[科普中國]-二次互反律

簡介

二次互反律是經(jīng)典數(shù)論中最出色的定理之一。二次互反律涉及到平方剩余的概念。 設a,b是兩個非零整數(shù)，我們定義雅克比符號：若存在整數(shù)x, 使得，那么就記；否則就記。 在b是素數(shù)時這個符號也叫做勒讓德符號。2

高斯二次互反律：

設p和q為不同的奇素數(shù)，則

作用二次互反律漂亮地解決了勒讓德符號的計算問題，從而在實際上解決了二次剩余的判別問題。歐拉和勒讓德都曾經(jīng)提出過二次互反律的猜想。但第一個嚴格的證明是由高斯在1796年作出的，隨后他又發(fā)現(xiàn)了另外七個不同的證明。在《算數(shù)研究》一書和相關(guān)論文中，高斯將其稱為“基石”。私下里高斯把二次互反律譽為算術(shù)理論中的寶石，是一個黃金定律。 有人說：“二次互反律無疑是數(shù)論中最重要的工具，并且在數(shù)論的發(fā)展史中處于中心地位?！?/p>

高斯之后雅可比、柯西、劉維爾、克羅內(nèi)克、弗洛貝尼烏斯等也相繼給出了新的證明。至今，二次互反律已有超過200個不同的的證明。二次互反律可以推廣到更高次的情況，如三次互反律等等。

二次互反律被稱為“數(shù)論之釀母”， 在數(shù)論中處于極高的地位。 后來希爾伯特、塞爾等數(shù)學家將它推廣到更一般的情形。

二次互反律的一個特殊情形：2永遠是型質(zhì)數(shù)的平方剩余，永遠是型質(zhì)數(shù)的非平方剩余。

證明：

∴當8n+1是質(zhì)數(shù)時，必有.

再由歐拉準則:

∴2永遠是8n+1型質(zhì)數(shù)的平方剩余，其余的可類似證明。

二次互反律揭示了方程 可解和 可解的簡單關(guān)系。運用二次互反律可以將模數(shù)較大的二次剩余判別問題轉(zhuǎn)為模數(shù)較小的判別問題，并最后歸結(jié)為較少的幾個情況，從而

在實際上解決了二次剩余的判別問題。然而，二次互反律只能提供二次剩余的存在性，對于二次同余方程的具體求解并沒有實際幫助。

研究歷史二次互反律曾被不少的數(shù)學家研究，因此二次互反律的敘述有很多種。要注意的是當時的數(shù)學記號并不統(tǒng)一。歐拉和勒讓德并沒有高斯的同余記號，高斯也不知道勒讓德符號。

下文中的p和q總是不相等的正奇質(zhì)數(shù)。

前期探索費馬曾經(jīng)證明了（或聲稱證明了）一系列關(guān)于將質(zhì)數(shù)表示成平方和的定理

當且僅當 p=2 或

當且僅當p=2 或

當且僅當 p=3 或

他并沒有給出二次互反律的陳述，盡管由此類的定理可以得到–1、±2和±3的情況。

此外歐拉曾經(jīng)猜想（后被勒讓德證明）：

如果那么

如果那么

證明費馬的這類命題是導致二次互反律的發(fā)現(xiàn)的因素之一。

首次敘述歐拉在1783年曾經(jīng)寫過（以現(xiàn)今的符號表示）：

1) 如果q≡ 1 (mod 4) 那么q是模p的二次剩余當且僅當p≡r(modq)，其中r是一個模q的二次剩余。

2) 如果q≡ 3 (mod 4) 那么q是模p的二次剩余當且僅當p≡ ±b(mod 4q), 其中b為奇數(shù)但不被q整除。

這是二次互反律首次被完整地陳述。歐拉也證明了2的情況。

首次證明1801年出版的《算術(shù)研究》第131篇的部分，列出了二次互反律的8種情況

第一個完整地給出二次互反律的證明的人是德國數(shù)學家高斯。高斯在1796年給出了二次互反律的第一個證明。高斯首先證明了-1和2的情況。作為進行數(shù)學歸納法的開始，他證明了±3和±5的情況。他注意到-3和+5的情況較有規(guī)律，容易敘述，因此把定理敘述為：3

如果 p 是形式為4n+1，那么 p（如果p是形式為4n+3那么-p是模每個為模p的二次剩余（非剩余）的質(zhì)數(shù)的二次剩余（非剩余）。

推廣二次互反律的推廣主要是在代數(shù)數(shù)論中。

例如：高斯考察過四次互反律。在他的首篇論文里他證明了一系列定理，其中最重要的是：如果，那么有解當且僅當，其中a、 b是整數(shù)。如果，那么模p的二次剩余必然是四次剩余。

在第二篇論文中，高斯引進了著名的高斯整數(shù)。高斯證明了模4余1的質(zhì)數(shù)總能分解為兩個高斯整數(shù)中質(zhì)數(shù)的乘積、唯一分解定理等其它代數(shù)數(shù)論的基礎定理，并引進了一些基本概念，如范數(shù)和單位元。在高斯整數(shù)中，四次互反律的敘述十分簡單。高斯并且注意到在艾森斯坦整環(huán)中，三次互反律最為簡單。一部分的原因是高斯整數(shù)中1有4個四次方根，而艾森斯坦整數(shù)中1有3個三次方根。

其它的推廣是在以上整環(huán)中的二次互反律。高斯率先研究了高斯整數(shù)中的二次互反律。