中線定理

定理簡介

中線定理（pappus定理），又稱重心定理，是歐氏幾何的定理，表述三角形三邊和中線長度關系。2

定理內(nèi)容：三角形一條中線兩側(cè)所對邊平方的和等于底邊一半的平方加上這條中線的平方的和的2倍。

即，對任意三角形△ABC，設是I線段BC的中點，AI為中線，則有如下關系：

AB2+AC2=2BI2+2AI2

或作AB2+AC2=（1/2）BC2+2AI2

古希臘幾何學家、天文學家阿波羅尼(奧)斯 (P．Apollonius，公元前 262一前 190)是歐幾里得 (Euclid，公元前330～前275)的門徒，他對幾何學的醒目貢獻是把歐幾里得的《圓錐曲線》完善為新專著《圓錐曲線論》；他提出的“中線定理”， 迄今也有實用價值。4

證明

中線定理即為斯圖爾特定理在中點時的結(jié)論，可由斯臺沃特定理直接得出，但是斯臺沃特定理不容易理解。下面有四種比較容易理解的方法。

第一種

如圖1，在△ ABC中，AI為BC邊上的中線。求證：AB2+AC2=(BC)2+2AI2

以BC的中點I為原點，直線BC為x軸，射線IC方向為x軸正方向，建立如圖1所示的平面直角坐標系。設A點坐標為（m，n），B點坐標為（-a，0），則C點坐標為（a，0）。

過A點做AD⊥x軸交x軸于點D，AE⊥y軸交y軸于點E，則D（m，0），E（0，n）。

由勾股定理可得

AO2=m2+n2,

AB2=(a-m)2+n2=a2-2am+m2+n2,

AC2=(a+m)2+n2=a2+2am+m2+n2.

∴AB2+AC2=a2+2am+m2+n2+a2-2am+m2+n2

=2a2+2m2+2n2=2a2+2(m2+n2)

又∵AO2=m2+n2,

∴AB2+AC2=2a2+2AO2

又∵B（-a，0），C（a，0）,

∴a=BC

∴a2=BC2

∴2a2=2·BC2=BC2

∴AB2+AC2=BC2+2AO2=BC2+2AI2.

第二種

如圖2，利用余弦定理來證明。

第三種

如圖3，AI是△ABC的中線，AH是高線。利用勾股定理來證明。3

在Rt△ABH中，有AB2=AH2+BH2

同理，有AI2=AH2+HI2，AC2=AH2+CH2

并且BI=CI

那么，AB2+AC2

=2AH2+BH2+CH2

=2(AI2-HI2)+(BI-IH)2+(CI+IH)2

=2AI2-2HI2+BI2+IH2-2BI×IH+CI2+IH2+2CI×IH

=2AI2+2BI2

第四種

向量法證明中線定理。

如圖4，AI是△ABC的中線，分別取向量、、 、 、。

則

注意到并且

∴得

另一個結(jié)論

在以上討論中，通過兩式相減，還可以得到**|AB^2-AC^2|=2BC*IH**。 （H為垂足）