[科普中國]-重力加速度

重力加速度（Gravitational acceleration）是一個(gè)物體受重力作用的情況下所具 有的加速度。也叫自由落體加速度，用g表示。方向豎直向下，其大小由多種方法可測定。

通常指地面附近物體受地球引力作用在真空中下落的加速度，記為g。為了便于計(jì)算，其近似標(biāo)準(zhǔn)值通常取為980厘米/秒的二次方或9.8米/秒的二次方。在月球、其他行星或星體表面附近物體的下落加速度，則分別稱月球重力加速度、某行星或星體重力加速度。

基礎(chǔ)知識(shí)定義1重力加速度（Gravitational acceleration）是一個(gè)物體受重力作用的情況下所具有的加速度。 假設(shè)一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)與一質(zhì)量為M的均勻球體的球心距離為r時(shí)，質(zhì)量所受的重力大小約等于兩物體間的萬有引力，為：

其中G為引力常數(shù)。 根據(jù)牛頓第二定律

F=ma=mg

可得重力加速度

三要素大小：與位置有關(guān)；（G=mg) （其中g(shù)=9.80665 m/s^2，為標(biāo)準(zhǔn)重力加速度）

方向：豎直向下；

作用點(diǎn)：重心1

證明自由落體運(yùn)動(dòng)時(shí)，a=g2。

證明： （ 為慣性質(zhì)量， 為引力質(zhì)量，經(jīng)力學(xué)單位制統(tǒng)一后，兩者數(shù)值上相等）

因?yàn)?img src="https://img-xml.kepuchina.cn/images/newsWire/3aExOXYpzfaK1SDVp9N0mNueYAsdXD5OomAG.jpg" alt="" />

所以

所以a=g2

自由落體⒈初速度

⒉末速度V=gt

⒊下落高度 （從 位置向下計(jì)算）

⒋推論**:**

注：⑴自由落體運(yùn)動(dòng)是初速度為零加速度為g的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，遵循勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律；

⑵a=g=9.8m/ ≈10m/ （重力加速度在赤道附近較小，在高山處比平地小，方向豎直向下）。

豎直上拋運(yùn)動(dòng)⒈位移

⒉末速度 =v0-gt （g=9.8m/ ≈10m/ ）

⒊有用推論

⒋上升最大高度 （拋出點(diǎn)算起）

⒌往返時(shí)間 （從拋出落回原位置的時(shí)間）

注：⑴全過程處理：是勻減速直線運(yùn)動(dòng)，以向上為正方向，加速度取負(fù)值；

⑵分段處理：向上為勻減速直線運(yùn)動(dòng)，向下為自由落體運(yùn)動(dòng)，具有對(duì)稱性；

⑶上升與下落過程具有對(duì)稱性，如在同點(diǎn)速度等值反向等。△s=

性質(zhì)重力加速度g的方向總是豎直向下的。在同一地區(qū)的同一高度，任何物體的重力加速度都是相同的。重力加速度的數(shù)值隨海拔高度增大而減小。當(dāng)物體距地面高度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于地球半徑時(shí)，g變化不大。而離地面高度較大時(shí)，重力加速度g數(shù)值顯著減小，此時(shí)不能認(rèn)為g為常數(shù)。

距離地面同一高度的重力加速度，也會(huì)隨著緯度的升高而變大。由于重力是萬有引力的一個(gè)分力，萬有引力的另一個(gè)分力提供了物體繞地軸作圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力。物體所處的地理位置緯度越高，圓周運(yùn)動(dòng)軌道半徑越小，需要的向心力也越小，重力將隨之增大，重力加速度也變大。地理南北兩極處的圓周運(yùn)動(dòng)軌道半徑為0，需要的向心力也為0，重力等于萬有引力，此時(shí)的重力加速度也達(dá)到最大。

通常指地面附近物體受地球引力作用在真空中下落的加速度，記為g。為了便于計(jì)算，其近似標(biāo)準(zhǔn)值通常取為980厘米/秒^2或9.8米/秒^2。在月球、其他行星或星體表面附近物體的下落加速度，則分別稱月球重力加速度、某行星或星體重力加速度。

在近代一些科學(xué)技術(shù)問題中，需考慮地球自轉(zhuǎn)的影響。更精確地說，物體的下落加速度g是由地心引力F（見萬有引力）和地球自轉(zhuǎn)引起的離心力Q（見相對(duì)運(yùn)動(dòng)）的合力W產(chǎn)生的（圖1）。Q的大小為mω(RE+H）cosδ,m為物體的質(zhì)量；ω為地球自轉(zhuǎn)的角速度；RE為地球半徑；H為物體離地面的高度；δ為物體所在的地球緯度。這個(gè)合力即實(shí)際見到的重力G=mg。地球重力加速度是垂直于大地水準(zhǔn)面的。在海平面上g隨緯度δ變化的公式（1967年國際重力公式）為：

g=978.03185（1+0.005278895*sinδ^2+0.00023462*sinδ^4）厘米/秒。

在高度為H的重力加速度g（1930年國際重力公式）同H和δ有關(guān)，即

g =978.049（1+0.005288*sinδ^2-0.000006*sin2δ^2)- 0.03086*H 厘米/秒，

式中H為以千米為單位的數(shù)值。

最早測定重力加速度的是伽利略。約在1590年，他利用斜面將g的測定改為測定微小加速度a=gsinθ，θ是斜面的傾角。測量重力加速度的另一方式是阿脫伍德機(jī)。1784年，G.阿脫伍德將質(zhì)量同為Μ的重塊用繩連接后，放在光滑的輕質(zhì)滑車上，再在一個(gè)重塊上附加一重量小得多的重塊m（圖2）。這時(shí)，重力拖動(dòng)大質(zhì)量物塊，使其產(chǎn)生一微小加速度，測得a后，即可算出g。后人又用擺和2Μ+m各種優(yōu)良的重力加速度計(jì)測定g。

地球上幾個(gè)不同緯度處的g值見下表；從中可以看出g值隨緯度的變化情況：

由于地球有自轉(zhuǎn)，所以略微呈橢球形，在一般情況下，重力加速度的方向不通過地心。重力加速度的測定，對(duì)物理學(xué)、地球物理學(xué)、重力探礦、空間科學(xué)等都具有重要意義3

概念延伸地球表面在地球表面附近，一質(zhì)點(diǎn)的自由落體加速度g與它的重力加速度a稍微不同，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的重量mg與它所受的重力（萬有引力和慣性力的共同作用叫重力）也不同，原因是地球會(huì)自轉(zhuǎn)。若考慮地球自轉(zhuǎn)，則：

(測量到的重量mg)=(萬有引力)-(質(zhì)量m×向心加速度(w^2)*R)

可以得到：

(自由落體加速度g)=(萬有引力)-(向心加速度(w^2)*R)4

注意以上式子中的減法為矢量相減。自由落體加速度實(shí)際上是小于重力加速度的，方向也略有區(qū)別，在赤道上則相差最多，但由于地球的半徑與自轉(zhuǎn)周期的關(guān)系，兩者大約只相差0.034m(s^2)，因此在日常使用的計(jì)算上，重量與重力之間的差異通常是可忽略的。

地表附近的所有物體下降的加速度都介于9.78和9.83m/(s^2);之間，差別是取決于緯度等因素(赤道最少，南北極最大)，標(biāo)準(zhǔn)重力加速度是9.80665 m/s^2;（為方便計(jì)算，一般使用9.81 m/(s^2);9.8 m/(s^2);或10 m(s^2);）。5

常用數(shù)值由于g隨經(jīng)度變化不大，因此國際上將在緯度45°的海平面精確測得物體的重力加速度g=9.80665米/秒^2**;**作為重力加速度的標(biāo)準(zhǔn)值。在解決地球表面附近的問題中，通常將g作為常數(shù)，在一般計(jì)算中可以取g=9.80米/秒^2；。理論分析及精確實(shí)驗(yàn)都表明，隨緯度的提高，重力加速度g的數(shù)值略有增大，如赤道附近g=9.780米/秒^2，

廣州g=9.788米/秒^2。

武漢g=9.794米/秒^2。

上海g=9.794米/秒^2。

東京g=9.798米/秒^2。

北京g=9.801米/秒^2。

紐約g=9.803米/秒^2。

莫斯科g=9.816米/秒^2。

北極地區(qū)g=9.832米/秒^2。6

各緯度海平面的重力加速度（m/s^2）

|| ||

不同高度的重力加速度 (m/s^2）

|| ||

注：如果上升高度不大,則每升1km，g 減少0.03%。

重力加速度g不同單位制之間的換算關(guān)系為：重力加速度g = 9.81m/s^2**;= 981cm/s^2; = 32.18ft/s^2;**

注：圖為測量的一種重力加速度試驗(yàn)單

月球表面的重力加速度約為1.62 m/s^2**;**，約為地球重力的六分之一

△g緯=8.14sin2φ×D（φ為緯度值，D為緯向距離、在北半球向北為正），即在北緯45°附近向北一公里 g增大8.14g.u.=8.14×10^-6m/s^2

△g高=-3.086△h（g.u.），即高度差距不太大時(shí)，每升高1米g減小3.086g.u.=3.086×10^-6m/s^2

精確計(jì)算嚴(yán)格說來，質(zhì)點(diǎn)受到萬有引力是質(zhì)點(diǎn)的重力和質(zhì)點(diǎn)隨地球繞自轉(zhuǎn)軸作勻速圓周運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生向心力的矢量和。那么，重力就是質(zhì)點(diǎn)受到萬有引力和質(zhì)點(diǎn)隨地球繞自轉(zhuǎn)軸作勻速圓周運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生向心力的矢量差。

假設(shè)地球質(zhì)量是M，質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量是m，質(zhì)點(diǎn)所在緯度是θ，海拔高度h，此處的地球半徑是R，地球自轉(zhuǎn)的角速度是ω，萬有引力常數(shù)是G，質(zhì)點(diǎn)和地球自轉(zhuǎn)軸之間的距離是r，那么顯然有r=(R+h)cosθ。此時(shí)，萬有引力F引=GMm/(R+h)^2，向心力F向=mrω^2=mω^2(R+h)cosθ

由余弦定理得G^2=F引^2+F向^2-2F引F向cosθ

具體公式見圖片。

上式是理論上的公式，實(shí)際應(yīng)用可用下式

g=9.78049（1 + 0.0052884 (Sinθ）^2 - 0.0000059 *(Sin2θ） ^ 2） - 0.00000286h

計(jì)算方法因?yàn)镕= ,F=G=mg

所以g=GM/r^2（gr^2=GM被稱為黃金代換）

G：引力常量=6.67259*10^-11N㎡/kg^2(m^3/k·gs^2）

M：中心天體質(zhì)量/千克

r：天體中心與物體中心的距離/m

g的單位是m/s^2或N/kg

精確的重力加速度在近代一些科學(xué)技術(shù)問題中，需考慮地球自轉(zhuǎn)的影響。更精確地說，物體的下落加速度g是由地心引力F（見萬有引力）和地球自轉(zhuǎn)引起的離心力Q（見相對(duì)運(yùn)動(dòng)）的合力W產(chǎn)生的（圖1）。Q的大小為

m為物體的質(zhì)量；ω為地球自轉(zhuǎn)的角速度； 為地球半徑；H為物體離地面的高度； 為物體所在的地球緯度。這個(gè)合力即實(shí)際見到的重力W=mg。地球重力加速度是垂直于大地水準(zhǔn)面的。在海平面上g隨緯度 變化的公式（1967年國際重力公式）為：

在高度為H的重力加速度g（1930年國際重力公式）同H和 有關(guān)，即

式中H為以米為單位的數(shù)值。

最早測定重力加速度的是伽利略。約在1590年，他利用斜面將g的測定改為測定微小加速度a=gsinθ，θ是斜面的傾角。測量重力加速度的另一方式是阿脫伍德機(jī)。1784年，G. 阿脫伍德將質(zhì)量同為M的重塊用繩連接后，放在光滑的輕質(zhì)滑車上，再在一個(gè)重塊上附加一重量小得多的重塊m（圖2）。這時(shí)，重力拖動(dòng)大質(zhì)量物塊，使其產(chǎn)生一微小加速度，測得a后，即可算出g。后人又用擺和各種優(yōu)良的重力加速度計(jì)測定g。

地球上幾個(gè)不同緯度處的g值見下表；從中可以看出g值隨緯度的變化情況：

由于地球是微橢球形的，加之有自轉(zhuǎn)，在一般情況下，重力加速度的方向不通過地心，重力加速度的測定，對(duì)物理學(xué)、地球物理學(xué)、重力探礦、空間科學(xué)等都具有重要意義。

逃逸速度一個(gè)質(zhì)量為m的物體具有速度v，則它具有的動(dòng)能為mv^2/2。假設(shè)無窮遠(yuǎn)地方的引力勢能為零（應(yīng)為物體距離地球無窮遠(yuǎn)時(shí)，物體受到的引力勢能為零，所以這個(gè)假設(shè)是合理的），則距離地球距離為r的物體的勢能為-mar(a為該點(diǎn)物體的重力加速度，負(fù)號(hào)表示物體的勢能比無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的勢能小）。又因?yàn)榈厍驅(qū)ξ矬w的引力可視為物體的重量，所以有

GmM/r^2=ma

即a=(GM)/r^2.

所以物體的勢能又可寫為-GmM/r，其中M為地球質(zhì)量。設(shè)物體在地面的速度為V，地球半徑為R，則根據(jù)能量守恒定律可知，在地球表面物體動(dòng)能與勢能之和等于在r處的動(dòng)能與勢能之和，即

mV^2/2+(-GMm/R)=mv^2/2+(-GmM/r）。

當(dāng)物體擺脫地球引力時(shí)，r可看作無窮大，引力勢能為零，則上式變?yōu)?/p>

mV^2/2-GmM/R=mv^2/2.

顯然，當(dāng)v等于零時(shí)，所需的脫離速度V最小，即

V=2GM/R開根號(hào)，

又因?yàn)?/p>

GMm/R^2=mg,

所以

V=2gR開根號(hào)，

另外，由上式可見逃逸速度（第二宇宙速度）恰好等于第一宇宙速度的根號(hào)2倍。

其中g(shù)為地球表面的重力加速度，其值為9.8牛頓/千克。地球半徑R約為6370千米，從而最終得到地球的脫離速度為11.17千米/秒。

不同天體有不同的逃逸速度，脫離速度公式也同樣適用于其他天體。

天體計(jì)算宇宙總是那么奧妙無窮，我們知道天體的質(zhì)量非常大，人們又是如何測量出天體的質(zhì)量的呢？

一、 用萬有引力定律和牛頓運(yùn)動(dòng)定律估算天體質(zhì)量

在天體運(yùn)動(dòng)中，近似認(rèn)為天體的運(yùn)動(dòng)是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在其運(yùn)動(dòng)過程中起決定因素的是萬有引力，即萬有引力提供天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，有G(mM/r2）=m × （2π/T)2×r 其中周期可通過天文觀測方式獲得，從而可得天體質(zhì)量為：M = [（2π/T)2×r3] / G

二 . 用萬有引力計(jì)算天體軌道.

在天文尺度下物體的運(yùn)動(dòng)服從經(jīng)典理論，因此可以從已知的邊界條件（速度，位置，自旋）然后通過經(jīng)典力學(xué)公式推算天體軌道，一個(gè)著名的例子是太陽系行星海王星的預(yù)測.（詳見百度百科詞條：海王星）

參考文獻(xiàn)2

1、詞條作者：高為炳．《中國大百科全書》74卷（第一版）力學(xué) 詞條：重力加速度：中國大百科全書出版社，1987 ：596-597頁．

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

郎奠波 - 副教授 - 黑龍江財(cái)經(jīng)學(xué)院