積化和差

相關(guān)公式

積化和差公式

前兩個(gè)公式只是調(diào)換了α β的順序，只需記住一個(gè)，利用奇函數(shù)性質(zhì)-sin(x) = sin(-x)很容易推出另一個(gè)。

以上一組公式則稱(chēng)為積化和差公式。1

和角公式

公式證明

方法1

通過(guò)展開(kāi)角的和差恒等式的方法來(lái)證明，將等式右邊用兩角和差公式拆開(kāi)。

（1）證明：

（2）證明：

（3）證明：

（4）證明：

方法2

利用公式

兩式相加，得到：

即：

兩式相減，得到：

即：

同理，可證其余兩個(gè)積化和差公式。

記憶口訣

口訣1：積化和差得和差，余弦在后要相加；異名函數(shù)取正弦，正弦相乘取負(fù)號(hào)。

解釋?zhuān)?/p>

（1）積化和差最后的結(jié)果是和或者差；

（2）若兩項(xiàng)相乘，后者為cos項(xiàng)，則積化和差的結(jié)果為兩項(xiàng)相加；若不是，則結(jié)果為兩項(xiàng)相減；

（3）若兩項(xiàng)相乘，一項(xiàng)為sin，另一項(xiàng)為cos，則積化和差的結(jié)果中都是sin項(xiàng)；

（4）若兩項(xiàng)相乘，兩項(xiàng)均為sin，則積化和差的結(jié)果前面取負(fù)號(hào)。

口訣2：“同名余(弦)，異名正(弦)，有余(弦)加，無(wú)余(弦)減”。2

應(yīng)用

（1）積化和差公式可以將兩個(gè)三角函數(shù)值的積化為另兩個(gè)三角函數(shù)值的和乘以常數(shù)的形式，所以使用積化和差公式可以達(dá)到降次的效果。

（2）在歷史上，對(duì)數(shù)出現(xiàn)之前，積化和差公式被用來(lái)將乘除運(yùn)算化為加減運(yùn)算，運(yùn)算需要利用三角函數(shù)表。

運(yùn)算過(guò)程：將兩個(gè)數(shù)通過(guò)乘、除10的冪方，化為0到1之間的數(shù)，通過(guò)查表求出對(duì)應(yīng)的反三角函數(shù)值，即將原式 化為 的形式，套用積化和差后再次查表求三角函數(shù)的值，并最后利用加減算出結(jié)果。對(duì)數(shù)出現(xiàn)后，積化和差公式的這個(gè)作用由更加便捷的對(duì)數(shù)取代。

（3）在現(xiàn)代工程中，積化和差的重要應(yīng)用在于求解傅里葉級(jí)數(shù)，特別是在需要將以2π為周期和以2L為周期的函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)的時(shí)候。

被展開(kāi)函數(shù) 一般也是三角函數(shù)，但其 與傅里葉系數(shù)公式中的三角函數(shù)不同，這就為最終求解系數(shù)帶來(lái)很大困難，因?yàn)榍蠼庀禂?shù)的過(guò)程中，要求一個(gè)在 周期內(nèi)的積分，若被積函數(shù)是 ，直接積分非常困難，若運(yùn)用積化和差將乘積的積分化為加減運(yùn)算的積分，將使問(wèn)題變得容易解決，使用計(jì)算機(jī)處理時(shí)效率也會(huì)更高。