[科普中國]-馬克士威應(yīng)力張量

在電磁學(xué)里，馬克士威應(yīng)力張量，即麥克斯韋應(yīng)力張量(Maxwell stress tensor)是描述電磁場帶有之應(yīng)力的二階張量。麥克斯韋應(yīng)力張量可以表現(xiàn)出電場力、磁場力和機(jī)械動量之間的相互作用。對于簡單的狀況，例如一個點電荷自由地移動于均勻磁場，應(yīng)用洛倫茲力定律，就可以很容易地計算出點電荷所感受的作用力。但是，當(dāng)遇到稍微復(fù)雜一點的狀況時，這很普通的程序會變得非常困難，方程洋洋灑灑地一行又一行的延續(xù)。因此，物理學(xué)家通常會聚集很多項目于麥克斯韋應(yīng)力張量內(nèi)，然后使用張量數(shù)學(xué)來解析問題。

導(dǎo)引先列出麥克斯韋方程組，高斯定律： 高斯磁定律： 法拉第感應(yīng)定律： 麥克斯韋-安培定律：

其中， 是電場， 是磁場， 是電荷密度， 是電流密度， 是電常數(shù)， 是磁常數(shù)。

從洛倫茲力定律開始，一個電荷分布所感受到的單位體積的作用力 是

應(yīng)用高斯定律和麥克斯韋-安培定律，把電荷密度和電流密度替換掉，只讓電場和磁場出現(xiàn)于方程：

應(yīng)用乘積法則和法拉第感應(yīng)定律：

為了使 的項目 的項目能夠相互對稱，加入一個 項目：

應(yīng)用矢量恒等式，對于任意矢量 ：

將 的方程內(nèi)的旋度項目除去：

這方程最右邊項目涉及了坡印亭矢量：

設(shè)定麥克斯韋應(yīng)力張量 （以英文字母上面加兩只箭矢符號來標(biāo)記二階張量）：

其中， 是克羅內(nèi)克函數(shù)。

定義一個矢量 與麥克斯韋應(yīng)力張量 的內(nèi)積為

那么，一個電荷分布所感受到的單位體積的作用力 是

麥克斯韋應(yīng)力張量的性質(zhì)麥克斯韋應(yīng)力張量是一個對稱張量，表達(dá)為

麥克斯韋應(yīng)力張量的單位是牛頓/米。麥克斯韋應(yīng)力張量的 ij 元素詮釋為，朝著 i-軸方向，施加于 j-軸的垂直平面，單位面積的作用力；對角元素代表負(fù)壓力，非對角元素代表剪應(yīng)力。對角元素給出張力（拖拉力）作用于其對應(yīng)軸的垂直面微分元素。不同于理想氣體因為壓力而施加的作用力，在電磁場內(nèi)的一個面元素也會感受到方向不垂直于其面的剪應(yīng)力。這是由非對角元素給出的。2

動量守恒定律在一個體積 內(nèi)的電荷，所感受到的總作用力 是

應(yīng)用散度定理，可以得到

其中， 是體積 的閉合表面。

根據(jù)牛頓第二定律，

其中， 是動量。

所以，電荷的動量 可以表達(dá)為

其中， 是儲存于電磁場的動量（坡印亭矢量是由電場和磁場組成的一個復(fù)合矢量）。

稍加編排，可以得到動量守恒定律的積分方程：

動量守恒定律闡明，一個體積的總動量（電荷的動量加上電磁場的動量）的增加速率等于每秒鐘流入閉合表面的動量。負(fù)的麥克斯韋應(yīng)力張量 是一個動量通量密度。

動量守恒定律也能以微分形式表達(dá)為

其中， 是電荷的動量密度， 是電磁場的動量密度。3

相關(guān)條目電磁能量密度

坡印亭矢量

電磁應(yīng)力-能量張量

電磁場的數(shù)學(xué)表述

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

王沛 - 副教授、副研究員 - 中國科學(xué)院工程熱物理研究所