小孩子就能作出的結(jié)構(gòu)，卻困擾了數(shù)學界整整50年

前不久，著名數(shù)學家理查德·施瓦茨（Richard Evan Schwartz）宣布證明了有50年歷史的哈爾珀-韋弗猜想。用美國賓州大學數(shù)學家塔巴奇尼科夫的話說，施瓦茨的學術(shù)風格是“喜歡攻克那些表述簡單明了但公認很難的問題。而且通常他會看到之前的研究者沒有注意到的東西。”

撰文 | 嘉偉

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莫比烏斯環(huán)是分析、拓撲和幾何學中一個深刻、重要且基礎(chǔ)的概念。然而，令人驚奇的是，和其它現(xiàn)代數(shù)學里的研究對象不同，它不但不抽象、難懂，反而還十分地具體和直觀：就連小孩子都可以用一條細紙帶，輕松制作出莫比烏斯環(huán)的模型。

用細長紙帶制作莫比烏斯環(huán) | 圖源：圖書《從麥比烏斯到陳省身：麥比烏斯變換與麥比烏斯帶》，劉培杰，哈爾濱工業(yè)大學出版社

但是，不知道大家有沒有思考過下面的問題：如果我們偏偏不用細紙帶，反而選擇一條“寬”紙帶，比如說一張正方形手工紙（長寬比1:1），那能否在不撕裂紙張的情況下制作出一條莫比烏斯環(huán)？（劇透，沒有其它附加條件的話，答案是可以。但是需要很巧妙的方法，大家不妨先自行思考一下。）

如果把上面的問題進一步“數(shù)學化”，問“寬紙帶的長寬之比至少為多少時，我們才能制作出一條光滑的莫比烏斯環(huán)？”實際上，在過去整整50年里，數(shù)學界對上面的問題始終無能為力——直到今年8月24日，著名數(shù)學家理查德·施瓦茨（Richard Evan Schwartz）才以非常巧妙的方式給出了答案（半個多月后的9月13日，他更新了自己的論文）。

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對于拓撲學中的莫比烏斯環(huán)，兩位德國數(shù)學家——奧古斯特·費迪南德·莫比烏斯（August Ferdinand M?bius）和約翰·本尼迪克特·利斯廷（Johann Benedict Listing）——在1858年同時獨立地發(fā)現(xiàn)了這一幾何結(jié)構(gòu)。（石溪大學的數(shù)學家Moira Chas曾考證，高斯在更早的時候便已認知到這種單側(cè)曲面的存在性。）

數(shù)學家和天文學家莫比烏斯還被認為是拓撲學的先驅(qū)。他最早明確了拓撲學的本性。在1863年出版的《初等關(guān)系的理論》（Theorie der Elementaren Verwandschaft）里，他考慮了兩個圖形，它們的點形成一一對應(yīng)，并在此對應(yīng)之下鄰近的點對應(yīng)著鄰近的點，他率先建議研究這樣聯(lián)系著的兩個圖形之間的關(guān)系。在隨后的160年里，拓撲學——研究幾何圖形或空間在連續(xù)改變形狀后還能保持不變性質(zhì)的學科——蓬勃發(fā)展，已然成為數(shù)學里最主要的分支之一。莫比烏斯環(huán)也顯示出非比尋常的重要性。它本身具有很多奇妙的性質(zhì)，直到今天也未能完全揭示。

如之前提及的、在半個世紀里一直困擾著拓撲學家的“簡單”問題：一條矩形紙帶，設(shè)其寬為單位長度，則其長至少為多少時，我們才能用這條紙帶制作出“光滑”的莫比烏斯環(huán)？

雖然數(shù)學家心目中的紙帶，是某種理想的數(shù)學對象——單純是一個可被操作的曲面（不需要考慮其厚度），但仍保留了“物理”紙帶的基本特征：①紙不具備彈性，所以不可拉伸；②紙帶顯然不能在無損的情況下穿過自身。

至于說“光滑”性，通俗地理解，就是要求制作出的莫比烏斯環(huán)上沒有折痕。從專業(yè)角度上講，光滑曲面是指，曲面上任一點，都存在唯一的切平面。然而折痕上的點，就如同平面上的尖點一樣，可以存在多個方向上的切平面。

光滑性的條件是必要的，否則紙帶的長完全可以小于其寬度——相當于改變了問題的性質(zhì)?；氐街暗乃伎碱}：一張正方形手工紙，我們能否在不撕裂紙張的情況下，用它制作出一條莫比烏斯環(huán)？

答案是，可以。只要把正方形手工紙，如下圖折疊出形如手風琴的褶皺結(jié)構(gòu)。把“紙風琴”整體當作是一條紙帶，然后按正常莫比烏斯環(huán)的做法，把它扭轉(zhuǎn)180度（半圈），再用膠水把插入彼此的兩端粘在一起。它形成了一個“壓縮”的莫比烏斯環(huán)，本質(zhì)上和常見的莫比烏斯環(huán)完全相同，只不過我們無法在不破壞紙結(jié)構(gòu)的情況下把它展成通常的莫比烏斯環(huán)罷了。所以，長寬比是1的紙帶，在不要求光滑性時完全可以制作出莫比烏斯環(huán)。

風琴狀的莫比烏斯環(huán) | 圖源：Thirty Lectures on Classic Mathematics

最標準的光滑莫比烏斯環(huán)長這樣，上面沒有“折痕”。但用無彈性的紙帶作出的莫比烏斯環(huán)和它有外觀上的差異。| 圖源：筆者利用mathematical生成圖像

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1977年，普林斯頓大學的數(shù)學家查爾斯·西德尼·韋弗（Charles Sidney Weaver）和本杰明·里格勒·哈爾珀（Benjamin Riggler Harper Jr）一起，深入探討了“用紙帶制作光滑的

謝爾蓋·塔巴奇尼科夫（Serge Tabachnikov）是賓夕法尼亞州立大學的數(shù)學家，他的導師是蜚聲全球的拓撲學大師德米特里·?？怂梗―mitry Fuchs）。他們合著了一本教科書Mathematical Omnibus: Thirty Lectures on Classic Mathematics（姑且譯為《經(jīng)典數(shù)學30講》）。在其中的第14講，他們詳細介紹了紙帶莫比烏斯環(huán)與哈爾珀-韋弗猜想。

2019年，布朗大學的數(shù)學系教授理查德·施瓦茨因與塔巴奇尼科夫合作的契機，讀到了他們的這本經(jīng)典教材?！拔乙蛔x到那一章，就立刻沉迷其中?！彼髞碚f。

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依據(jù)自己在8月24日發(fā)布在arXiv.org上的論文，施瓦茨宣布證明了哈爾珀-韋弗猜想。經(jīng)過其他數(shù)學家的快速審校，如今拓撲學界基本上認可了他的證明。

施瓦茨本人是幾何群領(lǐng)域里的權(quán)威。幾何群論是一個相對較新的數(shù)學領(lǐng)域，大約始于20世紀80年代末；它探索有限生成群，并尋求其代數(shù)性質(zhì)與這些群作用其上的幾何空間之間的聯(lián)系。他還在臺球的路徑問題——一種基于平面凸形的動力系統(tǒng)——上做出了重要貢獻。

他的研究領(lǐng)域涵蓋了動力系統(tǒng)、雙曲幾何、迭代理論、拓撲學等。2002年在北京召開的國際數(shù)學家大會上，施瓦茨受邀做了45分鐘的報告；2003年，他又獲得了古根海姆獎學金。

Richard Evan Schwartz 于2023年3月22日在牛頓數(shù)學研究所講解Thomson's 5 point problem |圖源：Rothschild Lecture: Thomson's 5 point problem - YouTube

不過，最新論文之所以能夠被快速接受，除了施瓦茨本人的學術(shù)地位和歷史信用外，還在于他用到的技術(shù)：設(shè)法將問題分解成可管理的部分，每個部分本質(zhì)上只需要基本的（現(xiàn)代）幾何技術(shù)來解決。德國哥廷根大學的數(shù)學家馬克斯·沃德茨基（Max Wardetzky）贊嘆道：“這種證明方法體現(xiàn)了一種最純粹的優(yōu)雅和美麗?！?/p>

強的數(shù)學創(chuàng)造力?！坝霉絹韰^(qū)分自相交和非自相交的曲面總是很困難的，“《經(jīng)典數(shù)學30講》的作者?？怂拐f，“要克服這個困難，你需要有（施瓦茨的）幾何洞察力。但這是如此罕見！”

有趣的是，施瓦茨一開始犯下了一個“低級”錯誤，以至于浪費了幾年的時間。如果不是那個錯誤，“我會在三年前就解決這個問題！”施瓦茨有幾分懊喪地說道。

在幾何學中，如果一個曲面上的任意一點上均有至少一條直線經(jīng)過，則稱該曲面為直紋曲面（Ruled Surface）。另一種常見的說法是，如果一個曲面可以由一條直線通過連續(xù)運動構(gòu)成，則可稱其為直紋曲面。以三維歐幾里德空間為例，最常見的直紋曲面是平面、柱面、錐面和馬鞍面。著名的莫比烏斯環(huán)也是直紋曲面。對于直紋曲面，存在一些方法，可把曲面分解成更簡單的平面結(jié)構(gòu)。

完全無彈性的紙帶制作出的莫比烏斯環(huán)的基本形狀。| 圖源：澳大利亞的著名科幻小說家Greg Egan

上面這種莫比烏斯環(huán)也是直紋曲面。| 圖源：澳大利亞的著名科幻小說家Greg Egan

出于某種先入為主的印象，施瓦茨在2021年的論文里錯誤地認為，由莫比烏斯環(huán)分解出來的結(jié)構(gòu)應(yīng)該是平行四邊形。這導致了失敗。

在找到成功的證明思路前，施瓦茨嘗試了許多其它策略，斷斷續(xù)續(xù)地花了近2年時間。他最近決定重新審視這個問題，因為有一種直覺讓他感到不安：他在2021年使用的方法應(yīng)該是有效的。從某種意義上說，他的直覺是正確的。

到今年夏天，施瓦茨決定借助具體的紙帶進行實驗。在這些實驗中，施瓦茨分解了一個莫比烏斯紙帶模型，然后意識到，“天哪，分割出來的平面結(jié)構(gòu)根本不是平行四邊形。它是一個梯形！”意識到自己的錯誤，施瓦茨首先感到惱火，然后又決心利用這個新信息來重新計算?！靶拚蟮挠嬎憬o出了猜想中的數(shù)字，”他說，“我驚呆了……我大約三天沒有睡覺，就為了把證明寫出來?！?/p>

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終于，這個有50年歷史的猜想得到了證明?！皣L試解決一個長期懸而未決的問題需要很大的勇氣?！彼推婺峥品蛘f，“這是理查德·施瓦茨的學術(shù)風格：他喜歡攻克那些表述簡單明了但公認很難的問題。而且通常他會看到之前的研究者沒有注意到的東西?！?/p>

至于相關(guān)的問題，數(shù)學家們已經(jīng)知道可嵌入自身的莫比烏斯帶沒有長度限制（盡管在物理上制作它們會很麻煩）。然而，沒有人知道如果要用紙條制作一個扭轉(zhuǎn)了3次而非1次的莫比烏斯帶，紙條可以有多短?！瓣P(guān)于奇數(shù)次扭轉(zhuǎn)的莫比烏斯帶的最優(yōu)長寬比的問題，”塔巴奇尼科夫說，“我期待著有人在不久的將來解決這個更一般的問題?！?/p>

從另外的角度來說，施瓦茨的證明也不是這個問題的終點。他的證明只適用于光滑的莫比烏斯帶，而不是有角或折痕的莫比烏斯帶。這些非光滑的莫比烏斯帶應(yīng)該會有更小的尺寸（參考前面的思考題），因為它們可以在邊緣處折疊在一起。

在光滑的條件下，長寬比的下確界是取不到的。要想達到下確界，只能得到這種退化的三角形莫比烏斯環(huán)。| 圖源：The Optimal Paper Moebius Band，2308.12641.pdf (arxiv.org)

從更寬泛的角度說，對紙帶莫比烏斯環(huán)的研究，屬于一個非常年輕的數(shù)學分支——Paper Sheet Geometry（或可譯作“折紙幾何學”）。

Paper Sheet Geometry是研究紙張的形狀、性質(zhì)和變換的數(shù)學。它涉及到如何用紙張制作各種幾何圖形，如多邊形、曲面和立體，以及如何用紙張解決一些幾何問題，如折疊、剪切和劃線。它的一個重要應(yīng)用是折紙藝術(shù)，也叫做Origami。Origami是一種將一張平面的紙張折疊成各種復雜的三維形狀的技術(shù)，如動物、花卉和星形。Origami有很多規(guī)則和公理，可以用來描述紙張的可折疊性和可構(gòu)造性。

Paper Sheet Geometry的另一個應(yīng)用是紙板工程Cartonage（紙板包裝，法語詞）。Cartonage是一種將多張紙板或硬紙板剪切、折疊和粘合成各種實用的物品的技術(shù)，如盒子、文件夾和書籍。

Cartonage還需要考慮紙板的厚度、強度和穩(wěn)定性。Paper Sheet Geometry則與其他數(shù)學領(lǐng)域相結(jié)合，如拓撲、代數(shù)和組合學，制造了不少令當代數(shù)學家一籌莫展的難題。

這樣的數(shù)學領(lǐng)域不僅能夠直觀揭示抽象對象的復雜性，還能夠?qū)?shù)學與我們?nèi)粘Ｉ盥?lián)系起來，形成一個個引人入勝的課題。而莫比烏斯環(huán)也并不僅僅局限于數(shù)學領(lǐng)域。它在日常生活中也有一些有趣的應(yīng)用。

工業(yè)領(lǐng)域也利用了莫比烏斯環(huán)的原理。莫比烏斯傳輸帶是一種特殊設(shè)計的傳送帶，使平帶由原來的內(nèi)外兩個表面變成循環(huán)的“單面”。被運輸物料對輸送帶所引起的應(yīng)力由單面承受變?yōu)殡p面循環(huán)，從而可以延長輸送帶的使用壽命。

同時，由于其非?！捌揭捉恕钡奶匦?，莫比烏斯環(huán)在藝術(shù)作品中廣泛出現(xiàn)。實際上，它是僅次于黑洞的科學“明星”概念。藝術(shù)家們常常使用這個形狀來探索空間和形態(tài)的獨特性質(zhì)。莫比烏斯環(huán)的無限性質(zhì)以及與時間和空間的交織，使其成為許多藝術(shù)作品的靈感來源和構(gòu)成要素。

如1988年在日本上映的動畫電影《機動戰(zhàn)士高達：夏亞的逆襲》中，以莫比烏斯帶作為對命運的隱喻：人類就好比行走在莫比烏斯帶上的螞蟻一般，永遠逃不出這個怪圈，不斷重復著相同的錯誤，類同的悲劇也在不斷地上演。

最后再分享一則相關(guān)軼事。主人公是少年時期的美國物理學家理查德·費曼和他當時的女友阿琳（Arline Greenbaum，后成為費曼的妻子）。阿琳提到她們的哲學老師有一句口頭禪：任何事物都像紙一樣擁有兩面性。費曼則說這一觀點本身需要重新思量，然后拿出一張紙，在女友面前憑借從百科全書里學到的知識，現(xiàn)場制作了一個莫比烏斯紙環(huán)。阿琳非常驚喜，第二天便把紙環(huán)帶到了學校。當老師拿起一張紙又開始舉例事物都有兩面性時，她興奮地舉起了莫比烏斯紙環(huán)，令在場的師生們都為之驚訝。

后 記

十年前，筆者湊巧也讀到過《經(jīng)典數(shù)學30講》，也曾經(jīng)被書中第14講的莫比烏斯紙環(huán)問題所吸引，因此對哈爾珀-韋弗猜想的難度有相當程度的直觀認知。

所以，在十年后的今天竟然能親眼見證猜想被證明——還是被閱讀了同一教材，被同一問題所吸引的拓撲學權(quán)威以相對基礎(chǔ)的技術(shù)給出的證明——完全出乎了我的意料，令我頗為激動。這也是促使我寫作本文的動因。

最后，要感謝澳洲著名科幻小說家格雷格·伊根。他參與了對論文（參考文獻[1]）的討論，幫助筆者理解了論文里的一些概念。同時伊根慷慨地允許筆者自由使用其制作的演示視頻（本文使用的Gif就出自他之手）。

伊根是科幻界的異數(shù)，他的大多科幻小說都不是一般地硬核，常常涉及到數(shù)學和物理學的高深知識。他的長篇科幻小說Schild's Ladder被不少科幻迷認為是史上最硬的科幻小說，據(jù)說要讀懂這本書至少得需要大學物理學位。因此他也被譽為硬科幻之王。

參考文獻

[1] The Optimal Paper Moebius Band，2308.12641.pdf (arxiv.org)

[2] Thirty Lectures on Classic Mathematics，Dmitry Fuchs, Serge Tabachnikov，American Mathematical Society

[3] Mathematician Solves 50-Year-Old M?bius Strip Puzzle - Scientific American

[4] 《從麥比烏斯到陳省身：麥比烏斯變換與麥比烏斯帶》，劉培杰，哈爾濱工業(yè)大學出版社

[5] Richard Evan Schwartz (brown.edu)

[6] 《代數(shù)拓撲和微分拓撲簡史》，干丹巖著，湖南教育出版社

[7] M?bius strip - Wikipedia

本文受科普中國·星空計劃項目扶持

出品：中國科協(xié)科普部

監(jiān)制：中國科學技術(shù)出版社有限公司、北京中科星河文化傳媒有限公司

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