[科普中國]-互反函數(shù)

基本介紹

在數(shù)學中，有好些運算是互逆的。加和減，乘和除，乘方和開方，都屬于這一類。一個自變數(shù)x，在經(jīng)過一種運算之后得到y(tǒng)，再對這y進行相應的逆運算，結果是仍回到x。例如，以a乘x，得y =ax，將這y除以a，又得x，又如，將x平方，得再對y開平方，又得x。今以表示前一運算，以表示其逆運算，則上述關系可表示如下：

將寫在后的方括號內(nèi)，就表示內(nèi)的那個變數(shù)y當用代入。例如，它們就符合上述條件，理由是:

從的組成上看，它也是一種復合函數(shù)。對式(1)兩側求導，當有:

式中：——對y的導數(shù)；

——對x的導數(shù)；

1——x對x的導數(shù)。

在式(1)中，一個運算是用將x變成y，另一個運算是用將y變成x，在這條件下，和實際上是同一個方程，它們的圖形也是同一條曲線。以和為例，將后一式平方，得移除作乘，就得前一式。由此可見，若某個方程按對y求導要比對x求導方便，其切線的斜率y' (式(2)中的) 也可用x' (式(2)中的) 的倒數(shù)表示；即：

例如，所給的式子是則于是，

若將代人，。而在將化為再求導時，結果是相符的。但用式(B)來表示y'，時常較為簡捷。

既然和在圖上是同一條線，那就容易混淆。又因是表示將作為內(nèi)的變數(shù)代人，至于內(nèi)的變數(shù)原先是用什么字母來代表，那卻沒有多大關系。因此，常改作這也就是將原給的內(nèi)的x和y對換，而后變形為。這樣的和就叫互反函數(shù)2。

冪函數(shù)的反函數(shù)利用互反函數(shù)的這一對稱性質(zhì)來看冪函數(shù)，將見：

(1) 每一個冪函數(shù)的反函數(shù)仍是一個冪函數(shù)，因此，冪函數(shù)組成一個自反的函數(shù)族。這就是說，的反函數(shù)是(且后式也可寫作)，而它們都是冪函數(shù)。

(2)指數(shù)是真分數(shù)的冪函數(shù)，它的反函數(shù)(也是冪函的指數(shù)就大于1(是原來那個真分數(shù)的倒數(shù))。由于指數(shù)大于1的冪函數(shù)的描點制圖較易進行，可以先將反函數(shù)圖形作出，再利用原函數(shù)和反函數(shù)對直線的對稱，原函數(shù)作出2。