[科普中國]-博雷爾集

博雷爾代數(shù)

當X是一個度量空間時，博雷爾代數(shù)可以用如下生成的方法描述。2

對于X的一族子集T（即X的冪集P(X)的任何子集），令

Tσ為T中元素的可數(shù)并的全體

Tδ為T中元素的可數(shù)交的全體

Tδσ=(Tδ)σ.

現(xiàn)在利用超限歸納法定義如下的序列G，其中m是一個序數(shù)：

對于初始的情況，定義

G= X的所有開子集全體。

如果i不是極限序數(shù)，那么i是i-1的后繼序數(shù)。令

G= [G]δσ

如果i是極限序數(shù)，令

我們現(xiàn)在可以說博雷爾代數(shù)是G，其中ω1是第一不可數(shù)序數(shù)，即勢為??的序數(shù)集。這意味著博雷爾代數(shù)可以通過開集全體的迭代運算

至第一不可數(shù)序而生成。

為了證明這一點，首先注意到度量空間中的任何開集都是一列遞增緊集的并。特別地，易知對于任何極限序數(shù)m，集合的差運算將G映射到自身；而且，當m是不可數(shù)的極限序數(shù)時，G在可數(shù)并運算下是封閉的。

注意到對于每一個博雷爾集B，存在一個可數(shù)序數(shù)αB使得B可以通過αB多次迭代后得到。但是隨著B取遍所有博雷爾集，αB也會相應地取遍所有可數(shù)序數(shù)，故而要得到所有博雷爾集所需的最靠前的序數(shù)是ω1，即第一不可數(shù)序數(shù)。

例子一個重要的例子，尤其是對于概率論而言，是實數(shù)集上的博雷爾代數(shù)。它是用來定義博雷爾測度的代數(shù)。對于概率空間上一個給定的實隨機變量，其概率分布按照定義，也是一個博雷爾代數(shù)上的測度。

實直線R上的博雷爾代數(shù)是包含所有區(qū)間的最小σ-代數(shù)。

在利用超限歸納法構(gòu)造時，可以證明在每一步中，集合的數(shù)量至多是連續(xù)統(tǒng)的冪。所有博雷爾集的總數(shù)不會多于。

非博雷爾集下面描述了盧津給出的一個實數(shù)集上的子集不是博雷爾集的例子。與之形成對比的是，不可測集的例子是無法給出的，不過其存在性是可以證明的。

每一個無理數(shù)都有一個唯一的連分數(shù)表示

其中是一個整數(shù)，其余的都是正整數(shù)。令A為對應序列的無理數(shù)組成的集合，而且其中的元素滿足下列性質(zhì)：存在一個無限子序列使得序列中每一個元素都是下一個元素的因子。這個集合A不是博雷爾集。事實上，這個集合是一個解析集，進一步地，在解析集全體構(gòu)成的類中是完備的。