[科普中國(guó)]-尺規(guī)作圖

尺規(guī)作圖是指用無(wú)刻度的****直尺和圓規(guī)作圖。尺規(guī)作圖是起源于古希臘的數(shù)學(xué)課題。只使用圓規(guī)和直尺，并且只準(zhǔn)許使用有限次，來(lái)解決不同的平面幾何作圖題1。尺規(guī)作圖使用的直尺和圓規(guī)帶有想像性質(zhì)，跟現(xiàn)實(shí)中的并非完全相同：

1、直尺必須沒(méi)有刻度，無(wú)限長(zhǎng)，且只能使用直尺的固定一側(cè)。只可以用它來(lái)將兩個(gè)點(diǎn)連在一起，不可以在上畫(huà)刻度；

2、圓規(guī)可以開(kāi)至無(wú)限寬，但上面亦不能有刻度。它只可以拉開(kāi)成之前構(gòu)造過(guò)的長(zhǎng)度。

義務(wù)教育階段學(xué)生首次接觸的尺規(guī)作圖是“作一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段”。

定義僅以“有限次使用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖”這樣的措辭作為定義顯然是不夠嚴(yán)密的，因?yàn)椴幌薅俊按巍币詢(xún)?nèi)的操作復(fù)雜度的話(huà)，“有限次”就成無(wú)意義的了。

因此，一般采用的定義是基于“作圖公法”的定義，即：

1. 每次的操作只能是公認(rèn)允許的五項(xiàng)基本操作（稱(chēng)為五項(xiàng)作圖公法）之一。

2. 每次操作之前，操作者為決定是否操作和進(jìn)行哪種操作可以進(jìn)行的邏輯判斷，也只能是幾何學(xué)中公認(rèn)允許的幾種。

基于“作圖公法”的定義如下：

尺規(guī)作圖定義

承認(rèn)以下五項(xiàng)前提，有限次運(yùn)用以下五項(xiàng)公法而完成的作圖方法，就是合法的尺規(guī)作圖：

五項(xiàng)前提是：

(1) 允許在平面上、直線(xiàn)上、圓弧線(xiàn)上已確定的范圍內(nèi)任意選定一點(diǎn)（所謂“確定范圍”，依下面四條的規(guī)則）。

(2) 可以判斷同一直線(xiàn)上不同點(diǎn)的位置次序。

(3) 可以判斷同一圓弧線(xiàn)上不同點(diǎn)的位置次序。

(4) 可以判斷平面上一點(diǎn)在直線(xiàn)的哪一側(cè)。

(5) 可以判斷平面上一點(diǎn)在圓的內(nèi)部還是外部。

五項(xiàng)公法是：

(1) 根據(jù)兩個(gè)已經(jīng)確定的點(diǎn)作出經(jīng)過(guò)這兩個(gè)點(diǎn)的直線(xiàn)。

(2) 以一個(gè)已經(jīng)確定的點(diǎn)為圓心，以?xún)蓚€(gè)已經(jīng)確定的點(diǎn)之間的距離為半徑作圓。

(3) 確定兩個(gè)已經(jīng)做出的相交直線(xiàn)的交點(diǎn)。

(4) 確定已經(jīng)做出的相交的圓和直線(xiàn)的交點(diǎn)。

(5) 確定已經(jīng)做出的相交的兩個(gè)圓的交點(diǎn)。

也有些資料上給出的五項(xiàng)公法的后兩條中的“交點(diǎn)”改為“公共點(diǎn)”。這兩種敘述差別在于后者多包括了“切點(diǎn)”。但是，因?yàn)榇_定切點(diǎn)即使不算基本操作，也是可以用其它基本操作組合實(shí)現(xiàn)的。所以，兩種敘述的定義并無(wú)本質(zhì)不同。

八種基本作圖1、作一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段

2、作一個(gè)角等于已知角

3、作已知線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)

4、作已知角的角平分線(xiàn)

5、過(guò)一點(diǎn)作已知直線(xiàn)的垂線(xiàn)

6、已知三邊作三角形

7、已知兩角、一邊作三角形

8、已知一角、兩邊作三角形

基本方法以下是尺規(guī)作圖中可用的基本方法，也稱(chēng)為作圖公法，任何尺規(guī)作圖的步驟均可分解為以下五種方法2：

1、通過(guò)兩個(gè)已知點(diǎn)可作一直線(xiàn)。

2、已知圓心和半徑可作一個(gè)圓。·

3、若兩已知直線(xiàn)相交，可求其交點(diǎn)。

4、若已知直線(xiàn)和一已知圓相交，可求其交點(diǎn)。

5、若兩已知圓相交，可求其交點(diǎn)。

作圖實(shí)例

|| || 過(guò)三點(diǎn)作圓

|| || 作頂點(diǎn)分別在三平行線(xiàn)上的正三角形

著名問(wèn)題尺規(guī)作圖不能問(wèn)題就是不可能用尺規(guī)作圖完成的作圖問(wèn)題。其中最著名的是被稱(chēng)為幾何三大問(wèn)題的古典難題：

**■倍立方問(wèn)題：**作一個(gè)立方體，使它的體積是已知立方體的體積的兩倍；

**■化圓為方問(wèn)題：**作一個(gè)正方形，使它的面積等于已知圓的面積。

**■三等分角：**作一個(gè)角，將其分為三個(gè)相等的部分。

以上三個(gè)問(wèn)題在2400年前的古希臘已提出這些問(wèn)題，但在歐幾里得幾何學(xué)的限制下，以上三個(gè)問(wèn)題都不可能解決的。直至1837年，法國(guó)數(shù)學(xué)家萬(wàn)芝爾才首先證明“三等分角”和“倍立方”為尺規(guī)作圖不能問(wèn)題。而后在1882年德國(guó)數(shù)學(xué)家林德曼證明π是超越數(shù)后，“化圓為方”也被證明為尺規(guī)作圖不能問(wèn)題。

還有另外兩個(gè)著名問(wèn)題：

■作正多邊形

只使用直尺和圓規(guī)，作正五邊形。

只使用直尺和圓規(guī)，作正六邊形。

只使用直尺和圓規(guī)，作正七邊形——這個(gè)看上去非常簡(jiǎn)單的題目，曾經(jīng)使許多著名數(shù)學(xué)家都束手無(wú)策，因?yàn)檎哌呅问遣荒苡沙咭?guī)作出的。

只使用直尺和圓規(guī)，作正九邊形，此圖也不能作出來(lái)，因?yàn)閱斡弥背吆蛨A規(guī)，是不足以把一個(gè)角分成三等份的。

問(wèn)題的解決：高斯，大學(xué)二年級(jí)時(shí)得出正十七邊形的尺規(guī)作圖法，并給出了可用尺規(guī)作圖的正多邊形的條件：尺規(guī)作圖正多邊形的邊數(shù)目必須是2的非負(fù)整數(shù)次方和不同的費(fèi)馬數(shù)的積，解決了兩千年來(lái)懸而未決的難題。

■四等分圓周

只準(zhǔn)許使用圓規(guī)，將一個(gè)已知圓心的圓周4等分．這個(gè)問(wèn)題傳言是拿破侖·波拿巴出的，向全法國(guó)數(shù)學(xué)家的挑戰(zhàn)。

簡(jiǎn)史中國(guó)古代“規(guī)”就是圓規(guī)，是用來(lái)畫(huà)圓的工具，在我國(guó)古代甲骨文中就有“規(guī)”這個(gè)字?！熬亍本拖衲竟な褂玫慕浅撸砷L(zhǎng)短兩尺相交成直角而成，兩者間用木杠連接以使其牢固，其中短尺叫勾，長(zhǎng)尺叫股。

矩的使用是我國(guó)古代的一個(gè)發(fā)明，山東歷城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手執(zhí)矩，女?huà)z氏手執(zhí)規(guī)”之圖形.矩不僅可以畫(huà)直線(xiàn)、直角，加上刻度可以測(cè)量，還可以代替圓規(guī).甲骨文中也有矩字，這可追溯到大禹治水(公元前2000年)前.

《史記》卷二記載大禹治水時(shí)“左準(zhǔn)繩，右規(guī)矩”.趙爽注《周髀算經(jīng)》中有“禹治洪水，……望山川之形，定高下之勢(shì)，……乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水，要先測(cè)量地勢(shì)的高低，就必定要用勾股的道理.這也說(shuō)明矩起源于很遠(yuǎn)的中國(guó)古代.

春秋時(shí)代也有不少著作涉及規(guī)矩的論述，《墨子》卷七中說(shuō)“輪匠(制造車(chē)子的工匠)執(zhí)其規(guī)矩，以度天下之方圓.”《孟子》卷四中說(shuō)“離婁(傳說(shuō)中目力非常強(qiáng)的人)之明，公輸子(即魯班，傳說(shuō)木匠的祖師)之巧，不以規(guī)矩，不能成方圓.”可見(jiàn)，在春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，規(guī)矩已被廣泛地用于作圖、制作器具了.由于我國(guó)古代的矩上已有刻度，因此使用范圍較廣，具有較大的實(shí)用性。

古希臘古代希臘人較重視規(guī)、矩在數(shù)學(xué)中訓(xùn)練思維和智力的作用，而忽視規(guī)矩的實(shí)用價(jià)值.因此，在作圖中對(duì)規(guī)、矩的使用方法加以很多限制，提出了尺規(guī)作圖問(wèn)題.所謂尺規(guī)作圖，就是只有限次地使用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)進(jìn)行作圖.

古希臘的安那薩哥拉斯首先提出作圖要有尺寸限制.他因政治上的糾葛，被關(guān)進(jìn)監(jiān)獄，并被判處死刑.在監(jiān)獄里，他思考改圓成方以及其他有關(guān)問(wèn)題，用來(lái)打發(fā)令人苦惱的無(wú)所事事的生活.他不可能有規(guī)范的作圖工具，只能用一根繩子畫(huà)圓，用隨便找來(lái)的破木棍作直尺，當(dāng)然這些尺子上不可能有刻度.另外，對(duì)他來(lái)說(shuō)，時(shí)間是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺規(guī)解決問(wèn)題.后來(lái)以理論形式具體明確這個(gè)規(guī)定的是歐幾里德的《幾何原本》。

由于《幾何原本》的巨大影響，希臘人所崇尚的尺規(guī)作圖也一直被遵守并流傳下來(lái)。

近代西方由于對(duì)尺規(guī)作圖的限制，使得一些貌似簡(jiǎn)單的幾何作圖問(wèn)題無(wú)法解決.最著名的是被稱(chēng)為幾何三大問(wèn)題的三個(gè)古希臘古典作圖難題：立方倍積問(wèn)題、三等分任意角問(wèn)題和化圓為方問(wèn)題.當(dāng)時(shí)很多有名的希臘數(shù)學(xué)家，都曾著力于研究這三大問(wèn)題，雖然借助于其他工具或曲線(xiàn)，這三大難題都可以解決，但由于尺規(guī)作圖的限制，卻一直未能如愿以?xún)?以后兩千年來(lái)，無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家為之絞盡腦汁，都以失敗而告終.直到1637年笛卡爾創(chuàng)立了解析幾何，關(guān)于尺規(guī)作圖的可能性問(wèn)題才有了準(zhǔn)則.到了1837年萬(wàn)芝爾首先證明立方倍積問(wèn)題和三等分任意角問(wèn)題都屬于尺規(guī)作圖不可能問(wèn)題.1882年林德曼證明了π是超越數(shù)，化圓為方問(wèn)題不可能用尺規(guī)作圖解決，這才結(jié)束了歷時(shí)兩千年的數(shù)學(xué)難題公案。

判定準(zhǔn)則從坐標(biāo)系觀(guān)點(diǎn)看，所有的點(diǎn)和線(xiàn)都可以用坐標(biāo)、方程的參量來(lái)代替，尺規(guī)作圖能夠完成兩根線(xiàn)段的和差積商，因此可做圖的數(shù)成為一個(gè)域。

直線(xiàn)和圓都是二次方程，稍微細(xì)致的討論可知，尺規(guī)作圖能夠完成開(kāi)平方，也就是域的二次擴(kuò)張。

因此，如果已知量與有理數(shù)生成的數(shù)域?yàn)?img src="https://img-xml.kepuchina.cn/images/newsWire/yASRb3oST3dRtgDantdyTB6HaVSN52mWuxab.jpg" alt="" />,量可以尺規(guī)作圖的充要條件是，存在域塔：

其中相鄰的域擴(kuò)張都是二次的3。

即除了四則運(yùn)算之外，只用到開(kāi)平方的，可以尺規(guī)作圖。

但如果是開(kāi)立方之類(lèi)的情況，除了完全立方之類(lèi)的特殊情況，一般不能尺規(guī)作圖。

當(dāng)然，開(kāi)四次方八次方，可以連續(xù)開(kāi)平方，所以也是可以尺規(guī)作圖的。

影響幾何三大問(wèn)題如果不限制作圖工具，便很容易解決.從歷史上看，好些數(shù)學(xué)結(jié)果是為解決三大問(wèn)題而得出的副產(chǎn)品，特別是開(kāi)創(chuàng)了對(duì)圓錐曲線(xiàn)的研究，發(fā)現(xiàn)了一批著名的曲線(xiàn)等等。不僅如此，三大問(wèn)題還和近代的方程論、群論等數(shù)學(xué)分支發(fā)生了關(guān)系。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

郭學(xué)軍 - 教授 - 南京大學(xué)