[科普中國]-解析解

**解析解(analytical solution)**就是一些嚴格的公式，給出任意的自變量就可以求出其因變量，也就是問題的解，他人可以利用這些公式計算各自的問題。解析解也被稱為閉式解(closed-form expression)。

解析解的定義所謂的解析解是一種包含分式、三角函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)甚至無限級數(shù)等基本函數(shù)的解的形式。用來求得解析解的方法稱為解析法。比如一元二次方程： ，其求解公式是 ，這就是解析解。1

在數(shù)學(xué)上，如果一個方程或者方程組存在至少一個由有限次常見運算給出的解，則稱該方程存在解析解。二次方程的根就是一個解析解的典型例子。在低年級數(shù)學(xué)的教學(xué)當(dāng)中，解析解也被稱為公式解。

當(dāng)解析解不存在時，比如五次以及更高次的代數(shù)方程，則該方程只能用數(shù)值分析的方法求解近似值。

解析解的準(zhǔn)確含義依賴于何種運算稱為常見運算或常見函數(shù)。傳統(tǒng)上，只有初等函數(shù)被看作常見函數(shù)，無窮級數(shù)、序列的極限、連分數(shù)等都不被看作常見函數(shù)。按這種定義，許多累積分布函數(shù)無法寫成解析形式。但如果我們把特殊函數(shù)，比如誤差函數(shù)或伽瑪函數(shù)也看作常見函數(shù)，則累積分布函數(shù)可以寫成解析形式。

在計算機應(yīng)用中，這些特殊函數(shù)因為大多有現(xiàn)成的數(shù)值法實現(xiàn)，它們通常被看作常見運算或常見函數(shù)。實際上，在計算機的計算過程中，多數(shù)基本函數(shù)都是用數(shù)值法計算的，所以所謂的基本函數(shù)和特殊函數(shù)對計算機而言并無區(qū)別。

解析解與數(shù)值解的區(qū)別**數(shù)值解(numerical solution)**是采用某種計算方法,如有限元的方法，數(shù)值逼近,插值的方法，得到的解。別人只能利用數(shù)值計算的結(jié)果，而不能隨意給出自變量并求出計算值。

比如上面給出了一元二次方程的解析解，在求一個已知系數(shù)的一元二次方程時，將系數(shù)的具體取值代入則可以得到其數(shù)值解。

可以這樣來理解二者的區(qū)別，解析解是一個求解公式，它適用于所有這類方程的求解，而數(shù)值解是某個特定方程的具體的解。

例子方程 2y=x

解：

y=0.5x——解析解

x=1時，y=0.5——數(shù)值解

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學(xué)