[科普中國(guó)]-曳物線

曳物線是指被曳拉物體受垂直于初始靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)繩線方向的牽引力作用下的運(yùn)動(dòng)軌跡。又稱(chēng)“追跡曲線”、“犬線”。用長(zhǎng)度為 a 的細(xì)繩，一端系一物體 p ，另一端 q 自點(diǎn) O 出發(fā)，沿著過(guò)點(diǎn) O 的一條直線 l 分別向兩個(gè)方向運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn) p 的軌跡稱(chēng)為曳物線。

簡(jiǎn)介曳物線是研究物理現(xiàn)象中常見(jiàn)的一種曲線。

用長(zhǎng)度為 a 的細(xì)線牽引一個(gè)質(zhì)點(diǎn) M，使細(xì)線另一端 P 沿不過(guò)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)定直線移動(dòng)，這時(shí)質(zhì)點(diǎn) M 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡。定直線是曳物線的每一條切線與定直線的交點(diǎn)到切點(diǎn)到距離恒為 a。

取定直線為 x 軸，并假設(shè)開(kāi)始時(shí)，質(zhì)點(diǎn)位于點(diǎn) A(0,a) 處，細(xì)線位于 y 軸上。則此曳物線的參數(shù)方程為

直角坐標(biāo)方程為

即

它有一個(gè)尖點(diǎn) A(0,a)，AM 的弧長(zhǎng)為 aIn (a/y) ，曲率半徑 R=a cot (x/y)。1

圖示如下圖所示：

從曲線 C 上某一動(dòng)點(diǎn) P 的切線與某一定直線l的交點(diǎn) Q 到點(diǎn) P 的線段長(zhǎng)恒為定值，則稱(chēng)曲線 C 為曳物線****(tractrix)。直線 l 為其漸近線。

曲線方程參數(shù)方程當(dāng)漸近線l⊥x軸時(shí)，若點(diǎn)p的初始位置為a(a,o)，則曳物線的參數(shù)方程為：

x=acosθ；

y=a·ln[tan2(θ+π4)]-asinθ，

參數(shù)θ是切線pq和x軸的夾角。

漸屈線的普通方程x=a·ch(y/a)。

a為切點(diǎn)到切線與漸近線交點(diǎn)的距離。

微分方程設(shè)被拖曳直線長(zhǎng)度為L(zhǎng)，拖曳直線拖曳點(diǎn)始終在y軸上;

初始狀態(tài)：拖曳點(diǎn)(0,0)，另一端點(diǎn)(1,0)；

拖曳方向：y軸正方向。

解：因在拖曳的某一個(gè)時(shí)刻，拖曳直線的方向和直線另一端點(diǎn)軌跡（拖曳線）的切線方向相同，設(shè)該時(shí)刻為t，可得微分方程：

dy/dx=(Y[t]-y)/(0-x)；Y[t]為某一個(gè)時(shí)刻拖曳點(diǎn)的y軸坐標(biāo)。

因?yàn)橹本€長(zhǎng)度不變，還有方程：

(Y[t]-y)2+(0-x)2=L2，

帶入微分方程得到：

dy/dx=-sqrt(L2-x2)/x；初始狀態(tài)值y(L)=0

解得曳物線方程：

y=-sqrt(L2-x2) +L·ln(L)-L·ln(L2)-Lln(x)+L·ln[L2+L·sqrt(L2-x2)]。

旋轉(zhuǎn)面的性質(zhì)由曳物線繞其漸近線旋轉(zhuǎn)而形成的回轉(zhuǎn)曲面叫做偽球面。

這種曲面的全曲率在每一點(diǎn)都是常數(shù)且是負(fù)的。位于此曲面上的直線與平行公設(shè)不一致。因而構(gòu)造這種曲面的可能性為非歐幾何學(xué)提供了相對(duì)相容性的證明。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學(xué)