戴維南定理

簡介

戴維南定理（又譯為戴維寧定理）又稱等效電壓源定律，是由法國科學家萊昂·夏爾·戴維南于1883年提出的一個電學定理。由于早在1853年，亥姆霍茲也提出過本定理，所以又稱亥姆霍茲-戴維南定理。其內容是：一個含有獨立電壓源、獨立電流源及電阻的線性網絡的兩端，就其外部型態(tài)而言，在電性上可以用一個獨立電壓源V和一個松弛二端網絡的串聯(lián)電阻組合來等效。在單頻交流系統(tǒng)中，此定理不僅只適用于電阻，也適用于廣義的阻抗。戴維南定理在多電源多回路的復雜直流電路分析中有重要應用。

對于含獨立源，線性電阻和線性受控源的單口網絡（二端網絡），都可以用一個電壓源與電阻相串聯(lián)的單口網絡（二端網絡）來等效，這個電壓源的電壓，就是此單口網絡（二端網絡）的開路電壓，這個串聯(lián)電阻就是從此單口網絡（二端網絡）兩端看進去，當網絡內部所有獨立源均置零以后的等效電阻。

uoc 稱為開路電壓。Ro稱為戴維南等效電阻。在電子電路中，當單口網絡視為電源時，常稱此電阻為輸出電阻，常用Ro表示；當單口網絡視為負載時，則稱之為輸入電阻，并常用Ri表示。電壓源uoc和電阻Ro的串聯(lián)單口網絡，常稱為戴維南等效電路。

當單口網絡的端口電壓和電流采用關聯(lián)參考方向時，其端口電壓電流關系方程可表為：u=R0i+uoc2

戴維南定理和諾頓定理是最常用的電路簡化方法。由于戴維南定理和諾頓定理都是將有源二端網絡等效為電源支路，所以統(tǒng)稱為等效電源定理或等效發(fā)電機定理。

當研究復雜電路中的某一條支路時，利用電工學中的支路電流法、節(jié)點電壓法等方法很不方便，此時用戴維

南定理來求解某一支路中的電流和電壓是很適合的。

證明

戴維南定理可以在單口外加電流源i，用疊加定理計算端口電壓表達式的方法證明如下。

在單口網絡端口上外加電流源i，根據(jù)疊加定理，端口電壓可以分為兩部分組成。一部分由電流源單獨作用（單口內全部獨立電源置零）產生的電壓u’=Roi，另一部分是外加電流源置零（i=0），即單口網絡開路時，由單口網絡內部全部獨立電源共同作用產生的電壓u”=uoc。由此得到：

U=u’+u”=Roi + uoc

詳解

戴維南定理指出，等效二端網絡的電動勢E等于二端網絡開路時的電壓，它的串聯(lián)內阻抗等于網絡內部各獨立源和電容電壓、電感電流都為零時，從這二端看向網絡的阻抗Zi。設二端網絡N中含有獨立電源和線性時不變二端元件（電阻器、電感器、電容器），這些元件之間可以有耦合，即可以有受控源及互感耦合；網絡N的兩端ɑ、b接有負載阻抗Z（s），但負載與網絡N內部諸元件之間沒有耦合，U（s）=I（s）/Z（s）（圖1）。當網絡 N中所有獨立電源都不工作（例如將獨立電壓源用短路代替，獨立電流源用開路代替），所有電容電壓和電感電流的初始值都為零的時候，可把這二端網絡記作N0。這樣，負載阻抗Z（s）中的電流I（s）一般就可以按下式1計算（圖2）式中E（s）是圖1二端網絡N的開路電壓，亦即Z（s）是無窮大時的電壓U（s）；Zi（s）是二端網絡N0呈現(xiàn)的阻抗；s是由單邊拉普拉斯變換引進的復變量。

和戴維南定理類似，有諾頓定理或亥姆霍茲－諾頓定理。按照這一定理，任何含源線性時不變二端網絡均可等效為二端電流源，它的電流J等于在網絡二端短路線中流過的電流，并聯(lián)內阻抗同樣等于看向網絡的阻抗。這樣，圖1中的電流I（s）一般可按下式2計算（圖3）

式中J（s）是圖1二端網絡N的短路電流，亦即Z（s）等于零時的電流I（s）；Zi（s）及s的意義同前。

圖2、圖3虛線方框中的二端網絡，常分別稱作二端網絡N的戴維南等效電路和諾頓等效電路。

在正弦交流穩(wěn)態(tài)條件下，戴維南定理和諾頓定理可表述為：當二端網絡N接復阻抗Z時，Z中的電流相量I一般可按以下式3計算式中E、J分別是N的開路電壓相量和短路電流相量；Zi是No呈現(xiàn)的復阻抗；No是獨立電源不工作時的二端網絡N。

這個定理可推廣到含有線性時變元件的二端網絡。

注意事項

（1）戴維南定理只對外電路等效，對內電路不等效。也就是說，不可應用該定理求出等效電源電動勢和內阻之后，又返回來求原電路（即有源二端網絡內部電路）的電流和功率。

（2）應用戴維南定理進行分析和計算時，如果待求支路后的有源二端網絡仍為復雜電路，可再次運用戴維南定理，直至成為簡單電路。

（3）戴維南定理只適用于線性的有源二端網絡。如果有源二端網絡中含有非線性元件時，則不能應用戴維南定理求解。

（4）戴維南定理和諾頓定理的適當選取將會大大化簡電路。