[科普中國]-最大模原理

定義

在復分析中，最大模原理說明如果單變量復變函數(shù)f是一個全純函數(shù)，那么它的模的局部最大值不可能在其定義域的內(nèi)部取到。1

換句話來說，全純函數(shù)f要么是常數(shù)函數(shù)，要么對于任意的在其定義域之內(nèi)的z0，都存在一個足夠靠近它的點z，使得f在后者上的取值的模 |f(z)| 比 |f(z)0| 更大。

正規(guī)定義設f為在復平面C的某個連通開子集D上定義的單復變?nèi)兒瘮?shù)。如果z0是D中一點，使得對它任意鄰域上的其它的點z都有，那么函數(shù)f是在D上的常數(shù)函數(shù)。1

證明概要首先注意到等式：2

logf(z) = log |f(z)| + i argf(z)

于是，對于復變量自然對數(shù)， log |f(z)| 是一個調(diào)和函數(shù)。 由于z0是這個函數(shù)的一個局部極大值，根據(jù)極大值定理，|f(z)| 在定義域上是常數(shù)。因此，運用柯西-黎曼方程可以得到：f'(z)=0。于是可以推出f(z) 是一個常數(shù)函數(shù)。

通過取倒數(shù)，可以得到對應的最小模原理。后者聲稱如果f在一個有界區(qū)域D內(nèi)是全純函數(shù)，并在其邊界上連續(xù)，且在所有點上非零，那么函數(shù) |f(z)| 的最小值只會在D的邊界上取到。

同時，最大模原理可以被看作是所謂的開映射定理的一個特例。開映射定理聲稱，一個全純函數(shù)必然將開集映射到開集。如果 |f| 在定義域內(nèi)部一點a達到極大值，那么a的一個足夠小的領(lǐng)域在f映射下的像集必然不是開集。于是，f必然是常數(shù)函數(shù)。

應用最大模原理在復分析的許多領(lǐng)域中都有著應用，可以產(chǎn)生很多重要的結(jié)果，比如：

用于證明代數(shù)基本定理：使用最大模原理的證明是一個基本的復分析的證明，可以在很多復分析教材中看到。

用于證明施瓦茨引理，一個在復分析中有廣泛引應用并可以推出很多結(jié)果的定理。

其推廣是弗拉格門-林德洛夫原理，將結(jié)果擴展到定義域無界的函數(shù)。