中值定理

定義

函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)是兩個(gè)不同的函數(shù)；而導(dǎo)數(shù)只是反映函數(shù)在一點(diǎn)的局部特征；如果要了解函數(shù)在其定義域上的整體性態(tài)，就需要在導(dǎo)數(shù)及函數(shù)間建立起聯(lián)系，微分中值定理就是這種作用。微分中值定理，包括羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理。是溝通導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)值之間的橋梁，是利用導(dǎo)數(shù)的局部性質(zhì)推斷函數(shù)的整體性質(zhì)的工具。以羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理組成的一組中值定理是一整個(gè)微分學(xué)的理論基礎(chǔ)。拉格朗日中值定理，建立了函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值之間的定量聯(lián)系，因而可用中值定理通過導(dǎo)數(shù)去研究函數(shù)的性態(tài)；中值定理的主要作用在于理論分析和證明；同時(shí)由柯西中值定理還可導(dǎo)出一個(gè)求極限的洛必達(dá)法則。中值定理的應(yīng)用主要是以中值定理為基礎(chǔ)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)上升，下降，取極值，凹形，凸形和拐點(diǎn)等項(xiàng)的重要性態(tài)。從而能把握住函數(shù)圖象的各種幾何特征。在極值問題上也有重要的實(shí)際應(yīng)用。1

實(shí)際應(yīng)用

微積分是與實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系著發(fā)展起來的，它在天文學(xué)、力學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)、社會科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)等多個(gè)分支中，有越來越廣泛的應(yīng)用。特別是計(jì)算機(jī)的發(fā)明更有助于這些應(yīng)用的不斷發(fā)展。

客觀世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始終都在運(yùn)動和變化著。因此在數(shù)學(xué)中引入了變量的概念后，就有可能把運(yùn)動現(xiàn)象用數(shù)學(xué)來加以描述了。

由于函數(shù)概念的產(chǎn)生和運(yùn)用的加深，也由于科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要，一門新的數(shù)學(xué)分支就繼解析幾何之后產(chǎn)生了，這就是微積分學(xué)。微積分學(xué)這門學(xué)科在數(shù)學(xué)發(fā)展中的地位是十分重要的，可以說它是繼歐氏幾何后，全部數(shù)學(xué)中的最大的一個(gè)創(chuàng)造。

相關(guān)概念

微分學(xué)

微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱。它是一種數(shù)學(xué)思想，‘無限細(xì)分’就是微分，‘無限求和’就是積分。十七世紀(jì)后半葉，牛頓和萊布尼茨完成了許多數(shù)學(xué)家都參加過準(zhǔn)備的工作，分別獨(dú)立地建立了微積分學(xué)。他們建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無窮小量，但是理論基礎(chǔ)是不牢固的。因?yàn)椤盁o限”的概念是無法用已經(jīng)擁有的代數(shù)公式進(jìn)行演算，所以，直到十九世紀(jì)，柯西和維爾斯特拉斯建立了極限理論，康托爾等建立了嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論，這門學(xué)科才得以嚴(yán)密化。

微積分學(xué)基本定理指出，求不定積分與求導(dǎo)函數(shù)互為逆運(yùn)算（把上下限代入不定積分即得到積分值，而微分則是導(dǎo)數(shù)值與自變量增量的乘積），這也是兩種理論被統(tǒng)一成微積分學(xué)的原因。

極限

學(xué)習(xí)微積分學(xué)，首要的一步就是要理解到，“極限”引入的必要性：因?yàn)?，代?shù)是人們已經(jīng)熟悉的概念，但是，代數(shù)無法處理“無限”的概念。所以為了要利用代數(shù)處理代表無限的量，于是精心構(gòu)造了“極限”的概念。在“極限”的定義中，繞過了用一個(gè)數(shù)除以0的麻煩，而引入了一個(gè)過程任意小量。就是說，除數(shù)不是零，所以有意義，同時(shí)，這個(gè)過程小量可以取任意小，只要滿足在Δ的區(qū)間內(nèi)，都小于該任意小量，我們就說他的極限為該數(shù)。

應(yīng)用

在一些等式的證明中，我們往往容易思維定式，只是對于原來的式子要從哪去證明，很不容易去聯(lián)系其它，只從式子本身所表達(dá)的意思去證明。已知有這樣一個(gè)推論，若函數(shù) 在區(qū)間I上可導(dǎo)，且連續(xù)，則 為I上的一個(gè)常量函數(shù)。它的幾何意義為：斜率處處為0的曲線一定是平行于x軸的直線。這個(gè)推論的證明應(yīng)用拉格朗日中值定理。

無窮?。ù螅┝侩A的比較時(shí)，看到兩個(gè)無窮?。ù螅┝恐鹊臉O限可能存在，也可能不存在。如果存在，其極限值也不盡相同。稱兩個(gè)無窮小量或兩個(gè)無窮大量之比的極限為 型或 型不定式極限。解決這種極限的問題通常要用到洛比達(dá)法則。這是法則的內(nèi)容，而在計(jì)算時(shí)往往都是直接的應(yīng)用結(jié)論，沒有注意到定理本身的證明，而這個(gè)定理的證明也應(yīng)用到了中值定理2。

在一元函數(shù)微分學(xué)中，微分中值定理是應(yīng)用函數(shù)的局部性質(zhì)研究函數(shù)在區(qū)間上整體性質(zhì)的重要工具，它在數(shù)學(xué)分析中占有重要的地位，其中拉格朗日中值定理是核心，羅爾定理是其特殊情況，柯西定理是其推廣。拉格朗日微分中值定理有許多推廣，這些推廣有一些基本的特點(diǎn)，這就是把定理?xiàng)l件中可微性概念拓寬，然后推廣微分中值表達(dá)公式。微分中值定理的應(yīng)用為數(shù)學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展提供了廣闊的天地。

類別

拉格朗日中值定理

中值定理是微積分學(xué)中的基本定理，由四部分組成。

內(nèi)容是說一段連續(xù)光滑曲線中必然有一點(diǎn)，它的斜率與整段曲線平均斜率相同（嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表達(dá)參見下文）。中值定理又稱為微分學(xué)基本定理，拉格朗日定理，拉格朗日中值定理，以及有限改變量定理等。

如果函數(shù) 滿足在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；在開區(qū)間(a,b）內(nèi)可導(dǎo)，那么在（a,b）內(nèi)至少有一點(diǎn) ，使等式 成立。

羅爾定理

如果函數(shù) 滿足在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)；在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即 ，那么在（a,b）內(nèi)至少有一點(diǎn) ，使得 ；

補(bǔ)充：幾何上，羅爾定理的條件表示，曲線弧 （方程為）是一條連續(xù)的曲線弧，除端點(diǎn)外處處有不垂直于 軸的切線，且兩端點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等。而定理結(jié)論表明，弧上至少有一點(diǎn) ，曲線在該點(diǎn)切線是水平的。

柯西中值定理

如果函數(shù) 及 滿足:

⑴在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

⑵在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)；

⑶對任一x屬于(a,b），F(xiàn)'(x)不等于0

那么在（a,b) 內(nèi)至少有一點(diǎn) ，使等式 成立。也叫Cauchy中值定理。

若令u=f(x),v=g(x），這個(gè)形式可理解為參數(shù)方程，而 則是連接參數(shù)曲線的端點(diǎn)斜率， 表示曲線上某點(diǎn)處的切線斜率，在定理的條件下，可理解如下：用參數(shù)方程表示的曲線上至少有一點(diǎn)，它的切線平行于兩端點(diǎn)所在的弦，這一點(diǎn)Lagrange也具有，但是Cauchy中值定理除了適用y=f(x）表示的曲線，還適用于參數(shù)方程表示的曲線。

當(dāng)柯西中值定理中的g(x)=x時(shí)，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。3

積分中值定理

f(x）在a到b上的積分等于 ），其中c滿足a<c<b.

如果函數(shù) f(x) 在積分區(qū)間[a, b]上連續(xù)，則在 [a, b]上至少存在一個(gè)點(diǎn) ξ，使下式成立

其中(a≤ξ≤b)。4

發(fā)展

17 世紀(jì)由牛頓和萊布尼茨創(chuàng)立的微積分 , 為數(shù)學(xué)的研究提供了強(qiáng)有力的工具。此后的大部分?jǐn)?shù)學(xué)家的注意力都被這有著無限發(fā)展前途的學(xué)科所吸引。從此有了數(shù)學(xué)家們對微積分的研究。在微積分建立之前，人們就開始對微分中值定理進(jìn)行了研究。6

早在 1637 年 ,法國著名數(shù)學(xué)家 Fermat 在一文《求最大值和最小值的方法》中首次給出了費(fèi)馬定理。6

在 1691 年，法國著名數(shù)學(xué)家 Rolle 在一文《方程的解法》中首次給出了多項(xiàng)式形式的羅爾中值定理。6

在 1797 年 , 法國偉大的數(shù)學(xué)家 Lagrange 在一書《解析函數(shù)論》中首次給出了拉格朗日中值定理 , 并給出了其原始的證明。6

但真正意義上系統(tǒng)研究微分中值定理的是法國偉大的數(shù)學(xué)家 Cauchy,他給出了數(shù)學(xué)分析理論的嚴(yán)格化 , 他的三部曠世巨著《分析教程》,《無窮小計(jì)算教程概論》(1823 年 ),《微分計(jì)算教程》(1829 年 ), 進(jìn)行了嚴(yán)格化定義 , 重構(gòu)了微積分理論。他首先闡述了微分中值定理的重要作用 ,使其成為微分學(xué)的核心定理。6

在《無窮小計(jì)算教程概論》一文中 ,Cauchy 首先對拉格朗日定理進(jìn)行了嚴(yán)格的證明 , 又在《微分計(jì)算教程》一文中將拉格朗日定理推廣為柯西中值定理。因此發(fā)現(xiàn)了最后一個(gè)漂亮的微分中值定理。6

羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理在邏輯上是等價(jià)的。但在形式上，拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理都是羅爾定理的推廣，柯西中值定理和泰勒中值定理同時(shí)也是拉格朗日中值定理的推廣。羅爾定理就是導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)定理。這些中值定理中，以羅爾定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理出現(xiàn)數(shù)學(xué)考題最多。5