[科普中國]-中值定理

中值定理是反映函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間聯(lián)系的重要定理，也是微積分學(xué)的理論基礎(chǔ)，在許多方面它都有重要的作用，在進(jìn)行一些公式推導(dǎo)與定理證明中都有很多應(yīng)用。中值定理是由眾多定理共同構(gòu)建的，其中拉格朗日中值定理是核心，羅爾定理是其特殊情況，柯西定理是其推廣。

簡介定義函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)是兩個不同的函數(shù)；而導(dǎo)數(shù)只是反映函數(shù)在一點(diǎn)的局部特征；如果要了解函數(shù)在其定義域上的整體性態(tài)，就需要在導(dǎo)數(shù)及函數(shù)間建立起聯(lián)系，微分中值定理就是這種作用。微分中值定理，包括羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理。是溝通導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)值之間的橋梁，是利用導(dǎo)數(shù)的局部性質(zhì)推斷函數(shù)的整體性質(zhì)的工具。以羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理組成的一組中值定理是一整個微分學(xué)的理論基礎(chǔ)。拉格朗日中值定理，建立了函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值之間的定量聯(lián)系，因而可用中值定理通過導(dǎo)數(shù)去研究函數(shù)的性態(tài)；中值定理的主要作用在于理論分析和證明；同時由柯西中值定理還可導(dǎo)出一個求極限的洛必達(dá)法則。中值定理的應(yīng)用主要是以中值定理為基礎(chǔ)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)上升，下降，取極值，凹形，凸形和拐點(diǎn)等項(xiàng)的重要性態(tài)。從而能把握住函數(shù)圖象的各種幾何特征。在極值問題上也有重要的實(shí)際應(yīng)用。1

實(shí)際應(yīng)用微積分是與實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系著發(fā)展起來的，它在天文學(xué)、力學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)、社會科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)等多個分支中，有越來越廣泛的應(yīng)用。特別是計算機(jī)的發(fā)明更有助于這些應(yīng)用的不斷發(fā)展。

客觀世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始終都在運(yùn)動和變化著。因此在數(shù)學(xué)中引入了變量的概念后，就有可能把運(yùn)動現(xiàn)象用數(shù)學(xué)來加以描述了。

由于函數(shù)概念的產(chǎn)生和運(yùn)用的加深，也由于科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要，一門新的數(shù)學(xué)分支就繼解析幾何之后產(chǎn)生了，這就是微積分學(xué)。微積分學(xué)這門學(xué)科在數(shù)學(xué)發(fā)展中的地位是十分重要的，可以說它是繼歐氏幾何后，全部數(shù)學(xué)中的最大的一個創(chuàng)造。

相關(guān)概念微分學(xué)微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱。它是一種數(shù)學(xué)思想，‘無限細(xì)分’就是微分，‘無限求和’就是積分。十七世紀(jì)后半葉，牛頓和萊布尼茨完成了許多數(shù)學(xué)家都參加過準(zhǔn)備的工作，分別獨(dú)立地建立了微積分學(xué)。他們建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無窮小量，但是理論基礎(chǔ)是不牢固的。因?yàn)椤盁o限”的概念是無法用已經(jīng)擁有的代數(shù)公式進(jìn)行演算，所以，直到十九世紀(jì)，柯西和維爾斯特拉斯建立了極限理論，康托爾等建立了嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論，這門學(xué)科才得以嚴(yán)密化。

微積分學(xué)基本定理指出，求不定積分與求導(dǎo)函數(shù)互為逆運(yùn)算（把上下限代入不定積分即得到積分值，而微分則是導(dǎo)數(shù)值與自變量增量的乘積），這也是兩種理論被統(tǒng)一成微積分學(xué)的原因。

極限學(xué)習(xí)微積分學(xué)，首要的一步就是要理解到，“極限”引入的必要性：因?yàn)?，代?shù)是人們已經(jīng)熟悉的概念，但是，代數(shù)無法處理“無限”的概念。所以為了要利用代數(shù)處理代表無限的量，于是精心構(gòu)造了“極限”的概念。在“極限”的定義中，繞過了用一個數(shù)除以0的麻煩，而引入了一個過程任意小量。就是說，除數(shù)不是零，所以有意義，同時，這個過程小量可以取任意小，只要滿足在Δ的區(qū)間內(nèi)，都小于該任意小量，我們就說他的極限為該數(shù)。

應(yīng)用在一些等式的證明中，我們往往容易思維定式，只是對于原來的式子要從哪去證明，很不容易去聯(lián)系其它，只從式子本身所表達(dá)的意思去證明。已知有這樣一個推論，若函數(shù) 在區(qū)間I上可導(dǎo)，且連續(xù)，則 為I上的一個常量函數(shù)。它的幾何意義為：斜率處處為0的曲線一定是平行于x軸的直線。這個推論的證明應(yīng)用拉格朗日中值定理。

無窮?。ù螅┝侩A的比較時，看到兩個無窮?。ù螅┝恐鹊臉O限可能存在，也可能不存在。如果存在，其極限值也不盡相同。稱兩個無窮小量或兩個無窮大量之比的極限為 型或 型不定式極限。解決這種極限的問題通常要用到洛比達(dá)法則。這是法則的內(nèi)容，而在計算時往往都是直接的應(yīng)用結(jié)論，沒有注意到定理本身的證明，而這個定理的證明也應(yīng)用到了中值定理2。

在一元函數(shù)微分學(xué)中，微分中值定理是應(yīng)用函數(shù)的局部性質(zhì)研究函數(shù)在區(qū)間上整體性質(zhì)的重要工具，它在數(shù)學(xué)分析中占有重要的地位，其中拉格朗日中值定理是核心，羅爾定理是其特殊情況，柯西定理是其推廣。拉格朗日微分中值定理有許多推廣，這些推廣有一些基本的特點(diǎn)，這就是把定理?xiàng)l件中可微性概念拓寬，然后推廣微分中值表達(dá)公式。微分中值定理的應(yīng)用為數(shù)學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展提供了廣闊的天地。

類別拉格朗日中值定理中值定理是微積分學(xué)中的基本定理，由四部分組成。

內(nèi)容是說一段連續(xù)光滑曲線中必然有一點(diǎn)，它的斜率與整段曲線平均斜率相同（嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表達(dá)參見下文）。中值定理又稱為微分學(xué)基本定理，拉格朗日定理，拉格朗日中值定理，以及有限改變量定理等。

如果函數(shù) 滿足在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；在開區(qū)間(a,b）內(nèi)可導(dǎo)，那么在（a,b）內(nèi)至少有一點(diǎn) ，使等式 成立。

羅爾定理如果函數(shù) 滿足在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)；在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即 ，那么在（a,b）內(nèi)至少有一點(diǎn) ，使得 ；

補(bǔ)充：幾何上，羅爾定理的條件表示，曲線弧 （方程為）是一條連續(xù)的曲線弧，除端點(diǎn)外處處有不垂直于 軸的切線，且兩端點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等。而定理結(jié)論表明，弧上至少有一點(diǎn) ，曲線在該點(diǎn)切線是水平的。

柯西中值定理如果函數(shù) 及 滿足:

⑴在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

⑵在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)；

⑶對任一x屬于(a,b），F(xiàn)'(x)不等于0

那么在（a,b) 內(nèi)至少有一點(diǎn) ，使等式 成立。也叫Cauchy中值定理。

若令u=f(x),v=g(x），這個形式可理解為參數(shù)方程，而 則是連接參數(shù)曲線的端點(diǎn)斜率， 表示曲線上某點(diǎn)處的切線斜率，在定理的條件下，可理解如下：用參數(shù)方程表示的曲線上至少有一點(diǎn)，它的切線平行于兩端點(diǎn)所在的弦，這一點(diǎn)Lagrange也具有，但是Cauchy中值定理除了適用y=f(x）表示的曲線，還適用于參數(shù)方程表示的曲線。

當(dāng)柯西中值定理中的g(x)=x時，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。3

積分中值定理f(x）在a到b上的積分等于 ），其中c滿足a