[科普中國]-重整化群

概念

重整化群是一個(gè)在不同長度標(biāo)度下考察物理系統(tǒng)變化的數(shù)學(xué)工具。標(biāo)度上的變化稱為“標(biāo)度變換”。重整化群與“標(biāo)度不變性”和“共形不變性”的關(guān)系較為緊密。共形不變性包含了標(biāo)度變換，它們都與自相似有關(guān)。在重整化理論中，系統(tǒng)在某一個(gè)標(biāo)度上自相似于一個(gè)更小的標(biāo)度，但描述它們組成的參量值不相同。系統(tǒng)的組成可以是原子，基本粒子，自旋等。系統(tǒng)的變量是以系統(tǒng)組成之間的相互作用來描述。

基本原理以量子電動(dòng)力學(xué)為例。利用Feynman展開的微擾論方法，我們計(jì)算一個(gè)物理量，比如電子之間的散射率，會(huì)得到一個(gè)按照耦合常數(shù) 展開的級數(shù)，每一項(xiàng)的系數(shù)是粒子動(dòng)量 的積分式。這樣的積分式會(huì)出現(xiàn)紫外發(fā)散，即 允許的取值可以到無窮大時(shí)，系數(shù)趨向于正或負(fù)無窮，這使得整個(gè)理論失去意義。

為了克服這一困難，人們引入了重整化方法。用這個(gè)方法，我們首先對所有的積分作紫外截?cái)?img src="https://img-xml.kepuchina.cn/images/newsWire/x4xSIazNDYq4TB7eMErr8qhbXEc2zOkeCIQb.jpg" alt="" />，從而得到有限結(jié)果。顯然，這樣得到的展開系數(shù)將與截?cái)?img src="https://img-xml.kepuchina.cn/images/newsWire/x4xSIazNDYq4TB7eMErr8qhbXEc2zOkeCIQb.jpg" alt="" />有關(guān)。但是，在連續(xù)場論中這個(gè)截?cái)嗍侨藶橐氲模锢砩喜⒉淮嬖?。為了解決這個(gè)問題，對于任意，我們要求可以重新定義一個(gè)相應(yīng)的耦合常數(shù)，使得計(jì)算最后給出的物理量與無關(guān)。在量子電動(dòng)力學(xué)和其他可重整的理論中，這是可以做到的。換句話說，對于微擾展開的任意級次，可以定義該系統(tǒng)的一系列和截?cái)?img src="https://img-xml.kepuchina.cn/images/newsWire/x4xSIazNDYq4TB7eMErr8qhbXEc2zOkeCIQb.jpg" alt="" />相關(guān)的參數(shù)，使得系統(tǒng)在動(dòng)量遠(yuǎn)小于時(shí)的物理性質(zhì)和無關(guān)。由于實(shí)際的最后要取為無窮大，也就是說，系統(tǒng)在任意有限動(dòng)量上的物理性質(zhì)和無關(guān)，于是，我們要求理論具有這樣的不變性：當(dāng)改變一個(gè)比例時(shí)，耦合常數(shù)將作相應(yīng)的變化，而最后給出的結(jié)果將是與無關(guān)的。這也就導(dǎo)致了重整化群的想法。也就是說，對于改變一個(gè)比例這種變換的全體有一個(gè)類似群的結(jié)構(gòu)，即滿足組合律；先改變比例為，再接著改變比例為得到的耦合常數(shù)等于作一次改變比例為得到的耦合常數(shù)。但嚴(yán)格說起來，這并不是一個(gè)群，而是一個(gè)所謂的半群。原因是在上述定義下，我們無法定義逆變換。

現(xiàn)在，我們把寫成

并令

其中是一個(gè)固定的數(shù)。如上所述，為使得最后結(jié)果有物理意義，我們要讓耦合常數(shù)也作相應(yīng)的改變，即也隨參量改變。并令

由此，我們可以定義所謂函數(shù)。它是重整化群理論中最重要的一個(gè)物理量，決定了相應(yīng)的相互作用在整個(gè)理論框架下所起的作用。1