美麗而“無用”的莫比烏斯反演，解決了一類物理問題【上】

“數(shù)論為我們提供了取之不盡的有趣真理——這些真理并非截然孤立，而是有著密切的內(nèi)在聯(lián)系，隨著知識(shí)逐漸增長，我們就會(huì)不斷發(fā)現(xiàn)它們之間新的、有時(shí)是完全意想不到的聯(lián)系?！?/p>

——高斯

撰文 | 丁玖（美國南密西西比大學(xué)數(shù)學(xué)系教授）

讀者，請(qǐng)你把一張紙卷成圓柱形，再找一支鉛筆頭，將它的底部緊貼在圓柱面外側(cè)，這時(shí)筆尖朝外垂直于圓柱面。如果你保持兩者垂直，將鉛筆在圓柱面上繞一圈，或更一般地，讓鉛筆垂直于柱面，并沿其上不越過邊界圓周的任意一條閉曲線移動(dòng)一圈，就會(huì)發(fā)現(xiàn)鉛筆尖的指向連續(xù)地變動(dòng)，最后又回到了最初的位置。如果將鉛筆頭底面緊貼在紙圓柱的內(nèi)面，做同樣的繞圈事，結(jié)果一樣。這說明這個(gè)圓柱面是“雙側(cè)”的，它具有內(nèi)側(cè)和外側(cè)。指定了其兩側(cè)之一的定側(cè)，就依賴“右手法則”確定了曲面上任一條閉曲線的定向——正向和反向。這是每一個(gè)孩子都能看懂的幾何現(xiàn)象。

學(xué)過曲面積分的讀者都知道，作為積分區(qū)域的曲面必須是可定側(cè)的，否則曲面積分就無從談起。上世紀(jì)八十年代，我在密歇根州立大學(xué)數(shù)學(xué)系的博士論文導(dǎo)師李天巖教授告訴我，他是這樣教他讀初中的兒子入門拓?fù)鋵W(xué)概念的：取一張窄窄的長紙片，不是像上面那樣，將兩條短對(duì)邊粘起來形成矮矮的圓柱面；而是先將其中一條短邊扭轉(zhuǎn)180度后，再與另一短邊粘連。這樣也得到了一個(gè)紙曲面。然后他讓兒子做與上一段相同的試驗(yàn)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，當(dāng)鉛筆沿著一條方向與長對(duì)邊差不多一致的閉路，保持與曲面垂直連續(xù)繞一圈后，鉛筆尖終止的方向卻與最初的方向恰恰相反！當(dāng)然，這個(gè)現(xiàn)象當(dāng)閉路小到只是圍繞曲面上一點(diǎn)的圓圈時(shí)不會(huì)發(fā)生，然而導(dǎo)致“調(diào)轉(zhuǎn)方向”反?，F(xiàn)象發(fā)生的閉路的存在性，充分說明這個(gè)奇怪曲面有著截然不同于普通圓柱面的拓?fù)湫再|(zhì)。

這個(gè)奇怪的曲面是“單側(cè)”的，不被微積分大廈內(nèi)曲面積分的房間衛(wèi)士批準(zhǔn)進(jìn)門，然而它不僅形象直觀，而且內(nèi)涵豐富，其專業(yè)名稱是“莫比烏斯帶（M?bius strip）”，以發(fā)現(xiàn)者之一、德國數(shù)學(xué)家及天文學(xué)家莫比烏斯（August Ferdinand M?bius，1790-1868）的姓氏命名。比他早了幾個(gè)月的另一個(gè)發(fā)現(xiàn)者是德國數(shù)學(xué)家里斯?。↗ohann Benedict Listing，1808-1882）。莫比烏斯帶是莫比烏斯一生中最廣為人知的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，因?yàn)槿藗円豢淳投?。然而，他不那么廣為人知的數(shù)學(xué)工作所引出的莫比烏斯反演公式，卻是本文的主題。

莫比烏斯反演

莫比烏斯反演公式最原始的思想，與我們熟知的級(jí)數(shù)部分和數(shù)列與級(jí)數(shù)通項(xiàng)數(shù)列的簡

莫比烏斯反演公式至今有許多推廣和變種，但最有名也最簡單的那個(gè)堪稱“經(jīng)典”，在數(shù)論和組合數(shù)學(xué)中有眾多用途。為了理解這個(gè)原始公式，需要介紹幾個(gè)初等術(shù)語。首先，所謂的“反演（inversion）”是中學(xué)代數(shù)里反函數(shù)概念的推廣。當(dāng)函數(shù)y=f(x)在

莫比烏斯函數(shù)
鑒于莫比烏斯函數(shù)μ在反演公式中所起的關(guān)鍵作用，我們來探討它的基本性質(zhì)。先熟悉一下莫比烏斯函數(shù)值數(shù)列中的最前面一打數(shù)字：μ(1)=1, μ(2)=-1, μ(3)=-1, μ(4)=0, μ(5)=-1, μ(6)=1, μ(7)=-1, μ(8)=0, μ(9)=0, μ(10)=1, μ(11)=-1, μ(12)=0。該函數(shù)的第一個(gè)基本性質(zhì)為：它是積性（multiplicative）的，即只要兩個(gè)自然數(shù)m和n互素（除1外沒有其他正公因數(shù)），等式μ(mn)=μ(m)μ(n)就成立。事實(shí)上，當(dāng)

這就證明了(I)。

從算術(shù)函數(shù)f到算術(shù)函數(shù)g的函數(shù)值g(n)，由于定義以及反演公式(I)只是通過有限和的形式表達(dá)的，我們僅僅用到莫比烏斯函數(shù)的因數(shù)和公式(1)就“初等地”證出了莫比烏斯反演公式(I)。用同樣的方法可以證明，若f和g滿足(I)，那么它們也滿足(*)。人們將g稱為f的莫比烏斯變換（M?bius transform），而把f稱為g的莫比烏斯逆變換（inverse M?bius transform）。注意，還有一個(gè)中文翻譯也是“莫比烏斯變換”的英文數(shù)學(xué)術(shù)語M?bius transformation，它指的是將復(fù)數(shù)映成復(fù)數(shù)的線性分式變換w=(az+b)/(cz+d)。

如果在莫比烏斯變換中將f和g分別換成In f和In g，則(*)和(I)隱含下列乘法形式的莫比烏斯反演公式

狄利克雷卷積
學(xué)過傅里葉變換的讀者對(duì)函數(shù)之間的卷積（convolution）運(yùn)算不會(huì)感到陌生。兩個(gè)函數(shù)f和g的卷積f*g被定義為其中一個(gè)函數(shù)與經(jīng)過反射與移位作用后的另一個(gè)函數(shù)乘積的積分，表示一個(gè)函數(shù)的形狀如何被另一個(gè)函數(shù)改變。如果f和g的定義域都是整個(gè)

法，易證f*g=g*f，即卷積運(yùn)算滿足交換律。傅里葉分析中的卷積定理說，如果F和G分別是f和g的傅里葉變換，那么F和G的乘積的傅里葉逆變換是f和g的卷積。對(duì)于工程數(shù)學(xué)中常用的拉普拉斯變換，也有類似的卷積定理。

那么，卷積的思想和方法和“莫比烏斯反演”也有關(guān)系嗎？當(dāng)然有！這就是在數(shù)論中用于算術(shù)函數(shù)的狄利克雷卷積，此概念簡直就是莫比烏斯反演的直接推廣。它的定義與莫比烏斯反演公式(I)右端的表達(dá)式極為相似，除了那里的莫比烏斯函數(shù)μ被一般函數(shù)取而代之：令f和g為算術(shù)函數(shù)，則f與g的狄利克雷卷積是算術(shù)函數(shù)

此外，狄利克雷卷積也像整數(shù)乘法一樣，滿足結(jié)合律和分配律：(f*g)*h=f*(g*h)及f*(g+h)=f*g+f*h。就狄利克雷環(huán)而言，當(dāng)且僅當(dāng)算術(shù)函數(shù)f滿足f(1)≠0，它有狄利克雷逆，即存在算術(shù)函數(shù)f-1使得f*f-1=ε。特別地，常數(shù)函數(shù)1的狄利克雷逆就是莫比烏斯函數(shù)μ，即有下一段論證中所需要的關(guān)系1*μ=ε。這里我們已用1代表在自然數(shù)集

由此可見，在狄利克雷卷積的語境內(nèi)，經(jīng)典莫比烏斯變換的表述就是：

g=f*1當(dāng)且僅當(dāng)f=g*μ。

一般理工科大學(xué)生大概是從傅里葉級(jí)數(shù)或偏微分方程邊值問題中得知德國數(shù)學(xué)家狄利克雷（Gustav Lejeune Dirichlet，1805-1859）的大名，但不要誤以為他只?！胺治鰯?shù)學(xué)”，就像今日幾乎所有數(shù)學(xué)家那樣只精通一門手藝。他同時(shí)是數(shù)論大家，開創(chuàng)了解析數(shù)論分支。函數(shù)的現(xiàn)代定義也源自于他，讓今日全球的中學(xué)生從這最合理的定義中獲益。

既然莫比烏斯反演只是“單位算術(shù)函數(shù)1的狄利克雷逆是莫比烏斯函數(shù)μ”這個(gè)事實(shí)的“代名詞”，原始的莫比烏斯變換雙公式(*)和(I)馬上可以推廣成如下的一般反演公式：假定算術(shù)函數(shù)α有狄利克雷逆，那么

上面第二個(gè)等號(hào)是因?yàn)榘磎n=k進(jìn)行分組，重排求和次序。

對(duì)應(yīng)于離散情形下的一般公式(#)，(**)和(Ⅱ)的推廣形式是：

本文受科普中國·星空計(jì)劃項(xiàng)目扶持

出品：中國科協(xié)科普部

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