P1，P2，…，P99，表示1%的數(shù)據(jù)落在P1下……99%的數(shù)據(jù)落在P99下3。

平均差

與全距相比，四分位區(qū)間距在表述數(shù)據(jù)的離散情況時(shí)稍微好一些，但由于它沒有把所有的數(shù)據(jù)都考慮在內(nèi)，其穩(wěn)定性會(huì)差一些。比如說，我們得到兩組數(shù)據(jù)，這兩組數(shù)據(jù)的值并不完全一樣，但最后得到的四分位區(qū)間距的值則可能完全一致，這便是用四分位區(qū)問距來表示數(shù)據(jù)分布的不足之處。理想的辦法是把全部數(shù)據(jù)都考慮在內(nèi)來計(jì)算分布程度。理由很簡(jiǎn)單：平均數(shù)代表一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，我們把一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)相比較就可以得知每個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)偏離的程度，或者說與平均數(shù)差異的情況。如果把這組數(shù)據(jù)中每個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)差異的情況相加起來，那么所有數(shù)據(jù)的差異情況便一目了然。把這個(gè)值除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，所得的值叫做平均差。其計(jì)算公式為：

平均差=

其中，=每個(gè)數(shù)據(jù)的值；

=總體平均數(shù)；

=觀測(cè)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。

從上式可知，平均差是數(shù)據(jù)分布中所有原始數(shù)據(jù)與平均數(shù)距離的絕對(duì)值的平均。用絕對(duì)值是為了不出現(xiàn)負(fù)數(shù)。由于平均差是根據(jù)分布中每一個(gè)觀測(cè)值計(jì)算求得的，它較好地代表了數(shù)據(jù)分布的離散程度。然而，由于平均差的計(jì)算要求絕對(duì)值，不利于進(jìn)一步的統(tǒng)計(jì)分析，故在統(tǒng)計(jì)實(shí)踐中平均差不常使用。

方差與標(biāo)準(zhǔn)差

根據(jù)上面的公式，如果不求每個(gè)原始數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的絕對(duì)

平均值，而是求它們之間的平方，這樣就不會(huì)有負(fù)數(shù)出現(xiàn)了。然后再把每個(gè)原始數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方的值加起來，得到的是每個(gè)原始數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方和：。用這個(gè)平方和再除以所觀測(cè)到的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，得到的值被稱作方差。用公式表示為：

由于方差的值相對(duì)來說比較大，一般情況下人們使用標(biāo)準(zhǔn)差來代表數(shù)據(jù)的離散程度。標(biāo)準(zhǔn)差就是方差的平方根，其計(jì)算公式為：

標(biāo)準(zhǔn)差與方差的概念易于理解，它們實(shí)際上都是一個(gè)差異量數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)差的平方就是方差，或方差的平方根就等于標(biāo)準(zhǔn)差，二者都反映了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)分布的情況。標(biāo)準(zhǔn)差的值越大，表明這組數(shù)據(jù)的離散程度也越大，即數(shù)據(jù)越參差不齊，分布范圍越廣；標(biāo)準(zhǔn)差的值越小，表明這組數(shù)據(jù)的離散程度越小，即數(shù)據(jù)越集中、整齊，分布范圍越小。當(dāng)數(shù)據(jù)完全沒有差異時(shí)，所有數(shù)值都與平均數(shù)相等，這時(shí)標(biāo)準(zhǔn)差或方差等于零。

有一點(diǎn)需要說明：在上述公式中我們用N作為除數(shù)，所得結(jié)果并不是十分準(zhǔn)確的。這是因?yàn)樵谝话闱闆r下，總體參數(shù)是未知的，只能用樣本統(tǒng)計(jì)量作估計(jì)值，譬如用樣本標(biāo)準(zhǔn)差(S)作為總體標(biāo)準(zhǔn)差()的估計(jì)值?？梢宰C明，在公式中用N作為除數(shù)時(shí)(尤其是當(dāng)N很小時(shí))，所得出的作為總體標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值的樣本標(biāo)準(zhǔn)差是有偏差的，而作除數(shù)時(shí)，所得標(biāo)準(zhǔn)差則是無偏差的。因此，比較穩(wěn)妥的做法是用作除數(shù)。當(dāng)然，當(dāng)N比較大時(shí)，用N或作除數(shù)，所得結(jié)果差別不大3。