[科普中國(guó)]-函子

函子首先現(xiàn)身于代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)，其中拓?fù)淇臻g的連續(xù)映射給出相應(yīng)的代數(shù)對(duì)象（如基本群、同調(diào)群或上同調(diào)群）的代數(shù)同態(tài)。在當(dāng)代數(shù)學(xué)中，函子被用來(lái)描述各種范疇間的關(guān)系。“函子”（英文：Functor）一詞借自哲學(xué)家魯?shù)婪颉た柤{普的用語(yǔ)?？柤{普使用“函子”這一詞和函數(shù)之間的相關(guān)來(lái)類(lèi)比謂詞和性質(zhì)之間的相關(guān)。對(duì)卡爾納普而言，不同于當(dāng)代范疇論的用法，函子是個(gè)語(yǔ)言學(xué)的詞匯。對(duì)范疇論者來(lái)說(shuō)，函子則是個(gè)特別類(lèi)型的函數(shù)。

令 和 是兩個(gè)范疇。一個(gè)從 到 函子F由如下信息給出1：

1）將每個(gè)對(duì)象 映射至一對(duì)象 上，

2）將每個(gè)態(tài)射 映射至一態(tài)射 上，使之滿(mǎn)足下列條件：

3）對(duì)任何對(duì)象 ，恒有 。

4）對(duì)任何態(tài)射 ，恒有 。換言之，函子會(huì)保持單位態(tài)射與態(tài)射的復(fù)合。

一個(gè)由一范疇映射至其自身的函子稱(chēng)之為“自函子”。

常函子（Constant functor）：把 中的所有對(duì)象都對(duì)應(yīng)到 中的一個(gè)固定的對(duì)象 ，且把 中的態(tài)射都對(duì)應(yīng)到 的恒等態(tài)射 。

恒等函子（Identity functor）： ，把 中的對(duì)象和態(tài)射都對(duì)應(yīng)到其自身。

遺忘函子：“遺忘”掉某些結(jié)構(gòu)的函子，例如 是群全體和群同態(tài)構(gòu)成的范疇， 是集合全體和集合間的映射構(gòu)成的范疇，則 把群對(duì)應(yīng)到去掉乘法運(yùn)算后的集合，把群同態(tài)對(duì)應(yīng)為映射就是一個(gè)遺忘函子。

對(duì)角函子：對(duì)角函子被定義為由 至函子范疇 的函子，將每個(gè)在 內(nèi)的對(duì)象映射至此對(duì)象的常數(shù)函子上。

極限函子：對(duì)一固定的指標(biāo)范疇，若每個(gè)函子 都有個(gè)極限（即若 為完全的），則極限函子 即為將每個(gè)函子映射至其極限的函子。此類(lèi)函子的存在性可以由將其理解為對(duì)角函子的右伴隨函子，且引入福端伴隨函子定理來(lái)證明之。這需要一個(gè)適當(dāng)版本的選擇公理。相似的說(shuō)法也可應(yīng)用在上極限函子（其為協(xié)變的）之中。

雙函子是函子概念在“雙變?cè)睍r(shí)的推廣。形式的定義則定義在兩個(gè)范疇的積上的函子 。函子 是一個(gè)自然的例子，它對(duì)第一個(gè)變?cè)醋?，?duì)第二個(gè)變?cè)獏f(xié)變。

1) 雙函子是有“兩個(gè)”引數(shù)的函子。同態(tài)函子即為一個(gè)例子；其第一個(gè)引數(shù)為反變的，第二個(gè)引數(shù)則為協(xié)變的。形式上來(lái)說(shuō)，雙函子是一個(gè)其定義域?yàn)榉e范疇的函子。例子，同態(tài)函子即為 。

2) 多函子是將函子的概念廣義化至 個(gè)引數(shù)。而雙函子當(dāng)然是一個(gè) 的多函子。

從函子的公理中可得出兩個(gè)重要的推論2：

1) 將每個(gè)在 中的交換圖變換成中的一個(gè)交換圖；

2) 若 為 中的一個(gè)同構(gòu)，則F(f)也會(huì)為 中的一個(gè)同構(gòu)。

若函子 滿(mǎn)足 為同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng) 為同構(gòu)，則稱(chēng)之為保守函子。

在任意范疇 上，可定義一個(gè)單位函子 ，其將每個(gè)對(duì)象和態(tài)射映射至其自身。也可以將函子復(fù)合，即若F為一由 至 的函子且 為一由 至 的函子，則可組成一個(gè)由 的復(fù)合函子。函子的復(fù)合依定義是可結(jié)合的。這顯示函子可以被認(rèn)為是范疇的范疇中的態(tài)射。

一個(gè)只具單一對(duì)象的小范疇等同于一個(gè)幺半群，此一單一對(duì)象范疇的態(tài)射可被視為是幺半群中的元素，且其在范疇中的復(fù)合則可以視為是幺半群中的運(yùn)算。此時(shí)這類(lèi)范疇間的函子無(wú)非是幺半群間的同態(tài)。在此意義下，任意范疇間的函子可被視為是幺半群同態(tài)至多于一個(gè)對(duì)象的范疇的一種廣義化。

1)本質(zhì)滿(mǎn)射函子：使得值域中任意對(duì)象皆同構(gòu)于某個(gè) 的函子。

2)正合函子：保存有限極限的函子。在阿貝爾范疇中相當(dāng)于保存正合序列。

3) 忠實(shí)函子：使得對(duì)任意對(duì)象 ， 為單射的函子。

4)完全函子：使得對(duì)任意對(duì)象 ， 為滿(mǎn)射的函子。

5)完全忠實(shí)函子：既完全且忠實(shí)的函子稱(chēng)為完全忠實(shí)函子。 是完全忠實(shí)函子的充要條件是 是范疇的等價(jià)，其中 表示 中由 的像生成的滿(mǎn)子范疇。

6)保守函子：使得 為同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng) 為同構(gòu)的函子。

7)加法函子：指預(yù)加法范疇（或加法范疇）中保存同態(tài)集（以及雙積）的阿貝爾群結(jié)構(gòu)的函子。

8)伴隨函子： 滿(mǎn)足下述條件時(shí)稱(chēng)為一對(duì)伴隨函子： 。