悖論

定義

按《斯坦福哲學(xué)百科全書》“悖論”條目的定義，悖論通常是指這樣一種命題，按普遍認(rèn)可的邏輯推理方式，推導(dǎo)的結(jié)論超出“通?？山邮艿囊娊狻薄；蛘哒f結(jié)論是有矛盾的。

悖論是表面上同一命題或推理中隱含著兩個對立的結(jié)論，而這兩個結(jié)論都能自圓其說。悖論的抽象公式就是：如果事件A發(fā)生，則推導(dǎo)出非A，非A發(fā)生則推導(dǎo)出A。

悖論除了按上述的定義外，20世紀(jì)最有影響的美國哲學(xué)家、邏輯學(xué)家之一威拉德·范奧曼·蒯因（Willard Van Orman Quine）還區(qū)分出下面兩種情況：

謬誤悖論

謬誤悖論（falsidical paradox）：其推理過程是有謬誤的，但據(jù)此確立的命題不但似乎是荒謬的，而且確實(shí)是錯誤的，歸類于謬誤。

對于有些涉及無限的古典悖論，如芝諾悖論中的“阿基里斯悖論和飛矢不動悖論，盡管可以看出其謬誤（既：應(yīng)該用微積分來處理“無限”），但其邏輯推理方式在當(dāng)時是基本被認(rèn)可的，所以在當(dāng)時是可以稱為悖論。但是，微積分出現(xiàn)以后，可以看出芝諾悖論的推理中用有謬誤的推理過程，應(yīng)該歸類于謬誤。

真實(shí)性悖論

真實(shí)性悖論（veridical paradox）：是一個無矛盾的命題。其產(chǎn)生的結(jié)果看起來很荒謬，但事實(shí)證明是正確的。其推理過程和其結(jié)果都沒有問題，不是真正的悖論。如，希爾伯特旅館悖論。

悖論研究的意義和影響

在19世紀(jì)末至20世紀(jì)初，邏輯和數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)受到許多困難（所謂的悖論）的發(fā)現(xiàn)的影響，特別是經(jīng)典集合論中被發(fā)現(xiàn)有自相矛盾的現(xiàn)象，尤其是羅素悖論，以極為簡明的形式震撼了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，這就是“第三次數(shù)學(xué)危機(jī)”。這些難題涉及基本概念以及定義和推理的基本方法，這些以前通常被認(rèn)為是沒有問題的。

悖論在當(dāng)代邏輯中獲得了新的作用，它們導(dǎo)致了新定理的發(fā)現(xiàn)（通常是負(fù)面的結(jié)果，例如不可證明性和不可判定性）。邏輯的幾個基本概念發(fā)展過程，之所以已經(jīng)到了目前的狀態(tài)，通常是得益于解決悖論的各種嘗試。對于集合（set）和類（collection）的概念，標(biāo)準(zhǔn)古典邏輯的基本句法和語義概念（給定順序的邏輯語言，可滿足性，可定義性的概念）出現(xiàn)而言，尤其如此。

研究悖論解決方案的副產(chǎn)品包括：集合論的公理化，類型論的系統(tǒng)發(fā)展，語義學(xué)的基礎(chǔ)，形式系統(tǒng)的理論。

悖論類型

古今中外有不少著名的悖論，它們震撼了邏輯和數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，激發(fā)了人們求知和精密的思考，吸引了古往今來許多思想家和愛好者的注意力。解決悖論難題需要創(chuàng)造性的思考，悖論的解決又往往可以給人帶來全新的觀念。根據(jù)悖論形成的原因，把它歸納為六種類型，所記都是流傳很廣的常見悖論。隨著現(xiàn)代數(shù)學(xué)、邏輯學(xué)、物理學(xué)和天文學(xué)的快速發(fā)展，又有不少新的悖論大量涌現(xiàn)，人們在孜孜不倦地探索，預(yù)計他們的成果將極大地改變我們的思維觀念。

自指類悖論

以下諸例都存在著一個概念自指或自相關(guān)的問題：如果從肯定命題入手，就會得到它的否定命題；如果從否定命題入手，就會得到它的肯定命題。由概念自指引發(fā)的悖論和引進(jìn)無限帶來的悖論。

自指類悖論例子都說明，在邏輯上它們都無法擺脫概念自指所帶來的惡性循環(huán)。針對這種惡性循環(huán)，羅素提出了一種解決辦法，并稱之為惡性循環(huán)原則（Vicious-Circle Principle），其細(xì)節(jié)可參見百科惡性循環(huán)原則條目。

自指類悖論進(jìn)一步的解決方法可參見《斯坦福哲學(xué)百科全書》自指相關(guān)（Self-Reference）條目的第三章。

謊言者悖論

謊言者悖論又稱為說謊者悖論。公元前六世紀(jì)，哲學(xué)家克利特人艾皮米尼地斯（Epimenides）：“所有克利特人都說謊，他們中間的一個詩人這么說?！边@就是這個著名悖論的來源。

《圣經(jīng)》里曾經(jīng)提到：“有克利特人中的一個本地中先知說：‘克利特人常說謊話，乃是惡獸，又饞又懶’”（《提多書》第一章）。可見這個悖論很出名，但是保羅對于它的邏輯解答并沒有興趣。

我在說謊

如果他在說謊，那么“我在說謊”就是一個謊，因此他說的是實(shí)話；但是如果這是實(shí)話，他又在說謊。矛盾不可避免。它的一個翻版：

這句話是錯的

這句話是錯的如果是事實(shí)，那么這句話就是對的，但是它是對的，就與所說的這句話是錯的事實(shí)（開始設(shè)定的）不符。這句話是錯的如果是假的，那么這句話就是對的，但這句話如果是對的，那么假設(shè)的這句話是錯的假的結(jié)論就被推翻，也矛盾了。這類悖論的一個標(biāo)準(zhǔn)形式是：如果事件A發(fā)生，則推導(dǎo)出非A，非A發(fā)生則推導(dǎo)出A，這是一個自相矛盾的無限邏輯循環(huán)。

解悖研究

哲學(xué)家羅素曾經(jīng)認(rèn)真地思考過這個悖論，并試圖找到解決的辦法。他在《我的哲學(xué)的發(fā)展》第七章《數(shù)學(xué)原理》里說道：“自亞里士多德以來，無論哪一個學(xué)派的邏輯學(xué)家，從他們所公認(rèn)的前提中似乎都可以推出一些矛盾來。這表明有些東西是有毛病的，但是指不出糾正的方法是什么。在1903年的春季，其中一種矛盾的發(fā)現(xiàn)把我正在享受的那種邏輯蜜月打斷了?！?/p>

他說：謊言者悖論最簡單地勾畫出了他發(fā)現(xiàn)的那個矛盾：“那個說謊的人說：‘不論我說什么都是假的’。事實(shí)上，這就是他所說的一句話，但是這句話是指他所說的話的總體。只是把這句話包括在那個總體之中的時候才產(chǎn)生一個悖論?！保ㄍ希?/p>

羅素試圖用命題分層的辦法來解決：“第一級命題我們可以說就是不涉及命題總體的那些命題；第二級命題就是涉及第一級命題的總體的那些命題；其余仿此，以至無窮?！钡沁@一方法并沒有取得成效?！?903年和1904年這一整個時期，我差不多完全是致力于這一件事，但是毫不成功?！保ㄍ希?/p>

《數(shù)學(xué)原理》嘗試整個純粹的數(shù)學(xué)是在純邏輯的前提下推導(dǎo)出來的，并且使用邏輯術(shù)語說明概念，回避自然語言的歧意。但是他在書的序言里稱這是：“發(fā)表一本包含那么許多未曾解決的爭論的書?！笨梢姡瑥臄?shù)學(xué)基礎(chǔ)的邏輯上徹底地解決這個悖論并不容易。

接下來他指出，在一切邏輯的悖論里都有一種“反身的自指”，就是說，“它包含講那個總體的某種東西，而這種東西又是總體中的一份子。”這一觀點(diǎn)比較容易理解，如果這個悖論是克利特以外的什么人說的，悖論就會自動消除。但是在集合論里，問題并不這么簡單。

理發(fā)師悖論

在薩維爾村，理發(fā)師掛出一塊招牌：“我只給村里所有那些不給自己理發(fā)的人理發(fā)。”有人問他：“你給不給自己理發(fā)？”理發(fā)師頓時無言以對。

這是一個矛盾推理：如果理發(fā)師不給自己理發(fā)，他就屬于招牌上的那一類人。有言在先，他應(yīng)該給自己理發(fā)。反之，如果這個理發(fā)師給他自己理發(fā)，根據(jù)招牌所言，他只給村中不給自己理發(fā)的人理發(fā)，他不能給自己理發(fā)。

因此，無論這個理發(fā)師怎么回答，都不能排除內(nèi)在的矛盾。這是集合論悖論的通俗的、有故事情節(jié)的表述。顯然，這里也存在著一個不可排除的“自指”問題。

羅素悖論

命題“R是所有不包含自身的集合的集合”被稱為集合論悖論，這個悖論是羅素在1902年提出來的，所以又叫羅素悖論。

人們同樣會問：“R包含不包含R自身？”如果不包含，由R的定義，R應(yīng)屬于R。如果R包含自身的話，R又不屬于R。

繼羅素的集合論悖論發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)有問題以后，1931年歌德爾（Kurt Godel，1906—1978，捷克人）提出了一個“不完全定理”，打破了19世紀(jì)末數(shù)學(xué)家“所有的數(shù)學(xué)體系都可以由邏輯推導(dǎo)出來”的理想。這個定理指出：任何公設(shè)系統(tǒng)都不是完備的，其中必然存在著既不能被肯定也不能被否定的命題。例如，歐氏幾何中的“平行線公理”，對它的否定產(chǎn)生了幾種非歐幾何；羅素悖論也表明集合論公理體系不完備。

書目悖論

一個圖書館編纂了一本書名詞典，它列出且只列出這個圖書館里所有不列出自己書名的書。那么它列不列出自己的書名？

這個悖論與理發(fā)師悖論基本一致。

蘇格拉底悖論

有“西方孔子”之稱的雅典人蘇格拉底（Socrates，公元前470—前399）是古希臘的大哲學(xué)家，曾經(jīng)與普洛特哥拉斯、哥吉斯等著名詭辯家相對。他建立“定義”以對付詭辯派混淆的修辭，從而勘落了百家的雜說。但是他的道德觀念不為希臘人所容，竟在七十歲的時候被當(dāng)作詭辯雜說的代表。在普洛特哥拉斯被驅(qū)逐、書被焚十二年以后，蘇格拉底也被處以死刑，但是他的學(xué)說得到了柏拉圖和亞里士多德的繼承。

蘇格拉底有一句名言：“我只知道一件事，那就是什么都不知道?！?/p>

這是一個悖論，我們無法從這句話中推論出蘇格拉底是否對這件事本身也不知道。

言盡悖

“言盡悖”是《莊子·齊物論》里莊子說的。后期墨家反駁道：如果“言盡?！?，莊子的這個言難道就不悖嗎。

世界上沒有絕對的真理

我們常說：世界上沒有絕對的真理。我們不知道這句話本身是不是“絕對的真理”。

柏拉圖-蘇格拉底悖論

柏拉圖（Platon，Πλ?των，約前427年—前347年），古希臘偉大的哲學(xué)家，也是全部西方哲學(xué)乃至整個西方文化最偉大的哲學(xué)家和思想家之一，他和老師蘇格拉底，學(xué)生亞里士多德并稱為古希臘三大哲學(xué)家。

柏拉圖說：“蘇格拉底的下句話是錯誤的”。

蘇格拉底說：“柏拉圖說得對。”

不論你假定哪個句子是真的，另一個句子都會與之矛盾。兩個句子都不是自我詮釋，但作為一個整體，同樣構(gòu)成了說謊者悖論。

荒謬的真實(shí)

有字典給悖論下定義，說它是“荒謬的真實(shí)”，而這種矛盾修飾本身也是一種“壓縮的悖論”。悖論（paradox）來自希臘語“para+dokein”，意思是“多想一想”。

柯里悖論

對于這樣一個條件語句C：“若C，則F”，只需要一些顯然無害的邏輯推導(dǎo)規(guī)則，就可以推導(dǎo)出：僅從句子C的存在就證明了任意主張F(tuán)。由于F是任意的，因此遵循這些邏輯規(guī)則的任何邏輯系統(tǒng)都可以證明所有命題，這就引起矛盾， 違反了經(jīng)典邏輯的無矛盾律；因此，這是一個悖論?？吕镢Ｕ摚–urry's paradox）由美國數(shù)理邏輯學(xué)家哈斯凱爾·布魯克·柯里在1942年提出，并且以其命名。柯里悖論可以像羅素悖論一樣，以邏輯悖論的形式出現(xiàn)，但它也可以是類似于說謊者悖論的語義悖論的形式出現(xiàn)。

模糊類悖論

模糊類悖論的呈現(xiàn)依賴于用含混的概念進(jìn)行推理，所得到的的結(jié)論也是含混的，可以歸類于為推理謬誤，并不是真正的悖論，是屬于謬誤悖論（falsidical paradox）。

連鎖悖論

連鎖悖論（sorites paradox）是古希臘麥加拉學(xué)派歐布里德和阿萊克西努提出的一系列疑難中的一種。指一個微小量的連續(xù)相加或相減，最后達(dá)到一個不同質(zhì)的事物。這是由邏輯演繹與事實(shí)演變的差別而產(chǎn)生的形式思維矛盾。著名的例子有谷堆論證（也稱：谷堆悖論）和禿頭論證（也稱：禿頭悖論）。

谷堆論證：如果1粒谷子落地不能形成谷堆，2粒谷子落地不能形成谷堆，3粒谷子落地也不能形成谷堆，依此類推，無論多少粒谷子落地都不能形成谷堆。

由于多少粒谷子可被認(rèn)為是谷堆是含混的概念，并沒有一個絕對的標(biāo)準(zhǔn)。連鎖悖論的存在主要依賴于一些含混的概念。概念的含混性為連鎖悖論的出現(xiàn)創(chuàng)造了條件，引起推理謬誤，是屬于謬誤悖論（falsidical paradox）。

忒修斯之船悖論

見百科條目：忒修斯之船悖論。

無限類悖論

下面無限類悖論可區(qū)分為兩種類別：

• 謬誤悖論（falsidical paradox），是由于有謬誤的推理過程產(chǎn)生的，歸類于謬誤。這個類別包括下面的阿基里斯悖論，二分法悖論，飛矢不動悖論。如果，推理過程采用微積分來處理“無限”，則不會推導(dǎo)出矛盾的悖論結(jié)果。
• 無矛盾的命題，也被稱為真實(shí)性悖論（veridical paradox）：其產(chǎn)生的結(jié)果看起來很荒謬，其推理過程和其結(jié)果都沒有問題，是無矛盾的命題。這個類別包括下面的，“點(diǎn)一樣多”，和希爾伯特旅館悖論。

阿基里斯悖論

稍晚于畢達(dá)哥拉斯的古希臘數(shù)學(xué)家芝諾（Zeno of Elea），曾經(jīng)提出過一些著名的悖論，對以后數(shù)學(xué)、物理概念產(chǎn)生了重要影響，阿基里斯悖論是其中的一個。

阿基里斯（Achilles）是希臘神話中善跑的英雄。芝諾講：阿基里斯在賽跑中不可能追上起步稍微領(lǐng)先于他的烏龜，因?yàn)楫?dāng)他要到達(dá)烏龜出發(fā)的那一點(diǎn)，烏龜又向前爬動了。阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x可以無限地縮小，但永遠(yuǎn)追不上烏龜。

方勵之先生曾經(jīng)用物理語言描述過這個問題：在阿基里斯悖論中使用了兩種不同的時間度量。一般度量方法是：假設(shè)阿基里斯與烏龜在開始時的距離為S，速度分別為V1和V2。當(dāng)時間T=S/（V1－V2）時，阿基里斯就趕上了烏龜。

但是芝諾的測量方法不同：阿基里斯將逐次到達(dá)烏龜在前一次的出發(fā)點(diǎn)，這個時間為T'。對于任何T'，可能無限縮短，但阿基里斯永遠(yuǎn)在烏龜?shù)暮竺?。關(guān)鍵是這個T'無法度量T=S/（V1－V2）以后的時間。

二分法悖論

二分法悖論是芝諾提出的一個悖論：當(dāng)一個物體行進(jìn)一段距離到達(dá)D，它必須首先到達(dá)距離D的二分之一，然后是四分之一、八分之一、十六分之一、以至可以無窮地劃分下去。因此，這個物體永遠(yuǎn)也到達(dá)不了D。

這些結(jié)論在實(shí)踐中不存在，但是在邏輯上無可挑剔。

芝諾甚至認(rèn)為：“不可能有從一地到另一地的運(yùn)動，因?yàn)槿绻羞@樣的運(yùn)動，就會有‘完善的無限’，而這是不可能的。”如果阿基里斯事實(shí)上在T時追上了烏龜，那么，“這是一種不合邏輯的現(xiàn)象，因而決不是真理，而僅僅是一種欺騙”。這就是說感官是不可靠的，沒有邏輯可靠。

他認(rèn)為：“窮盡無限是絕對不可能的”。根據(jù)這個運(yùn)動理論，芝諾還提出了一個類似的運(yùn)動佯謬：

飛矢不動

飛矢不動是芝諾提出的一個悖論。在芝諾看來，由于飛箭在其飛行的每個瞬間都有一個瞬時的位置，它在這個位置上和不動沒有什么區(qū)別。那么，無限個靜止位置的總和就等于運(yùn)動了嗎？或者無限重復(fù)的靜止就是運(yùn)動？中國古代也有類似的說法，如：

這是《莊子·天下》中惠施的一句名言。二千多年前中國古人同樣運(yùn)用了無限的概念。

戰(zhàn)國名家宋國人惠施（約公元前370—前310）曾任梁國的宰相，論辯奇才，是莊子的朋友，和公孫龍并列為名家的代表人物。他的著作多已亡佚，只能從其他諸家的論述中看到他的言行片段。

惠施的學(xué)說強(qiáng)調(diào)萬物的共相，因而事物之間的差異只是一種相對的概念，現(xiàn)存與惠施有關(guān)的奇怪命題，例如，“山與澤平”、“卵有毛”、“雞三足”、“犬可以為牛”、“火不熱”、“矩不方”、“白狗黑”、“孤駒未嘗有母”等，都可以說是悖論，但是大部份沒有留下具體的爭辯過程。惠施的悖論在西方也很有影響。

毛澤東從辯證法的角度基本接受惠施無限可分的觀點(diǎn)。1964年8月18日，他同哲學(xué)工作者談話時說：“列寧講過，凡事可分。舉原子為例，不但原子可分，電子也可分?！庇终f：“電子本身到現(xiàn)在還沒有分裂，總有一天能分裂的?！怀咧?，日取其半，萬世不竭’，這是個真理。不信，就試試看。如果有竭就沒有科學(xué)了。”

有人注意到，毛澤東十分偏愛這句話，如50年代中期對核物理學(xué)家錢三強(qiáng)，1964年8月同周培源、于光遠(yuǎn)，1973年、1974年接見楊振寧、李政道，等等，都提到這句話。

點(diǎn)一樣多

點(diǎn)一樣多悖論：“1厘米線段內(nèi)的點(diǎn)與太平洋面上的點(diǎn)一樣多?！?/p>

多少哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家都唯恐陷入悖論而退避三舍。23歲獲博士學(xué)位的德國數(shù)學(xué)家康托爾（1845—1918）六年以后向無窮宣戰(zhàn)。他成功地證明了：一條直線上的點(diǎn)能夠和一個平面上的點(diǎn)一一對應(yīng)，也能和空間中的點(diǎn)一一對應(yīng)。由于無限，1厘米長的線段內(nèi)的點(diǎn)，與太平洋面上的點(diǎn)，以及整個地球內(nèi)部的點(diǎn)都“一樣多”。

然而，康托爾的“無窮集合”與傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)觀念發(fā)生沖突，遭到謾罵。直到1897年第一次國際數(shù)學(xué)家會議，他的成果才得到承認(rèn)，幾乎全部數(shù)學(xué)都以集合論為基礎(chǔ)。羅素稱贊他的工作“可能是這個時代所能夸耀的最巨大的工作”。

在康托爾的理論被認(rèn)可的基礎(chǔ)上，“1厘米線段內(nèi)的點(diǎn)與太平洋面上的點(diǎn)一樣多”的命題不再是悖論，而是一個無矛盾的命題，也被稱為真實(shí)性悖論（veridical paradox）。

希爾伯特旅館悖論

見百科條目：希爾伯特旅館悖論。這實(shí)際是一個無矛盾的命題，也被稱為真實(shí)性悖論（veridical paradox）。