[科普中國]-仿射函數(shù)

仿射函數(shù)，即最高次數(shù)為1的多項式函數(shù)。常數(shù)項為零的仿射函數(shù)稱為線性函數(shù)。

定義從 到 的映射，稱為仿射變換（affine transform）或仿射映射（affine map），其中 A 是一個 矩陣，b 是一個 m 維向量。當 時，稱上述仿射變換為仿射函數(shù)。1

詳解仿射函數(shù)即由 1 階多項式構成的函數(shù)，一般形式為 f(x)=Ax+b，這里，A 是一個 m×k 矩陣，x 是一個 k 向量，b是一個 m 向量，實際上反映了一種從 k 維到 m 維的空間映射關系。

設 f 是一個矢性（值）函數(shù)，若它可以表示為 f(x1,x2,…,xn)=A1x1+A2x2+…+Anxn+b，其中 Ai 可以是標量，也可以是矩陣，則稱 f 是仿射函數(shù)。其中的特例是，標性（值）函數(shù) f(x)=ax+b ，其中a、x、b都是標量。此時嚴格講，只有 b=0 時，仿射函數(shù)才可以叫“線性函數(shù)”（“正比例”關系）。

就一般情形，函數(shù)f是仿射函數(shù)的充要條件是：對于任意兩組向量x1,x2,…,xn與 y1,y2,…,yn，對于任意0≤p≤1，如果 f[px1+(1-p)y1,px2+(1-p)y2,…,pxn+(1-p)yn]≡pf(x1,x2,…,xn)+(1-p)f(y1,y2,…,yn)。

一般稱線性組合p1x1+p2x2+…+pnxn，其中 p1+p2+…+pn=1 為仿射組合；一般稱所有 pi≥0 的仿射組合為凸組合。其實一般意義上的仿射函數(shù)是一個矩陣函數(shù)，如果構成一個類似 LMI 的不等式，可以成為仿射矩陣不等式。

辨析仿射函數(shù)和線性函數(shù)的區(qū)別

仿射函數(shù)即由 1 階多項式構成的函數(shù)，一般形式為 f (x) = A x + b，這里，A 是一個 m×k 矩陣，x 是一個 k 向量，b 是一個 m 向量，實際上反映了一種從 k 維到 m 維的空間映射關系。

設 f 是一個矢性（值）函數(shù)，若它可以表示為 f(x1,x2,…,xn)=A1x1+A2x2+…+Anxn+b，其中 Ai可以是標量，也可以是矩陣，則稱 f 是仿射函數(shù)。其中的特例是，標性（值）函數(shù) f(x)=ax+b ，其中 a、x、b 都是標量。此時嚴格講，只有 b=0 時，仿射函數(shù)才可以叫“線性函數(shù)”（“正比例”關系）。

本詞條內容貢獻者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財經(jīng)大學