理解黎曼猜想（五）跟外星文明交流，第一條信息應(yīng)該發(fā)什么？

理解黎曼猜想（五）跟外星文明交流，第一條信息應(yīng)該發(fā)什么？

導(dǎo)讀

無論任何行星，任何星系，甚至任何維度，數(shù)學(xué)的規(guī)律都不會變。想想看，除了質(zhì)數(shù)之外，還有什么更適合作為跟外星文明交流的第一條信息呢？質(zhì)數(shù)跟我們經(jīng)常強調(diào)的可控核聚變一樣，都是宇宙級別的關(guān)鍵科技！在這個意義上，可以把黎曼猜想理解為宇宙的密碼！

本文為黎曼猜想系列之四，

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精彩呈現(xiàn)：

在上一期節(jié)目中，我們知道了一個根本性的結(jié)論：質(zhì)數(shù)分布的全部信息，都包含在黎曼ζ函數(shù)非平凡零點的位置之中。然后，我們介紹了黎曼猜想的內(nèi)容。它說的是：黎曼ζ函數(shù)所有的非平凡零點，實部都等于1/2。數(shù)學(xué)家經(jīng)常把黎曼ζ函數(shù)非平凡零點的實部和虛部分別寫成σ和t，把復(fù)平面上0 < σ < 1的豎直條帶稱為臨界帶，把σ = 1/2的豎線稱為臨界線。我們已經(jīng)知道的是，黎曼ζ函數(shù)所有的非平凡零點都位于臨界帶內(nèi)部。而黎曼猜想說的就是，黎曼ζ函數(shù)所有的非平凡零點都位于臨界線上，在臨界線外一個都沒有。

臨界線與臨界帶

在繼續(xù)介紹之前，讓我們來回答一個許多人問起的問題：質(zhì)數(shù)有什么用？我欣慰地看到，不少同學(xué)們都主動地做出了回答：質(zhì)數(shù)在密碼學(xué)中有十分重要的應(yīng)用。例如當(dāng)今世界最常用的密碼體系之一叫做RSA，這個名字是三位發(fā)明者的姓的首字母縮寫。RSA密碼體系的基礎(chǔ)就是因數(shù)分解的困難性，即把一個很大的合數(shù)分解成兩個質(zhì)數(shù)的乘積需要非常大的計算量。同學(xué)們的這種主動精神非常好！我還可以補充一點質(zhì)數(shù)在機械方面的應(yīng)用：齒輪的齒數(shù)經(jīng)常被設(shè)計成質(zhì)數(shù)。為什么呢？因為這樣可以使兩個齒輪的兩個齒在兩次相遇之間的嚙合次數(shù)最大化，使磨損均勻化，增加耐用度，減少故障。

《三體》英文版封面質(zhì)數(shù)在日常生活中的應(yīng)用固然很有趣，不過我還想再談一個宇宙層面的應(yīng)用，就是作為智慧的標(biāo)志。在《三體》的第三部《死神永生》中，人類的太空艇探險隊和四維空間的文明進行了這樣的交流：

“按照計劃，卓文用中頻電波發(fā)送了一個問候語。這是一幅簡單的點陣圖，圖中由六行不同數(shù)量的點組成了一個質(zhì)數(shù)數(shù)列：2、3、5、7、11、13。他們沒有指望得到應(yīng)答，但應(yīng)答立刻出現(xiàn)了，速度之快讓三人不敢相信自己的眼睛。懸浮在太空艇艙里的信息窗口顯示出一個簡單點陣圖，與他們發(fā)送的類似，也用六行點組成六個質(zhì)數(shù)，但圖中的點陣大了許多，把他們發(fā)送的那個數(shù)列接了下來：17、19、23、29、31、37。對方的含義很明確，回答了他們的問候?！?/p>

這在科幻小說中，是很標(biāo)準(zhǔn)的設(shè)定。無論任何行星，任何星系，甚至任何維度，數(shù)學(xué)的規(guī)律都不會變。而在數(shù)學(xué)中又屬自然數(shù)最為簡單，而在自然數(shù)中又屬質(zhì)數(shù)最容易表現(xiàn)出智慧含量。想想看，除了質(zhì)數(shù)之外，還有什么更適合作為跟外星文明交流的第一條信息呢？心事浩茫連廣宇，于無聲處聽驚雷。質(zhì)數(shù)跟我們經(jīng)常強調(diào)的可控核聚變一樣，都是宇宙級別的關(guān)鍵科技！在這個意義上，可以把黎曼猜想理解為宇宙的密碼！上次我們說到，黎曼對小于等于x的質(zhì)數(shù)個數(shù)即質(zhì)數(shù)計數(shù)函數(shù)π(x)，推出了下面的表達(dá)式，其中唯一未知的就是那些非平凡零點的位置ρ：

1896年，在1859年提出黎曼猜想的37年之后，阿達(dá)馬和德·拉·瓦·布桑證明了質(zhì)數(shù)定理，并因此續(xù)到了90多歲。質(zhì)數(shù)定理說的是，質(zhì)數(shù)計數(shù)函數(shù)π(x)約等于對數(shù)積分函數(shù)Li(x)，也約等于x/lnx。

質(zhì)數(shù)定理的相對偏差

因此，我們對質(zhì)數(shù)的分布可以這樣理解：質(zhì)數(shù)定理給出了π(x)的基本輪廓，即Li(x)，黎曼ζ函數(shù)的非平凡零點給出了π(x)對這個輪廓的修正。而對于這個修正，黎曼猜想又給出了它的最重要的特征。

什么樣的特征呢？我們可以注意到，對于一個復(fù)數(shù)ρ = σ + it，x的ρ次方的絕對值是由ρ的實部也就是σ決定的，因為ρ的虛部也就是t只影響x的ρ次方的方向，而不影響其大小。我們還可以注意到，在x很大時，對數(shù)積分函數(shù)Li(x)約等于x/lnx，而lnx的增長速度比x慢得多，因此Li(x)的增長速度大約就是x。因此，如果黎曼猜想成立，也就是說所有的σ都等于1/2，那么所有這些Li(xρ)加起來的增長速度就大約是x的1/2次方，即根號x。

你也許會問，無窮多個根號x加起來，難道不會發(fā)散嗎？回答是，別忘了ρ還有虛部呢，它會使x的ρ次方的矢量旋轉(zhuǎn)。因此不同零點的貢獻(xiàn)會在很大程度上抵消，最后得到一個有限的值，而這個有限值的長度正比于根號x。

如果黎曼猜想不成立，也就是說有些σ不等于1/2，會產(chǎn)生什么后果呢？如果有一個非平凡零點的σ > 1/2，也就是說它位于臨界線右側(cè)，那么它就會導(dǎo)致Li(xρ)的增長速度超過根號x。當(dāng)x無限增大時，這一個零點的貢獻(xiàn)就會淹沒所有的臨界線上的零點的貢獻(xiàn)。好比你跟一群人賽跑，你的速度是x的2/3次方，他們的速度是x的1/2次方，那么當(dāng)x充分大的時候，必然會導(dǎo)致他們跑過的路程加起來都沒有你多。因此，這一個右側(cè)的零點就會使得π(x)對Li(x)的偏離的增長速度超過根號x。

而如果有一個非平凡零點的σ < 1/2，也就是說位于臨界線的左側(cè)呢？別忘了，非平凡零點對于臨界線是對稱的。所以如果有一個在左側(cè)，就必然會有一個相應(yīng)的在右側(cè)。因此，只要有一個非平凡零點不在臨界線上，就會導(dǎo)致π(x)對Li(x)的偏離的增長速度超過根號x！我們強調(diào)一下：只要有一個非平凡零點不在臨界線上，就足以導(dǎo)致可觀的后果了！

因此黎曼猜想意味著，在質(zhì)數(shù)分布對其輪廓所有可能的偏離中，實際取到的是最小的偏離。這是一個多么深刻的猜測！現(xiàn)在你明白黎曼猜想的意義何在了吧？

例如美國數(shù)學(xué)家舍恩菲爾德（Lowell Schoenfeld，1920 - 2002）在1976年證明了，如果黎曼猜想成立，那么下列不等式對任何大于等于2657的x都成立：

而如果不以黎曼猜想作為前提，那么我們對|π(x) - Li(x)|的增長速度能夠證明的，就只是它不超過x。這跟黎曼猜想對應(yīng)的結(jié)果根號x相比，就差得太多了！

人們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了許多跟黎曼猜想等價的猜想。例如1984年，有一位法國數(shù)學(xué)家Guy Robin就證明了一個。這位法國數(shù)學(xué)家的姓Robin用英語讀出來像“羅賓”，但用法語讀出來更像“猴棒”，猴賽雷的猴，金箍棒的棒，真是太棒了。根據(jù)名從主人的原則，我們還是稱呼他“猴棒”吧?？傊?，猴棒證明了，黎曼猜想等價于下列不等式對任何大于等于5041的自然數(shù)n都成立：

這里的γ是歐拉常數(shù)，我們在本系列的第二篇中介紹過，約等于0.577216。而σ(n)是因數(shù)和函數(shù)（sum-of-divisors function），意思是一個自然數(shù)n的所有因數(shù)之和，包括1和這個自然數(shù)本身在內(nèi)。例如12的因數(shù)包括1、2、3、4、6、12，σ(12)就等于1 + 2 + 3+ 4 + 6 + 12 = 28。

受到黎曼猜想的啟發(fā)，人們在數(shù)學(xué)的若干其他領(lǐng)域也提出了類似的猜想。這些猜想都可以理解為黎曼猜想的推廣，這些推廣也對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。

我的朋友盧昌海博士寫了一本非常好的科普著作《黎曼猜想漫談》（清華大學(xué)出版社2012年8月第一版），得到了許多圖書獎。著名的數(shù)學(xué)家、前中國數(shù)學(xué)會理事長王元院士給此書撰寫了序言，向大眾推薦此書。王元院士寫道：

“就像研究FLT（按：Fermat’s last theorem，費馬最后定理）與GC（按：Goldbach's conjecture，哥德巴赫猜想）一樣，研究它們的目的主要在于發(fā)展數(shù)學(xué)中的新思想與新方法。形象地說，這兩個問題都是數(shù)學(xué)中的‘下金蛋的母雞’。

從過去的研究來看，RH（按：Riemann hypothesis，黎曼猜想）當(dāng)然是數(shù)學(xué)中下金蛋的母雞，但研究它的目的，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止此。它之所以成為數(shù)學(xué)中第一重要問題，主要是由于一系列的數(shù)學(xué)中的重大問題的解決都依賴于各種RH的解決。一旦這些RH解決了，人類就站在一個不知比現(xiàn)在高多少的數(shù)學(xué)平臺上，看到更遠(yuǎn)得多的風(fēng)景?！?/p>

《黎曼猜想漫談》

請看，王元對黎曼猜想的評價是，“數(shù)學(xué)中第一重要問題”！如果我們保守一點，那么說黎曼猜想是“數(shù)學(xué)中最重要的問題之一”，則是完全沒有疑問的。

王元院士

黎曼猜想在公眾中的知名度，在很大程度上來自兩次世紀(jì)之交時的宣傳。

第一次是在1900年，偉大的德國數(shù)學(xué)家希爾伯特（David Hilbert，1862 - 1943）在國際數(shù)學(xué)家大會上提出了經(jīng)典的23個數(shù)學(xué)問題，對后世產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。其中第八個問題就是“黎曼猜想與其他質(zhì)數(shù)問題，包括哥德巴赫猜想和孿生質(zhì)數(shù)猜想”。事實證明這三個猜想都是特別難的問題，直到現(xiàn)在都沒有解決。

希爾伯特

第二次是在2000年，克雷數(shù)學(xué)研究所（Clay Mathematics Institute）提出了七個“千年大獎問題”（Millennium Prize Problems），對每一個問題的解決懸賞一百萬美元。其中第四個問題就是黎曼猜想。人們笑談，這是世界上最難的獲得一百萬美元的方法！

克雷數(shù)學(xué)研究所的這七筆懸賞發(fā)出去了幾筆呢？回答是：一筆都沒發(fā)出去。到目前為止，這七個問題中只有一個被解決了，就是第三個問題“龐加萊猜想”（Poincaré conjecture）。但是，解決者俄羅斯數(shù)學(xué)家佩雷爾曼（Grigori Yakovlevich Perelman）不屑于去領(lǐng)獎！這位長得有點像沙僧的哥們是個神人，以后我們有機會再來介紹他。

佩雷爾曼

雖然有這么兩次大規(guī)模的宣傳，不過論起在公眾中的知名度，黎曼猜想還是顯著的落在哥德巴赫猜想與孿生質(zhì)數(shù)猜想后面。這是因為后兩者的表述非常簡單，小學(xué)生都能看懂，而黎曼猜想的表述就復(fù)雜得多，需要有復(fù)變函數(shù)的知識才能理解。簡單地說，哥德巴赫猜想和孿生質(zhì)數(shù)猜想很容易“扮豬吃老虎”，而黎曼猜想一看就知道是老虎。這倒也未嘗不是一件好事，至少號稱自己攻克了黎曼猜想的民科，就比號稱自己攻克了哥德巴赫猜想或者孿生質(zhì)數(shù)猜想的民科少得多！

但如果論起在數(shù)學(xué)上的重要性，順序就反過來了。從王元的序言，我們可以理解，不少著名猜想的重要性主要在于啟發(fā)新思想，本身的用處比較小。而黎曼猜想不但能啟發(fā)新思想，而且本身的用處就非常大。因此，黎曼猜想雖然與哥德巴赫猜想、孿生質(zhì)數(shù)猜想同列于希爾伯特第八問題，但重要性還是比它們高一個層次。

當(dāng)然，我們并不是說哥德巴赫猜想與孿生質(zhì)數(shù)猜想不重要，也不是說陳景潤與張益唐的工作不重要。哥德巴赫猜想與孿生質(zhì)數(shù)猜想都是非常重要的問題，而且它們挑戰(zhàn)人類智力的時間比黎曼猜想還要長。陳景潤與張益唐的相關(guān)工作都是非常杰出的成果，值得我們高度的敬佩與贊譽。我們只是希望讀者明白，這些不是數(shù)學(xué)的全部，世界上還有其他的而且是更重要的問題需要關(guān)注。

對于專業(yè)數(shù)學(xué)家來說，他們都十分清楚黎曼猜想的重要性。例如有人曾經(jīng)問希爾伯特，如果他能在500年后重返人間，他最想問的問題是什么？希爾伯特回答說，他最想問的就是：是否有人解決了黎曼猜想？

來，讓我們?yōu)橄柌孬I(xiàn)上一首《向天再借五百年》！

《向天再借五百年》

這里有一點值得提的是，許多人在知道了密碼學(xué)和黎曼猜想都與質(zhì)數(shù)有關(guān)之后，認(rèn)為如果黎曼猜想被證明了，許多密碼體系就會被破解。我們必須指出，這是一種過度解讀。

實際上，從來沒有哪個密碼體系是以黎曼猜想的成立或者不成立作為設(shè)計基礎(chǔ)的。例如RSA，它的基礎(chǔ)是因數(shù)分解的困難性。如果我們證明了黎曼猜想，那么當(dāng)然會對質(zhì)數(shù)的分布增加很多了解，但這是否會導(dǎo)致更快的因數(shù)分解算法呢？至少目前沒有，將來有沒有不知道。這是一個假設(shè)性的問題，到時又會需要很多的研究。因此，黎曼猜想和密碼學(xué)之間的聯(lián)系，只是一種間接的聯(lián)系，而不是立竿見影、一觸即發(fā)的直接聯(lián)系。

對黎曼猜想的意義和重要性了解了這么多，那么人們嘗試證明黎曼猜想的努力，達(dá)到什么程度了呢？

基本的回答是：離真正解決問題，看起來還離得遠(yuǎn)。具體的進展情況，我們下次來講。

下一期將是本系列的最后一期，技術(shù)性內(nèi)容將會很少，而故事性與情懷性內(nèi)容將會很多，相信所有的同學(xué)們都能有所收獲哦~