[科普中國(guó)]-滿態(tài)射

滿態(tài)射是集合范疇中滿射概念的推廣。它是單態(tài)射的對(duì)偶概念。范疇C中的態(tài)射f：A→B，若有右可消性質(zhì)，即由態(tài)射合成uf=vf可斷定u=v，則稱f為C中的滿態(tài)射。若fg為滿態(tài)射，則f為滿態(tài)射。

概念滿態(tài)射是集合范疇中滿射概念的推廣。它是單態(tài)射的對(duì)偶概念。范疇C中的態(tài)射f：A→B，若有右可消性質(zhì)，即由態(tài)射合成uf=vf可斷定u=v，則稱f為C中的滿態(tài)射。若fg為滿態(tài)射，則f為滿態(tài)射；滿態(tài)射的合成仍為滿態(tài)射；單位態(tài)射必是滿態(tài)射，甚至右可逆態(tài)射也是滿態(tài)射。在群范疇中滿態(tài)射即滿同態(tài)；在環(huán)范疇中滿同態(tài)為滿態(tài)射，但反之不真。

單態(tài)射單態(tài)射是集合范疇Set中單射概念的推廣。它與滿態(tài)射是互為對(duì)偶的概念。范疇C中的態(tài)射f：A→B，若有左可消性質(zhì)，即對(duì)使態(tài)射合成有意義的態(tài)射u，v，由fu=fv可斷定u=v，則稱f為C中的單態(tài)射。若gf為單態(tài)射，則f必為單態(tài)射；單態(tài)射的合成仍為單態(tài)射；單位態(tài)射必為單態(tài)射，甚至左可逆態(tài)射也是單態(tài)射。

單射

亦稱一一映射。一種重要的映射。與一一對(duì)應(yīng)，單葉函數(shù)同義的概念。映射f：A→B對(duì)任何a，b∈A，a≠b均有f(a)≠f(b)，即對(duì)于f的值域中的任一元素b，|f(b)|≤1。單射不必是滿射。

單射有下列性質(zhì)：

1.f：A→B是單射的充分必要條件是對(duì)任何b∈B，f(b)是空集或單元集。

2.若f：A→B，g：B→C均是單射，則g°f：A→C是單射。

3.若f：A→B，g：B→C是映射，g°f：A→C是單射，則f：A→B是單射，且g|f(A)：f(A)→C是單射。

4.單射有左逆映射。對(duì)單射f：A→B可以定義映射fL：B→A使fL°f是集合A的恒等映射。這只要對(duì)B-f(A)中的每一個(gè)元素指定A中一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，對(duì)f(A)中任一元素b，指定f(b)與之對(duì)應(yīng)。當(dāng)單射不是滿射時(shí)，這樣的左逆映射不只一個(gè)。1

5.若f：A→B是單射，則：

1) 對(duì)A1A，f(f(A1))=A1。

2) 對(duì)B1B，f(f(B1))=B1∩f(A)B1，特別當(dāng)B1f(A)時(shí)，f(f(B1))=B1。

3) 對(duì)A1A，A2A，有：f(A1∩A2)=f(A1)∩f(A2)，f(A1-A2)=f(A1)-f(A2)。

6.對(duì)任何映射f： A→B，可定義單射g：A→A×B，使g(a)=〈a，f(a)〉。

7.f：A→B是單射的充分必要條件是對(duì)任意兩個(gè)映射φ：C→A，ψ：C→A，在φ≠ψ時(shí)，f°φ≠f°ψ。

范疇范疇論的基本概念之一。稱C是一個(gè)范疇，是指C滿足下述六點(diǎn)：

1.C有一個(gè)對(duì)象類{A，B，C，…}(不要求它是一個(gè)集合，即不要求它滿足集合論的公理，只要求能判別出是不是它的對(duì)象)，常記為ObjC或簡(jiǎn)記C。

2.對(duì)C的任兩對(duì)象A，B，有一個(gè)確定的集合(可為空集)Hom(A，B)，其元素稱為由A到B的態(tài)射，記為f∈Hom(A，B)或f：A→B。2

3.對(duì)給定的f∈Hom(A，B)與g∈Hom(B，C)有惟一的gf∈Hom(A，C)，稱為f與g的合成。

4.Hom(A，B)與Hom(C，D)有公共元是指A=C且B=D。

5.態(tài)射合成滿足結(jié)合律。

6.對(duì)C的任意對(duì)象A，Hom(A，A)至少有一個(gè)元素εA使對(duì)σ∈Hom(A，B)恒有σεA=σ=εBσ，稱εA為A的恒等態(tài)射(εB為B的恒等態(tài)射)。

例如，以一切集合作對(duì)象，以集合映射作態(tài)射，則得集合范疇Set(簡(jiǎn)稱集范疇).以一切拓?fù)淇臻g作對(duì)象，以連續(xù)映射作態(tài)射，則得拓?fù)淇臻g范疇Top.以一切環(huán)為對(duì)象，以環(huán)同態(tài)作為態(tài)射得環(huán)范疇Ring。類似地，可得群范疇Group，阿貝爾群范疇AG，環(huán)R上的左R模范疇RM等。以自然數(shù)為對(duì)象，a|b(表示a整除b)時(shí)定義Hom(a，b)有惟一元素φab，ab時(shí)定義Hom(a，b)=(空集)，也得到一個(gè)范疇。一般地，對(duì)每個(gè)擬序集都可仿此定義范疇。

范疇論代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支。數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域都有各自的研究對(duì)象。例如，集合論研究集合與映射；線性代數(shù)研究線性空間與線性映射;群論研究群與群同態(tài)；拓?fù)鋵W(xué)研究拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射。在20世紀(jì)中期，數(shù)學(xué)家們認(rèn)為有必要將各個(gè)領(lǐng)域中的研究對(duì)象各自合在一起成為一個(gè)整體，使之成為一種數(shù)學(xué)系統(tǒng)，這就是范疇思想。于是，所有的集合與映射組成集合范疇；所有的群與群同態(tài)組成群范疇。在各個(gè)范疇之間往往存在著內(nèi)在聯(lián)系與變換。例如，一個(gè)群模去其換位子群的商群(稱為交換化)得到一個(gè)交換群，從而交換化成為群范疇到交換群范疇的一個(gè)變換，且這個(gè)變換保持著群同態(tài)及其合成。事實(shí)上，這就是函子的思想.在域F上的線性空間范疇中，任一線性空間L必有惟一的對(duì)偶空間L=HomF(L，F(xiàn))，“*”可看成這個(gè)線性空間范疇到自身的一個(gè)變換。盡管當(dāng)L為有限維時(shí)L與L是同構(gòu)的(記這個(gè)同構(gòu)為τ：L→L)，但這個(gè)同構(gòu)不是“自然”的。即，若L1與L2間有一個(gè)同構(gòu)α：L1→L2，“*”誘導(dǎo)出L2到L1的一個(gè)同構(gòu)為α，但對(duì)L1中的元素x來(lái)說(shuō)，τα(x)一般地并不等于ατ(x)。這就引起“自然性”的研究。艾倫伯格(Eilenberg，S.)與麥克萊恩(MacLane，S.)于1945年發(fā)表的論文《自然等價(jià)的一般理論》為范疇論的建立作出了奠基性的工作。

在某種意義上來(lái)說(shuō)，范疇論提煉了數(shù)學(xué)(甚至其他學(xué)科)各分支的共性，是比集合論更高一個(gè)層次的數(shù)學(xué)公共語(yǔ)言與工具。它使數(shù)學(xué)各個(gè)領(lǐng)域的研究通過(guò)箭頭圖做了一致化與簡(jiǎn)單化的處理，更加顯示其本質(zhì)上的東西，同時(shí)使許多數(shù)學(xué)系統(tǒng)的性質(zhì)通過(guò)圖的泛性質(zhì)得到了深刻的刻畫(huà)。戈德門特(Godement，R.)于1958年將范疇論應(yīng)用到拓?fù)鋵W(xué)，埃雷斯曼(Ehresmann，C.)于1958年將范疇論應(yīng)用到微分幾何，格羅騰迪克(Grothendieck，A.)與迪厄多內(nèi)(Dieudonné，J.)于1960年將范疇論應(yīng)用到代數(shù)幾何.現(xiàn)在，范疇論在上述學(xué)科及同調(diào)代數(shù)、代數(shù)K理論、模論、環(huán)論等學(xué)科中都得到了成功的應(yīng)用。應(yīng)用范疇論時(shí)，關(guān)鍵是先搞清研究問(wèn)題以什么作對(duì)象，以什么作態(tài)射。研究不同范疇之間的關(guān)系時(shí)，關(guān)鍵在于找到適當(dāng)?shù)暮?。范疇論的核心是函子理論。艾倫伯格與麥克萊恩為了搞清某些同構(gòu)(等價(jià))的“自然”變換之精確含義，于1945年引入范疇與函子的概念去定義自然變換.現(xiàn)在，范疇論已滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域(甚至已應(yīng)用到計(jì)算機(jī)科學(xué)等)，成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。3

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學(xué)