[科普中國]-泡利矩陣

定義

在數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)物理中，泡利矩陣是一組三個(gè)2×2的幺正厄米復(fù)矩陣，一般都以希臘字母σ來表示，但有時(shí)當(dāng)他們在和同位旋的對稱性做連結(jié)時(shí)，會被寫成τ。他們在泡利表像（σz表像）可以寫成：

這些矩陣是以物理學(xué)家沃爾夫?qū)づ堇摹Ｔ诹孔恿W(xué)中，它們出現(xiàn)在泡利方程中描述磁場和自旋之間相互作用的一項(xiàng)。所有的泡利矩陣都是厄米矩陣，它們和單位矩陣I（有時(shí)候又被稱為為第零號泡利矩陣σ0），的線性張成為2×2厄米矩陣的向量空間。

從量子力學(xué)的角度來看，哈密頓矩陣（算符）代表可觀測的物理量，因此，σk,k= 0,1,2,3的線性張成代表所有作用在二維希爾伯特空間的物理量所形成的空間。從泡利本人的的研究來看，σk,k=1,2,3所代表的物理量是自旋在三維歐幾里得空間?中第k個(gè)坐標(biāo)軸的投影分量。

數(shù)學(xué)性質(zhì)三個(gè)泡利矩陣可以共同用一種單一形式表達(dá)：2

其中δab是克羅內(nèi)克δ函數(shù)。當(dāng)a=b時(shí)，其值為1；當(dāng)a≠b時(shí)，其值為0。

本征值和向量這些矩陣是對合的：

其中I是單位矩陣。

此外，泡利矩陣的行列式和它們的跡分別為：

故從上述關(guān)系可以推得每個(gè)泡利矩陣σi的本征值分別為±1。

每個(gè)泡利矩陣有兩個(gè)本征值，+1和?1，其對應(yīng)的歸一化本征向量為：

泡利向量包向量定義為：

。

對易關(guān)系泡利矩陣有以下的對易關(guān)系：

以及以下的反對易關(guān)系。

。

其中εabc是列維-奇維塔符號，δab是克羅內(nèi)克函數(shù)，是I是2 ×2的單位矩陣。而一樣的，上面使用了愛因斯坦求和約定。

內(nèi)積外積關(guān)系將泡利矩陣的對易和反對易相加得：

因此可得：

為了避免符號重復(fù)，將a,b,c改成p,q,r，然后把上式和三維向量ap和bq內(nèi)積，可得：

將它轉(zhuǎn)換成向量積的表達(dá)式：

指數(shù)令 ，而且 對于偶數(shù)n可得：

另外加上之前求得在n= 1的情況可在n為基數(shù)的情況：

利用矩陣指數(shù)的概念，加上正弦和余弦的泰勒級數(shù)展開式，可得：

第一項(xiàng)的總和為 ，第二項(xiàng)括號里的總和是 ，于是：

這可以看做是歐拉公式的類比。

完備性關(guān)系另一個(gè)常用來區(qū)別泡利矩陣的方法是用上標(biāo)i，用不同的i來代表不同的泡利矩陣，而下標(biāo)則代表不同的矩陣元素。因此第i個(gè)泡利矩陣的第α行第β列的元素可表示為σαβ

利用這種表示方法，泡利矩陣的完備性關(guān)系可寫作：

證明

因?yàn)樗械呐堇仃?，?×2的單位矩陣可做為所有2×2矩陣在希爾伯特空間中的正交基底，表示任何一個(gè)復(fù)系數(shù)矩陣M皆可表示為： 其中c是一復(fù)數(shù)，ai是一復(fù)向量中的三個(gè)系數(shù)。

利用之前給的關(guān)系式，容易證明：

"tr"表示對該矩陣取其跡，因此， 和 成立。

故，

用矩陣的標(biāo)號表示的話就成為：

在等號右邊，針對了兩個(gè)重復(fù)出現(xiàn)的標(biāo)號γ和δ，使用了愛因斯坦求和約定。而因?yàn)檫@關(guān)系對所有矩陣M都成立，因此要證的完備性關(guān)系必然成立。

有時(shí)習(xí)慣上將2×2單位舉寫成σ0，也就是，σαβ=δαβ。如此一來完備性關(guān)系可以更為簡潔的表示成：

和換位符關(guān)系令算符Pij為換位算符（或稱為置換算符）。對于兩個(gè)在張量積空間?? ?中的自旋σi和σj該算符有：

的關(guān)系。這個(gè)算符可以更進(jìn)一步的用泡利矩陣來表示：

該算符有兩個(gè)本征值，分別1和-1，這個(gè)算符可以用于代表某些哈密頓量的相互作用項(xiàng)，產(chǎn)生對稱和反對稱的本征態(tài)分裂的效果。

SU (2)四元數(shù)與泡利矩陣

{I,iσ1,iσ2,iσ3}的實(shí)數(shù)張成與四元數(shù)?的實(shí)代數(shù)同構(gòu)，可透過下列映射得到對應(yīng)關(guān)系（注意到泡利矩陣的負(fù)號）：

另外一種方式的映射為將泡利矩陣的次序反轉(zhuǎn)

既然單位四元數(shù)與SU(2)為群同構(gòu)，此亦代表泡利矩陣也可用來描述SU(2)。從SU(2)到SO(3)的2對1同態(tài)性，也可以用泡利矩陣來表述。

四元數(shù)構(gòu)成可除代數(shù)——所有非零元素皆有逆元素，然而泡利矩陣并非如此。泡利矩陣生成的代數(shù)的四元數(shù)版，參見復(fù)四元數(shù)，其共有8個(gè)實(shí)維度。3