[科普中國]-拓?fù)淙?

和

是連續(xù)函數(shù)。這里的G×G被看作使用乘積拓?fù)涞玫酵負(fù)淇臻g。

盡管我們這里沒有做其他要求，很多作者要求在G上的拓?fù)涫呛浪苟喾蚩臻g。下面會討論其理由和一些等價條件。最后，這不是個嚴(yán)重的限制 — 很多拓?fù)淙憾伎梢杂靡?guī)范方式變成豪斯多夫空間。

使用范疇論的語言，拓?fù)淙嚎梢院喢鞯亩x為在拓?fù)淇臻g范疇內(nèi)的群對象，如同普通的群是集合范疇的群對象一樣。

同態(tài)在兩個拓?fù)淙篏和H之間的同態(tài)就是連續(xù)群同態(tài)G→H。拓?fù)淙旱耐瑯?gòu)則要求同時是群同構(gòu)及對應(yīng)拓?fù)淇臻g的同胚。這比單純要求連續(xù)群同構(gòu)要更強(qiáng)，因其逆函數(shù)必須也是連續(xù)。有作為普通群是同構(gòu)的但作為拓?fù)淙簠s不同構(gòu)的例子。實際上，任何非離散的拓?fù)淙涸谟秒x散拓?fù)鋪砜紤]的時候也是（另一個）拓?fù)淙?。底層的群是一樣的（同?gòu)），但兩個拓?fù)淙翰⒎峭瑯?gòu)。

拓?fù)淙汉退鼈兊耐瑧B(tài)一起形成一個范疇。

例子每個群可以平凡地變成一個拓?fù)淙?，這是通過給它一個離散拓?fù)溥_(dá)成地；這樣的群稱為離散群。在這個意義下，拓?fù)淙旱睦碚摪似胀ㄈ旱睦碚摗?/p>

實數(shù)R，以及加法操作和它的普通拓?fù)錁?gòu)成一個拓?fù)淙骸８话愕?，歐幾里得空間R連同加法和標(biāo)準(zhǔn)的拓?fù)錁?gòu)成拓?fù)淙?。更一般的，所有拓?fù)湎蛄靠臻g（譬如巴拿赫空間和希爾伯特空間）的加法群是拓?fù)淙骸?/p>

上面的例子都是阿貝爾群的例子。非交換群的例子有各種李群（是拓?fù)淙阂彩橇餍危?。例如，一般線性群GL(n,R)由所有可逆n×n實系數(shù)矩陣組成，可以視為拓?fù)淙?，其拓?fù)涠x為將GL(n,R)作為歐幾里得空間R的子空間得到的子空間拓?fù)洹Ｋ欣钊菏蔷植烤o的。

不是李群的拓?fù)淙旱囊粋€例子是有理數(shù)Q其拓?fù)鋸膶崝?shù)繼承。這是一個可數(shù)空間而它不是離散拓?fù)?。對于一個非交換的例子，可以考慮R的旋轉(zhuǎn)群由繞不同軸作2π的無理數(shù)倍的兩個旋轉(zhuǎn)所生成的子群。

在每個帶乘法單位元的巴拿赫代數(shù)中，可逆元素的集合構(gòu)成一個乘法下的拓?fù)淙骸?/p>

性質(zhì)拓?fù)淙旱拇鷶?shù)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)以非平凡的方式互相影響。例如，在任何拓?fù)淙褐袉挝环种Вㄒ簿褪前瑔挝坏倪B通分支）是一個閉正規(guī)子群。2

拓?fù)淙篏上的逆運算給出了一個從G到其自身的同胚。同樣，若a是G的任意元素，則a的左乘和右乘產(chǎn)生G→G的一個同胚。

每個拓?fù)淙嚎梢詢煞N方式視為一個一致空間；“左一致性”將所有左乘變成一個一致連續(xù)映射，而“右一致性”將所有右乘變?yōu)橐恢逻B續(xù)映射。若G非交換，則這兩個一致性并不相同。這個一致性結(jié)構(gòu)使得在拓?fù)淙荷嫌懻撏陚湫?、一致連續(xù)、和一致收斂成為可能。

作為一個一致空間，每個拓?fù)淙菏且粋€完全正則空間。因而，若一個拓?fù)淙菏荰0（也就是柯爾莫果洛夫空間），則它也是T2(也即豪斯多夫空間)。

兩個拓?fù)淙褐g的最自然的同態(tài)概念是一個連續(xù)的群同態(tài)。拓?fù)淙?，和作為態(tài)射的連續(xù)群同態(tài)一起，構(gòu)成一個范疇。

每個拓?fù)淙旱淖尤罕旧硪彩且粋€拓?fù)淙?，只要取子空間拓?fù)浔憧?。若H是G的一個子群，所有左或右陪集G/H是一個拓?fù)淇臻g，只要取商拓?fù)浔憧桑℅/H上使得自然投影q:G→G/H連續(xù)的最細(xì)拓?fù)??？梢宰C明商映射q:G→G/H總是開映射。

若H是一個G的正規(guī)子群，則因子群，G/H成為一個拓?fù)淙?，而從普通群理論來的同?gòu)基本定理在這個范圍中也是成立的。但是，若H不是G的拓?fù)湎碌拈]集，則G/H不是T0的，即使G是。因此很自然可以要求限制到只考慮T0拓?fù)淙旱姆懂牐⑶蚁拗贫x中的正規(guī)到正規(guī)且閉。

若H是G的子群，則H的閉包也是一個子群。同樣，若H是一個正規(guī)子群，則H的閉包也是正規(guī)的。

其他領(lǐng)域?qū)τ谡{(diào)和分析有特殊重要性的是局部緊拓?fù)淙海驗樗鼈兂姓J(rèn)一個自然的測度和積分的概念，由哈爾測度給出。在很多方面，局部緊拓?fù)淙菏强蓴?shù)群的一個推廣，而緊拓?fù)淙嚎梢砸暈橛邢奕旱囊粋€推廣。群表示理論對于有限群和緊拓?fù)淙簬缀跏峭耆粯拥摹?/p>

參看李群

代數(shù)群

拓?fù)洵h(huán)