[科普中國]-阿基米德螺線

阿基米德螺線（亦稱等速螺線），得名于公元前三世紀(jì)希臘數(shù)學(xué)家阿基米德。阿基米德螺線是一個點勻速離開一個固定點的同時又以固定的角速度繞該固定點轉(zhuǎn)動而產(chǎn)生的軌跡。阿基米德在其著作《螺旋線》中對此作了描述。1

數(shù)學(xué)表達(dá)阿基米德螺線的極坐標(biāo)方程式為：

其中 a 和 b 均為實數(shù)。當(dāng) 時，a為起點到極坐標(biāo)原點的距離。 ，b為螺旋線每增加單位角度r隨之對應(yīng)增加的數(shù)值。改變參數(shù) a相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)螺線，而參數(shù) b 則控制相鄰兩條曲線之間的距離。

阿基米德螺線的平面笛卡爾坐標(biāo)方程式為：

通用的從極坐標(biāo)系到笛卡爾坐標(biāo)系的變換方法：

，

通用的從笛卡爾坐標(biāo)系到極坐標(biāo)系的變換方法：

根據(jù)最新的研究表明，阿基米德螺旋公式可以用指定的半徑r，圓周速度v，直線運動速度w來表示，公式為

根據(jù)這一公式，當(dāng)圓周速度與直線速度同時增大一倍時，阿基米德螺旋的形狀是不會發(fā)生變化的，因此，阿基米德螺旋屬于等速度比螺旋，同時由于它在每個旋轉(zhuǎn)周期內(nèi)是等距離外擴的，故又可稱它為等距螺旋****2。

阿基米德螺旋的切線角度沒有特定的規(guī)律，通過數(shù)學(xué)軟件，按照求導(dǎo)數(shù)的方法，每隔45°做切線，會得到如右圖的效果。

阿基米德螺線的畫法1.阿基米德螺線的幾何畫法

以適當(dāng)長度(OA)為半徑，畫一圓O；作一射線OA；作一點P于射線OA上；模擬點A沿圓O移動，點P沿射線OA移動；畫出點P的軌跡；隱藏圓O、射線OA&點P；即可得到螺線

2.阿基米德螺線的簡單畫法

有一種最簡單的方法畫出阿基米德螺線，用一根線纏在一個線軸上，在其游離端綁上一小環(huán)，把線軸按在一張紙上，并在小環(huán)內(nèi)套一支鉛筆，用鉛筆拉緊線，并保持線在拉緊狀態(tài)，然后在紙上畫出由線軸松開的線的軌跡，就得到了阿基米德螺線。2

歷史沿革阿基米德（約公元前287～前212），古希臘偉大的數(shù)學(xué)家、力學(xué)家。他公元前287年生于希臘敘拉古附近的一個小村莊。

公元前267年，也就是阿基米德十一歲時，阿基米德被父親送到埃及的亞歷山大城跟隨歐幾里得的學(xué)生埃拉托塞和卡農(nóng)學(xué)習(xí)。亞歷山大城位于尼羅河口，是當(dāng)時世界的知識、文化貿(mào)易中心，學(xué)者云集，人才薈萃，被世人譽為“智慧之都”。舉凡文學(xué)、數(shù)學(xué)、天文學(xué)、醫(yī)學(xué)的研究都很發(fā)達(dá)。

阿基米德在亞歷山大跟隨過許多著名的數(shù)學(xué)家學(xué)習(xí)，包括有名的幾何學(xué)大師—歐幾里德，阿基米德在這里學(xué)習(xí)和生活了許多年，他兼收并蓄了東方和古希臘的優(yōu)秀文化遺產(chǎn)，對其后的科學(xué)生涯中作出了重大的影響，奠定了阿基米德日后從事科學(xué)研究的基礎(chǔ)。

公元前240年，阿基米德由埃及回到故鄉(xiāng)敘拉古，并擔(dān)任了國王的顧問。從此開始了對科學(xué)的全面探索，在物理學(xué)、數(shù)學(xué)等領(lǐng)域取得了舉世矚目的成果，成為古希臘最偉大的科學(xué)家之一。后人對阿基米德給以極高的評價，常把他和牛頓、高斯并列為有史以來三個貢獻最大的數(shù)學(xué)家。

據(jù)說，阿基米德螺線最初是由阿基米德的老師柯農(nóng)(歐幾里德的弟子)發(fā)現(xiàn)的。柯農(nóng)死后，阿基米德繼續(xù)研究，又發(fā)現(xiàn)許多重要性質(zhì)，因而這種螺線就以阿基米德的名字命名了。

與希皮亞斯割圓曲線相類似，可以用來化圓為方。不過，后者也是阿基米德自己完成的。如圖一，螺線P=aθ的極點為O，第一圈終于點A。以O(shè)為圓心，a為半徑作圓，則圓周長等于=OA。這樣，阿基米德輕易解決化圓為方問題。

稍遲于阿基米德的阿波羅尼斯用圓柱螺線解決了化圓為方問題，如圖4-2-27所示。設(shè)圓O是一直圓柱之底面，A是螺旋線之起始點。螺旋線在其上任一點P處的切線交底所在平面于T。則PT在底平面上的投影BT與AB相等。因此，當(dāng)P點恰好為A點所在母線上離A最近的點時，TB與圓周長相等。從而化圓為方問題得以解決。

在阿波羅尼斯之后，機械師卡普斯（Carpus）也解過化圓為方問題。他所用的“雙重運動曲線”今已失傳，據(jù)數(shù)學(xué)史家唐內(nèi)里（P. Tannery, 1843～1904）推測，它是擺線，亦即卡普斯是通過將圓沿直線滾動一周獲得圓周長的（圖二）。文藝復(fù)興時期，意大利著名藝術(shù)大師達(dá)·芬奇（1452～1519）為化圓為方問題所吸引，并獲巧妙方法。如圖4-2-29，設(shè)圓半徑為R，以圓為底作高為R/2的圓柱，然后將圓柱在平面上滾動一周，得矩形。將矩形化方，即完成化圓為方。

以上我們看到，希臘人很早就意識到（但未能證明）三大難題不能以尺規(guī)在有限步驟內(nèi)完成。但它們看似如此簡單，以至希臘人未能抵制誘惑；他們不斷尋求尺規(guī)以外的方法，結(jié)果導(dǎo)致圓錐曲線、割圓曲線、蚌線、蔓葉線和螺線等高次曲線和超越曲線的相繼發(fā)現(xiàn)。三大難題使一代又一代希臘數(shù)學(xué)家顯示了非凡的聰明才智，并深刻影響了希臘幾何的整個發(fā)展過程。

三大難題的魅力并未隨希臘文明的淪亡而消失。事實上，從希臘以后特別是歐洲文藝復(fù)興時期以來直到本世紀(jì)，對于它們的研究從未停止過。

1837年，年輕的法國數(shù)學(xué)家萬采爾（P. L. Wantzel，1814～1848）證明了三等分角和倍立方尺規(guī)作圖之不可能性。1882年，德國數(shù)學(xué)家林德曼（C. Lindemann, 1852～1938）證明了π的超越性，從而證明了化圓為方的尺規(guī)作圖之不可能性。以后數(shù)學(xué)家們又還建立了兩條一般定理：

定理1任何可用尺規(guī)由已知單位長度作出的量必為代數(shù)數(shù)；

定理****2若一有理系數(shù)三次方程沒有有理根，則它的根不可能用尺規(guī)由一給定單位長度作出。

自然界中的螺線自然界中，在千姿百態(tài)的生命體上發(fā)現(xiàn)了不少螺線。如原生動物門中的砂盤蟲；軟體動物門中梯螺科中的尖高旋螺，鳳螺科中的溝紋笛螺，明螺科中的明螺，又如塔螺科的爪哇擬塔螺、奇異寬肩螺、筍螺科的擬筍螺等大多數(shù)螺類，它們的外殼曲線都呈現(xiàn)出各種螺旋狀；在植物中，則有紫藤、蔦蘿、牽牛花等纏繞的莖形成的曲線，煙草螺旋狀排列的葉片，絲瓜、葫蘆的觸須，向日葵籽在盤中排列形成的曲線；甚至構(gòu)成生命的主要物質(zhì)——蛋白質(zhì)、核酸及多糖等生物大分子也都存在螺旋結(jié)構(gòu)，如人類遺傳基因(DNA)中的雙螺旋結(jié)構(gòu)。其中，自然界中的砂盤蟲化石，蛇盤繞起來形成的曲線等都可以構(gòu)成阿基米德螺線。

螺線之所以在生命體中廣泛存在，是由于螺線的若干優(yōu)良性質(zhì)所確定。而這些優(yōu)良性質(zhì)直接或間接地使生命體在生存斗爭中獲得最佳效果。由于在柱面內(nèi)過柱面上兩點的各種曲線中螺線長度最短，對于蔦蘿、紫藤、牽牛花等攀緣植物而言，如何用最少的材料、最低的能耗，使其莖或藤延伸到光照充足的地方是至關(guān)重要的。而在各種曲線中，螺線就起到省材、節(jié)約能量消耗的作用，在相同的空間中使其葉子獲取較多的陽光，這對植物光合作用尤為重要，像煙草等植物輪狀葉序就是利用形成的螺旋面能在狹小的空間中(其他植物的夾縫中)獲得最大的光照面積，以利于光合作用。形成螺線狀的某些物體還有一種物理性質(zhì)，即像彈簧一樣具有彈性(或伸縮性)。在植物中絲瓜、葫蘆等莖上的擬圓柱螺線狀的觸須就是利用這個性質(zhì)，能使其牢固地附著其他植物或物體上。即使有外力（如風(fēng)等）的作用，由于螺線狀觸須的彈性(或伸縮性)，使得纖細(xì)的觸須不易被拉斷，并且當(dāng)外力消失后，其彈性(或伸縮性)又能保證莖葉能恢復(fù)到原來的位置。螺旋線對于生活在水中的大多數(shù)螺類軟體動物也是十分有意義的。觀察螺類在水中的運動方式，通常是背負(fù)著外殼前進，殼體直徑較粗大的部分在前，螺尖在后。當(dāng)水流方向與運動方向相反時，水流沿著殼體螺線由直徑較大的部分旋轉(zhuǎn)到直徑較小的部分直到螺尖。水速將大大減小，這樣位于殼體后水的靜壓力將大于殼體前端的靜壓力。在前后壓力差的作用下，殼體將會自動向前運動。這樣一來，來自水流的阻力經(jīng)錐狀螺線的轉(zhuǎn)化變?yōu)榍斑M的動力。除此而外，分布在螺類外殼上的螺線像一條肋筋，大大增加了殼體的強度，也分散了作用在殼體上的水壓。3

應(yīng)用最初應(yīng)用：螺旋揚水器為解決用尼羅河水灌溉土地的難題，阿基米德發(fā)明了圓筒狀的螺旋揚水器，后人稱它為“阿基米德螺旋”。

阿基米德螺旋是一個裝在木制圓筒里的巨大螺旋狀物（在一個圓柱體上螺旋狀地繞上中空的管子），把它傾斜放置，下端浸入水中，隨著圓柱體的旋轉(zhuǎn)，水便沿螺旋管被提升上來，從上端流出。這樣，就可以把水從一個水平面提升到另一個水平面，對田地進行灌溉。“阿基米德螺旋”揚水機至今仍在埃及等地使用。

工程應(yīng)用：阿基米德螺旋泵阿基米德螺旋泵的工作原理是當(dāng)電動機帶動泵軸轉(zhuǎn)動時,螺桿一方面繞本身的軸線旋轉(zhuǎn),另一方面它又沿襯套內(nèi)表面滾動,于是形成泵的密封腔室。螺桿每轉(zhuǎn)一周,密封腔內(nèi)的液體向前推進一個螺距,隨著螺桿的連續(xù)轉(zhuǎn)動,液體螺旋形方式從一個密封腔壓向另一個密封腔,最后擠出泵體。螺桿泵是一種新型的輸送液體的機械,具有結(jié)構(gòu)簡單、工作安全可靠、使用維修方便、出液連續(xù)均勻、壓力穩(wěn)定等優(yōu)點。4

生活應(yīng)用：蚊香的幾何特征將一單盤蚊香光滑面朝上，放置一水平面上，自上俯視，會觀察到的蚊香平面圖。將這條曲線單獨繪制出來，并加上一定的標(biāo)志，得到了蚊香香條曲線圖。點O為直線AB與曲線AB若干交點中位于最中間的一個交點。曲線OA實際上是單盤蚊香的香條外側(cè)邊線。觀察不同廠牌蚊香的實物，會發(fā)現(xiàn)其對應(yīng)的OA曲線上，接近點的一段，也就是所謂“太極頭”部位的曲線，在形狀上各有不同，但對于剩下的一大段曲線PA，則具有這樣的特征：曲線PA E任取一點Q，假使點Q可在曲線PA上移動，則點Q越接近點A，點Q與點O的直線距離(以r表示)越大；而且，每移動一定角度(以θ表示)，增加的值與該角度成正比。用學(xué)語言描述曲線QA的上述特征，可表示為： △φ=k△θ，或

(1)

式(1)中，k和C均為恒定常數(shù)，若以點O為極點，建立極坐標(biāo)，則選擇適當(dāng)方位的極軸，可以將式(1)轉(zhuǎn)移為：

(2)

式(2)中α為點A，即香條末端對應(yīng)的極角。式(2)所描述的曲線一單擻蚊香香條外側(cè)邊線．實際上正是“阿基米德螺線”。

需要說明的是，式(2)所描述的只是蚊香“太極頭”之外的香條曲線方程，由于不同廠牌蚊香的“太極頭”沒有統(tǒng)一固定的形狀，所以無法對其作出確切的描述。同時，由于“太極頭”一段香條的長度極短，因而其形狀對蚊香香條長度的影響事實上也可以忽略不計。

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

郎奠波 - 副教授 - 黑龍江財經(jīng)學(xué)院